高中數(shù)學(xué)開放性習(xí)題研究

王瀅

【摘 ? ?要】近幾年來(lái)，高中數(shù)學(xué)中的開放性題目顯著增多，本文對(duì)高中數(shù)學(xué)開放性習(xí)題的特點(diǎn)、分類和解決方法三個(gè)方面做了簡(jiǎn)單闡述，希望對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)有所幫助。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) ?開放性習(xí)題 ?特點(diǎn) ?分類 ?解題方法

中圖分類號(hào)：G4 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2015.05.023

隨著素質(zhì)教育和新課改的不斷推進(jìn)，教育更加注重學(xué)生的創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力，重視學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。高中數(shù)學(xué)作為一門訓(xùn)練學(xué)生思維能力的學(xué)科，在近幾年的考試中注重學(xué)生思維的開放性和靈活性，開放性習(xí)題的數(shù)量大大增加，本文對(duì)此題型并結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，淺談對(duì)開放性習(xí)題的看法。

一、開放性習(xí)題的特點(diǎn)

之所以被稱之為開放性習(xí)題是因?yàn)槠渚哂幸欢ǖ拈_放性，所謂開放性就是與常規(guī)習(xí)題不一樣，它注重考察學(xué)生的知識(shí)的整體運(yùn)用能力、思維的發(fā)散性和靈活性，能讓學(xué)生的思維能力得到較充分的培養(yǎng)和提高，而常規(guī)習(xí)題的作用強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和運(yùn)用，對(duì)所學(xué)知識(shí)起到鞏固和檢驗(yàn)的作用。開放性習(xí)題的特點(diǎn)具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

（一）涉及的知識(shí)面較為廣泛

開放性習(xí)題在解題時(shí)運(yùn)用到的知識(shí)較為廣泛，他不跟一般習(xí)題一樣，是針對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，更多的會(huì)涉及到多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的整體運(yùn)用，對(duì)學(xué)生所學(xué)知識(shí)的整體運(yùn)用能力提出了考驗(yàn)，注重考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移運(yùn)用能力。此外，開放性習(xí)題涉及到的題材較為廣泛，貼近生活實(shí)際，體現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，不僅在學(xué)習(xí)上對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力進(jìn)行檢驗(yàn)，還能拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)之間，數(shù)學(xué)與生活之間的距離，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在生活中的作用，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和動(dòng)力。

（二）題目類型新穎多樣

與一般題目相比，開放性習(xí)題的題目類型更加新穎多樣。這與兩者的不同作用有關(guān)，一般題目主要考查學(xué)生對(duì)某個(gè)具體知識(shí)點(diǎn)的掌握和運(yùn)用情況，因此，在設(shè)計(jì)上主要針對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，題目類型比較單一。開放性習(xí)題注重學(xué)生發(fā)散思維能力的培養(yǎng)，考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體遷移能力，在題目設(shè)計(jì)上要給學(xué)生以啟發(fā)，因此，在題目設(shè)計(jì)上要比一般題目更加具有多樣性和新穎性。除了單一的文字?jǐn)⑹鐾?，還可以運(yùn)用圖畫、圖表、對(duì)話等形式，在題目的設(shè)計(jì)上就可以讓學(xué)生眼前一亮，能夠提高學(xué)生的解題興趣，激發(fā)學(xué)生思考的欲望。

（三）注重發(fā)散性思維的鍛煉

由于開放性習(xí)題的在設(shè)計(jì)時(shí)考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體運(yùn)用能力，考查學(xué)生的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力，在解題方法和解題思路上富有多樣性，答案具有不唯一性，因此，開放性題目具有鍛煉學(xué)生思維能力的特點(diǎn)。

（四）注重創(chuàng)新性

與一般題目相比，開放性題目更具有創(chuàng)新性，體現(xiàn)了新課改和素質(zhì)教育下，對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)。解題思路的發(fā)散性，題目設(shè)計(jì)上的新穎、多樣性都是其創(chuàng)新性的表現(xiàn)。

二、開放性習(xí)題的分類

數(shù)學(xué)題一般包括條件、依據(jù)、方法和結(jié)論四個(gè)要素，根據(jù)開放性習(xí)題所尋求的答案我們一般將之分為四類：第一類為條件開放題，這類題目尋求的答案是數(shù)學(xué)題的條件。第二類為策略開放題，這類題目尋求的答案是數(shù)學(xué)題的依據(jù)和方法。第三類為結(jié)論開放題，這類題目尋求的答案是數(shù)學(xué)題的結(jié)論。第四類為綜合開放題，這類題目側(cè)重對(duì)學(xué)生對(duì)條件或者結(jié)論或者依據(jù)方法等的綜合考察，考察的不是數(shù)學(xué)題的一個(gè)方面，要求學(xué)生在已知條件或者情境中尋找多個(gè)數(shù)學(xué)因素。

（一）條件開放題

條件開放性習(xí)題也就是給出結(jié)論，依據(jù)結(jié)論尋求條件的題目，如關(guān)于圓錐曲線的一道題目：已知以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，一焦點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）的曲線，在添上什么條件可求得此方程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。這就是一道條件開放性題目，已知結(jié)論為方程，求得出方程的條件。該題目考查學(xué)生對(duì)雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及圖像和性質(zhì)的綜合運(yùn)用情況，可以鍛煉學(xué)生對(duì)知識(shí)整體遷移能力。

（二）策略開放題

策略開放性題目就是在條件和結(jié)論已知的情況下，探索兩者能夠相互成立的路徑，重在考查學(xué)生在探求路徑過(guò)程中的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維的過(guò)程。如，大家耳熟能詳?shù)碾u兔同籠問(wèn)題，就是一道策略開放題，針對(duì)雞兔同籠問(wèn)題學(xué)生可以運(yùn)用算數(shù)方法，假設(shè)兔子的數(shù)量為零，再結(jié)合題目中腿的數(shù)量求出，也可以利用代數(shù)方法，假設(shè)雞和兔子的數(shù)量都為未知，根據(jù)方程式求出雞和兔子的數(shù)量，也可以自己創(chuàng)設(shè)情境，假設(shè)雞和兔子的腿都減少一半在根據(jù)題目已知求出雞和兔子的數(shù)量，每一種解題方法都是學(xué)生思維能力的表現(xiàn)。

（三）結(jié)論開放題

結(jié)論開放性題目，也就是題目的結(jié)論具有多樣性，如，寫出幾個(gè)以y軸為對(duì)稱軸的三角函數(shù)。這就是一道結(jié)論開放性題目，通過(guò)分析，學(xué)生很容易根據(jù)以y軸為對(duì)稱軸的函數(shù)具有的特點(diǎn)找出與之對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)，以y軸為對(duì)稱軸的函數(shù)，一般具有以下特點(diǎn)，是偶函數(shù)，有些函數(shù)的對(duì)稱變換也是以y軸為對(duì)稱軸，根據(jù)其奇偶性和對(duì)稱函數(shù)，就可以找出問(wèn)題的答案。

（四）綜合開放題

綜合性開放題就是題目給出一定的情景，讓學(xué)生根據(jù)問(wèn)題和題目情境自己設(shè)定條件和解題策略等等的題目，如給出一系列數(shù)字，找出其特點(diǎn)和性質(zhì)：

（1）1，2，3，4，5，6，7，8，……

（2）1，3，5，7，9，11，13，15，……

（3）2，4，6，8，10，12，14，16，……

（4）4，8，12，16，20，24，……

（5）5，10，15，20，25，30，……

（6）1，1，1，1，1，1，1，1，1，……

通過(guò)觀察學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)這一些數(shù)字中的諸多特點(diǎn)，考查學(xué)生思考問(wèn)題是的全面性，有利于學(xué)生的發(fā)散性思維和靈活性思維能力的培養(yǎng)。

三、開放性習(xí)題的解題方法

開放性習(xí)題涉及到數(shù)學(xué)知識(shí)的方方面面，其解題方法和思路也是多種多樣的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重在日常生活中的積累和總結(jié)，通過(guò)練習(xí)題找到解題的方法和思路，并在此過(guò)程中培養(yǎng)和提高自身的創(chuàng)新性思維和發(fā)散性思維能力。以下只是選取眾多開放性題目中的幾個(gè)淺談其解題方法。

（一）利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

近年來(lái)，利用數(shù)據(jù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的題目越來(lái)越多，數(shù)據(jù)模型主要包括不等式模型、排列模型、數(shù)列模型等，這類方法主要在應(yīng)用題中的運(yùn)用較多，如，生產(chǎn)企業(yè)要生產(chǎn)兩種不同的飲料，每一百箱的

A飲料需用6kg的原料，人力10個(gè)，可得到利潤(rùn)10萬(wàn)元;每一百箱B飲料需要5kg的原料和人力20個(gè)，可獲得的利潤(rùn)為9萬(wàn)元?，F(xiàn)企業(yè)有原料60kg，人員150個(gè)，由于其他條件限制所以A產(chǎn)量不能大于800箱，那應(yīng)如何安排（下轉(zhuǎn)第102頁(yè)）（上接第23頁(yè)）生產(chǎn)方案，既能夠使得企業(yè)生產(chǎn)兩種飲料又能夠獲得最大的利潤(rùn)？（1）如果投資8000元可以增加原料1kg，問(wèn)是否應(yīng)該投資？（2）若果每一百箱的A飲料獲得利潤(rùn)1萬(wàn)元，是否改變生產(chǎn)計(jì)劃？針對(duì)這種類型的題目重在選對(duì)模型，思路清晰就可以尋找出正確的答案。

（二）利用圖形解決數(shù)字問(wèn)題

有些數(shù)字型的題目可以轉(zhuǎn)化為圖形的形式解決，如，根據(jù)x，y的圖表數(shù)據(jù)，分析出X對(duì)于Y的函數(shù)。

x=……1，3，5，8，9，12，16，…;

y=……1，8，24，65，102，256，560，…。

這類題目就可以利用圖形的形式解決，步驟就是：一建立坐標(biāo)系，二標(biāo)出對(duì)應(yīng)的x，y值，三猜測(cè)函數(shù)的模型。這類題目的答案不是唯一的，重要的是學(xué)會(huì)如何解決這類題目。

開放性題目重在對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維能力的培養(yǎng)，做為高中數(shù)學(xué)教師要不斷探索創(chuàng)新，找出更加適合學(xué)生的教學(xué)方式和方法，為社會(huì)培養(yǎng)出更多的棟梁之才。