利用圖像直觀巧記三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

陳肖穎

【摘要】“奇變偶不變，符號(hào)看象限”是學(xué)習(xí)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的傳統(tǒng)記憶方法，筆者利用圖像的直觀特點(diǎn)，幫助學(xué)生快速、準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，并能更好地理解和掌握推導(dǎo)過程中隱含的數(shù)學(xué)思想方法.

【關(guān)鍵詞】誘導(dǎo)公式；三角函數(shù)圖像；數(shù)學(xué)思想

在“三角函數(shù)誘導(dǎo)公式”的教學(xué)中，大多數(shù)教師都會(huì)介紹“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的記憶方法，讓學(xué)生在練題的過程中機(jī)械記憶公式，教學(xué)效果往往不盡如人意.學(xué)生最容易出現(xiàn)記憶混淆或“記了不知如何用”等現(xiàn)象.而學(xué)生在學(xué)完三角函數(shù)后，記憶最深刻的是它的圖像.因此，筆者嘗試?yán)煤瘮?shù)圖像來幫助學(xué)生理解三角函數(shù)誘導(dǎo)公式.

一、巧用圖像直觀理解三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)后，能清楚記住正弦、余弦和正切函數(shù)的圖像.人教社A版教材在這一節(jié)概括了六組公式，筆者用表格將公式整理如下：

1.公式Ⅰ：觀察函數(shù)圖像，結(jié)合奇偶性的圖像特征得出

在高一函數(shù)部分學(xué)生就已學(xué)習(xí)了函數(shù)奇偶性的有關(guān)知識(shí)，即在定義域內(nèi)，奇函數(shù)f（-x）=-f（x）函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，偶函數(shù)f（-x）=f（x）函數(shù)圖像關(guān)于y軸成軸對稱.根據(jù)此性質(zhì)，學(xué)生從圖中可知，y=sinx和y=tanx的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，是奇函數(shù)，則滿足f（-x）=-f（x）；y=cosx的圖像關(guān)于y軸成軸對稱，是偶函數(shù)，則滿足f（-x）=f（x）.通過觀察圖像特征，分析函數(shù)的奇偶性，得出公式Ⅰ.

2.公式Ⅲ：利用函數(shù)的對稱性和周期性，直接觀察圖像得出

要得出公式Ⅲ，可探究當(dāng)x=π-α?xí)r，y=sinx，y=cosx，y=tanx的函數(shù)值.既然是三角函數(shù)，則角與其函數(shù)值是一一對應(yīng)關(guān)系.先看正弦函數(shù)圖像（圖1），觀察圖像可發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像關(guān)于x=π2對稱，則sinα=sin（π-α）；而余弦函數(shù)圖像（圖2）是關(guān)于點(diǎn)π2，0對稱，則cos（π-α）=-cosα.進(jìn)一步探究三角函數(shù)的對稱性可知正弦、余弦函數(shù)的對稱軸與對稱中心都有無數(shù)個(gè).這里只需探究出誘導(dǎo)公式，則不贅述對稱性的內(nèi)容.

圖 1 圖 2

正切函數(shù)圖像與正弦、余弦函數(shù)明顯不同，正弦、余弦函數(shù)的最小正周期為2π，而正切函數(shù)的最小正周期為π.根據(jù)周期性可知tan（-α）=tan（π-α），又由公式Ⅰ知tan（-α）=-tanα，所以tan（π-α）=-tanα.從而探究出公式Ⅲ.

3.公式Ⅳ：將初中知識(shí)擴(kuò)充到一般情況

在初中階段，學(xué)生已知一角的正弦（余弦）等于其余角的余弦（正弦）.那時(shí)的余角范圍僅限于0°～90°，而高中階段的角擴(kuò)充了，余角范圍不僅是0°～90°了.有此基礎(chǔ)，利用初中的定理，便可得公式Ⅳ：sin（π2-α）=cosα，cosπ2-α=sinα.

4.公式Ⅱ、Ⅴ、Ⅵ：整體代換即可

仔細(xì)觀察可知公式Ⅱ、Ⅴ、Ⅵ與公式Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ只是符號(hào)不同，只需要將公式Ⅰ、Ⅲ和Ⅳ中的α代換成-α，再利用公式Ⅰ推導(dǎo)即可.例如：將公式Ⅲsin（π-α）=sinα中的α代換成-α，即sinπ--α=sin-α，化簡為sin（π+α）=sin-α，再利用公式Ⅰ可得sin（π+α）=-sinα.

二、利用圖像幫助理解誘導(dǎo)公式的過程中滲透的數(shù)學(xué)思想方法

1.數(shù)形結(jié)合思想

華羅庚說過：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.利用學(xué)生已記住的圖像來推導(dǎo)公式是數(shù)形結(jié)合的有效應(yīng)用.正如公式推導(dǎo)過程中，直接利用三角函數(shù)圖像的特性，學(xué)生通過觀察即可得出.學(xué)生在掌握函數(shù)奇偶性的圖像特征后，通過圖像進(jìn)行誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，更加直觀快捷.筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)很多高中生連初中特殊角度的三角函數(shù)值沒記住，死記公式容易記混淆，特別是30°和60°的正、余弦值，學(xué)生總記不清哪個(gè)是12、哪個(gè)是32.筆者介紹一種巧妙的記憶方法，前提是學(xué)生已記住了正、余弦函數(shù)的圖像.通過觀察圖像，x從0開始向右增大，正弦函數(shù)圖像逐漸上升，余弦函數(shù)圖像逐漸下降，可知30°、45°和60°的正弦值的分子的根號(hào)下分別是1、2、3，而30°、45°和60°的余弦值的分子的根號(hào)下分別是3、2、1.有教師會(huì)覺得此法略死板，但是學(xué)生利用此法能快速記住函數(shù)值，且不會(huì)混淆，在之后解題中鞏固加深印象，自然就能靈活運(yùn)用.此方法實(shí)質(zhì)是利用函數(shù)的單調(diào)性，教材上函數(shù)單調(diào)性也是利用圖像觀察總結(jié)而得.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，將煩瑣的公式推導(dǎo)過程轉(zhuǎn)化為有趣的圖像識(shí)別過程，化繁為簡.

2.化歸思想

在數(shù)學(xué)問題中，將未解決的問題化歸為已解決的是化歸思想中的重要方法.利用圖像來推導(dǎo)公式，將問題轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的知識(shí).例如通過觀察圖像，聯(lián)系函數(shù)的奇偶性、對稱性等性質(zhì)得出誘導(dǎo)公式，更為典型的是直接利用之前推導(dǎo)出來的公式，將公式中的α代換成-α.化歸思想能將抽象含糊的問題變得直觀明朗.這樣推導(dǎo)公式，有效地避免死記硬背公式的弊端，鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高解題能力.

3.從特殊到一般的思想

三角函數(shù)是函數(shù)中的特殊函數(shù)，它具備一般函數(shù)具有的性質(zhì).通過觀察圖像，分析其奇偶性等，得出公式，這是由一般函數(shù)到三角函數(shù)的推導(dǎo).如將初中的知識(shí)推廣，掌握初中的定理：一個(gè)角的正弦（余弦）等于其余角的余弦（正弦），將此特殊推廣到一般，得誘導(dǎo)公式.

運(yùn)用函數(shù)圖像來幫助理解和記憶三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，不僅形象直觀，且把之前學(xué)過的知識(shí)充分利用，形成一個(gè)螺旋上升的數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu).初中關(guān)于特殊角的正余弦值的知識(shí)、高一關(guān)于函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的知識(shí)，這些知識(shí)剛接觸和學(xué)習(xí)的時(shí)候?qū)W生都能記住和掌握，過了一段時(shí)間就“忘記”了，需要重復(fù)溫習(xí).通過本文的方法不僅能更容易理解誘導(dǎo)公式，還能進(jìn)一步掌握學(xué)過的知識(shí)，一舉兩得.

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