“弦圖”巧解題

岑妙

【摘 要】充分運(yùn)用“弦圖”解題，發(fā)揮幾何圖形形象直觀、簡(jiǎn)潔、明快、構(gòu)圖優(yōu)美等特有的功能，提高學(xué)生機(jī)智、敏捷、創(chuàng)造性地思考、分析和解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

【關(guān)鍵詞】基本圖形；弦圖；解題

在學(xué)習(xí)空間與圖形的過(guò)程中，我們經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)有一些圖形對(duì)解決相關(guān)的問(wèn)題起著重要的作用?；镜膱D形所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言具有確定性、簡(jiǎn)潔性及抽象性等特點(diǎn)，具有其它語(yǔ)言不可替代的優(yōu)越性。它們不僅跟文字一樣具有記錄作用，有利于形象記憶，也有思想交流的功能。豐富的表象，往往有助于我們清楚地分析題中的數(shù)量關(guān)系，起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的良好效果，給我們解題提供一種有效思路。

2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi)，大會(huì)的會(huì)徽就是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽畫(huà)的“弦圖”。圖中包含的四個(gè)全等的直角三角形，一大一小兩正方形，我們?cè)柚叫芜呴L(zhǎng)與直角三角形三邊的關(guān)系來(lái)證明勾股定理。作為學(xué)生十分熟悉的基本圖形，在解決許多習(xí)題時(shí)，卻往往被忽視它的作用，不少幾何題直接運(yùn)用條件去推導(dǎo)往往比較復(fù)雜，若將圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠囱a(bǔ)，構(gòu)造成一幅美麗而巧妙的“弦圖”，其解答就在圖中直接或間接地顯示出來(lái)了。

下面我們就通過(guò)幾個(gè)案例來(lái)看看“弦圖”是如何發(fā)揮巧妙的作用的。

【案例一】——“以形助數(shù)”：

如圖，一直角三角形的面積為6平方米，兩條直角邊的差為1米，問(wèn)：直角三角形的斜邊長(zhǎng)多少米？

設(shè)兩未知數(shù)列出一個(gè)二元二次方程組，是大部分學(xué)生會(huì)采取的方法，這樣的解法思路是比較簡(jiǎn)單，但解方程的過(guò)程中運(yùn)算量還是較大的。這里我們?nèi)粲蒙稀跋覉D”，“以形助數(shù)”，斜邊就能很快地被求出來(lái)。構(gòu)造“弦圖”后，直角三角形被補(bǔ)成一個(gè)大正方形，而大正方形的邊長(zhǎng)顯然就是這個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)，只要求出該大正方形的面積，所求的問(wèn)題也就迎刃而解了。通過(guò)觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)拼成的“弦圖”中間部分恰好是一個(gè)小正方形，這個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)正好是一直角三角形兩條直角邊之差，所以大正方形的面積為四個(gè)直角三角形的面積加上小正方形的面積，即S=6×4+1=25平方米，所以大正方形邊長(zhǎng)為5米，即直角三角形的斜邊就是5米。與之前的列方程組相比較，這種構(gòu)圖法既直觀又簡(jiǎn)單，深得學(xué)生的喜歡。

【案例二】——“巧設(shè)坐標(biāo)”：

如圖，正方形的A1B1P1P2的頂點(diǎn)P1、P2在反比例函數(shù)（x>0）的圖象上，頂點(diǎn)A1、B1分別在x軸、y軸的正半軸上，再在其右側(cè)作正方形A2B2P2P3，頂點(diǎn)P3在反比例函數(shù)（x>0）的圖象上，頂點(diǎn)A2在x軸的正半軸上，則點(diǎn)P3的坐標(biāo)為 。

這是2011年寧波市中考卷填空題的最后一題，雖似曾相識(shí)，但又煥然一新，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，重點(diǎn)考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。把反比例函數(shù)與正方形的知識(shí)相結(jié)合，借助看似平實(shí)簡(jiǎn)潔的問(wèn)題設(shè)置，卻凸顯了數(shù)學(xué)思想方法在解題時(shí)的重要作用，學(xué)生必須牢固掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，并且在不同的環(huán)境中能夠靈活地加以運(yùn)用。此題首先考查應(yīng)用反比例函數(shù)和正方形都關(guān)于直線y=x的軸對(duì)稱(chēng)性得出P2坐標(biāo)為（2，1），接下來(lái)我們對(duì)正方形A2B2P2P3作出“弦圖”的分割，如右圖，設(shè)較長(zhǎng)直角邊為a，則通過(guò)觀察就能得出P3的坐標(biāo)，可表示為（2+a，a），然后把P3的縱橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求出a的值，繼而求出P3的坐標(biāo)。此題正是應(yīng)用了“弦圖”的結(jié)構(gòu)特征，把原本傾斜的正方形邊長(zhǎng)通過(guò)分割使之“改斜歸正”，繼而可以比較輕松的把線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)。

【案例三】——“巧求邊長(zhǎng)”：

如圖，以Rt△ABC的斜邊BC為一邊在△ABC的同側(cè)作正方形BCEF，設(shè)正方形的中心為O，連結(jié)AO，如果那么AC的長(zhǎng)等于 。

此題圖形關(guān)系較復(fù)雜，而要把線段AB、AO轉(zhuǎn)接成線段AC，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)還是有點(diǎn)困難的。通過(guò)觀察，要是能夠發(fā)現(xiàn)∠ABO=∠OCG的話，在AC上取一點(diǎn)G使CG=AB=4，連接OG，利用△OGC≌△OAB和等腰直角三角形的相關(guān)知識(shí)還是能解決此題的?？墒沁@種證明思路對(duì)學(xué)生來(lái)講很難想到，往往一開(kāi)始就“見(jiàn)題生畏”了，不過(guò)心中若有“弦圖”，根據(jù)圖形特征把“弦圖”補(bǔ)全，就會(huì)有意想不到的效果。這里的AH就是小正方形的邊長(zhǎng)，而AO=，所以AH長(zhǎng)度為12，又根據(jù)“弦圖”特征，AB=HC=4，所以AC的長(zhǎng)等于12+4=16。本題補(bǔ)形后的“弦圖”不僅圖形對(duì)稱(chēng)完美，而且對(duì)于此題的證明思路顯得更加清晰，證法更加簡(jiǎn)潔直觀，使我們?cè)俅晤I(lǐng)會(huì)到“弦圖”的魅力和豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。

【案例四】——“面積問(wèn)題”：

在直線l上擺放著三個(gè)正方形。

（1）如圖1，已知水平放置的兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)依次是a，b。斜著放置的正方形的面積S= ，兩個(gè)直角三角形的面積和為 ；（均用a，b表示）

（2）如圖2，小正方形面積S1=1，斜著放置的正方形的面積S=4，求圖中兩個(gè)鈍角三角形的面積m1和m2，并給出圖中四個(gè)三角形的面積關(guān)系；

（3）圖3是由五個(gè)正方形所搭成的平面圖，T與S分別表示所在的三角形與正方形的面積，試寫(xiě)出T與S的關(guān)系式，并利用（1）和（2）的結(jié)論說(shuō)明理由。

此題選自2011年中考復(fù)習(xí)考試大綱的一道練習(xí)，對(duì)于第（2）小題的說(shuō)理，事實(shí)上很多同學(xué)一開(kāi)始找不到問(wèn)題的切入口。我們可以把中間這個(gè)正方形作出“弦圖”的分割，直角三角形的長(zhǎng)直角邊記為h，短直角邊記為n，顯然利用四個(gè)全等的直角三角形能理出四個(gè)三角形之間的面積關(guān)系：m1=a×h=m3，m2=a×h=m4。

【案例五】——“拼圖設(shè)計(jì)”：

如圖，有一個(gè)邊長(zhǎng)為5的正方形紙片ABCD，要將其剪拼成邊長(zhǎng)分別為a，b的兩個(gè)小正方形，使得a2+b2=52。

a，b的值可以是 （寫(xiě)出一組即可）；

②請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種具有一般性的裁剪方法，在圖中畫(huà)出裁剪線，并拼接成兩個(gè)小正方形，同時(shí)說(shuō)明該裁剪方法具有一般性：

此題選自2009年天津市中考題，作為填空最后一題，旨在考查了學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生對(duì)“弦圖”的再認(rèn)識(shí)及應(yīng)用。一般性的裁剪方法再次利用了“弦圖”的特征，裁剪線及拼接方法如右圖所示，我們先把正方形ABCD劃分出“弦圖”結(jié)構(gòu)，將圖中的△DCF繞D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△DAG，即△DCF≌△DAG，DF=DG，說(shuō)明了四邊形DFIG是正方形；同理將△CEB繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△AHB，即△CEB≌△AHB，BE=BH，進(jìn)而說(shuō)明四邊形EBHI是正方形。

其實(shí)能用“弦圖”解決的數(shù)學(xué)題目還有很多，這些習(xí)題大凡有一個(gè)共性，涉及直角三角形或正方形，這時(shí)候我們選擇補(bǔ)全“弦圖”能更清楚地看到圖中的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系。充分運(yùn)用“弦圖”的特征解題，發(fā)揮幾何圖形的形象直觀、簡(jiǎn)潔、明快、構(gòu)圖優(yōu)美等特有的功能，能提高學(xué)生機(jī)智、敏捷、創(chuàng)造性地思考、分析和解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。事實(shí)上，數(shù)學(xué)基本圖形眾多，“弦圖”只是其中一個(gè)，不同的基本圖形有不同的性質(zhì)，呈現(xiàn)的是不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，體現(xiàn)的是各自特有的圖形功能。在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，從已知條件的數(shù)字特征、代數(shù)式的特點(diǎn)及特定的數(shù)量關(guān)系等角度去充分挖掘它們所具有的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)基本圖形的形象性、直觀性來(lái)解題，不僅有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的解題效率，而且對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)也具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]何軍.淺談圖形語(yǔ)言在解題中的應(yīng)用.數(shù)學(xué)通報(bào).2008，（7）