“對號”函數(shù)在高考中的應用

戴建峰

對勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般函數(shù)，又被稱為“雙勾函數(shù)”“勾函數(shù)”“對號函數(shù)”“雙飛燕函數(shù)”等，也被形象稱為“耐克函數(shù)”或“耐克曲線”，是一種教材上沒有但考試老喜歡考的函數(shù)，所以更加要注意和學習.在求函數(shù)的最值或值域時，有些函數(shù)不能用均值不等式，主要是由于等號不成立，而用單調(diào)性又難以判斷與證明，掌握對號函數(shù)的性質(zhì)，使這類題目在解題中顯得簡便而準確.

一、在解不等式中的應用

例1（2006年江蘇卷）不等式log2（x+1x+6）≤3的解集為.

分析log2（x+1x+6）≤30

令y=x+1x，由它的草圖不難得出解集為x-3-22

點評此法為數(shù)形結合法，即：若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖像，則可以通過畫圖直接判斷得出結果.尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷.

二、在求最值中的應用

例2（ 2006年重慶卷）若a，b，c>0，且a（a+b+c）+bc=4-23，則2a+b+c的最小值為（）.

A.3-1B.3+1C.23+2D.23-2

分析由題設可得（a+b）（a+c）=4-23.

令t=a+b，則4-23t=a+c，且t>0.

由此（a+b）+（a+c）=2a+b+c=t+4-23t.

再令y=t+4-23t（t>0），則y≥24-23=2（3-1），故選D.

點評利用代數(shù)變形進行等價轉(zhuǎn)化，巧妙的將不等式范圍討論轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即：求“對號”函數(shù)在定義范圍內(nèi)的最值，關鍵在于構造函數(shù)及其自變量的范圍.

三、在關于參數(shù)恒成立問題中的應用

例4（2006年江西卷）若不等式x2+ax+1≥0對于一切

x∈ （0，12]成立，則a的取值范圍是（）.

A.0B.–2C.-52D.-3

分析 由題設可得a≥-（x+1x），令y=x+1x，其中x∈0，12.

由圖像知：y≥2+12=52，則-y≤-52.故a≥-52.

點評在不等式中出現(xiàn)了兩個字母：x及a，關鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數(shù).顯然可將x視作自變量，則上述恒成立問題即可轉(zhuǎn)化為在（0，12]內(nèi)關于x的“對號”函數(shù)求值域的問題.

四、在綜合題中的應用

例4（2006年上海卷）已知函數(shù)y=x+ax有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a>0，那么該函數(shù)在（0，a]上是減函數(shù)，在[a，+∞）上是增函數(shù).

（1）如果函數(shù)y=x+2bx（x>0）在（0，4]上是減函數(shù)，在4，+∞上是增函數(shù)，求b的值；

（2）設常數(shù)c∈[1，4]，求函數(shù)f（x）=x+cx（1≤x≤2）的最大值和最小值；

（3）當n是正整數(shù)時，研究函數(shù)g（x）=xn+cxn（c>0）的單調(diào)性，并說明理由.

分析（1）由已知得2b=4，∴b=4.

（2 ） ∵c∈[1，4]，∴c∈[1，2]，于是，當x=c時，函數(shù)f（x）=x+cx取得最小值2c.

當1≤c≤2時，函數(shù)f（x）的最大值是f（2）=2+c2；

當2≤c≤4時，函數(shù)f（x）的最大值是f（1）=1+c.

（3）令t=xn，則g（t）=t+ct.

由題設：g（t）在（-∞，-c]，[c，+∞）上為增函數(shù)，在[-c，0），（0，c]上為減函數(shù).

又當n是偶數(shù)時，t=xn為偶函數(shù)，并且在0，+∞上為增函數(shù)，在-∞，0上為減函數(shù).

由復合函數(shù)單調(diào)性知：

g（x）在[2nc，+∞）上是增函數(shù)，在（0，2nc]上是減函數(shù)，在（-∞，-2nc）上是減函數(shù)，在[-2nc，0]上是增函數(shù).

當n是奇數(shù)時，t=xn為奇函數(shù)，并且在-∞，0，0，+∞上為增函數(shù).

由復合函數(shù)單調(diào)性知：

g（x）在[2nc，+∞）上是增函數(shù)，g（x）在（0，2nc]上是減函數(shù)，

在（-∞，-2na]上是增函數(shù)，在[-2na，0）上是減函數(shù).

點評此法充分而合理地利用了復合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的基本方法，對未知函數(shù)一分為二，拆成兩個已知的函數(shù)，輕松地對他們各個擊破，然后合之得出結論，從而避免了對未知函數(shù)的一系列復雜的討論，不能不說是一個上策.