初中數學數形結合解題方法的認識

劉文田

【摘 ? ?要】數形結合法是初中數學做題中常用的解題方法。初中數學新課標中指出學生能用數、字母和圖表描述并解決現(xiàn)實生活中的簡單問題，數形結合的解題方法是為了培養(yǎng)學生用數學思維解決實際問題的能力，進而體現(xiàn)數學的實用性。

【關鍵詞】數形結合 ?初中數學 ?綜合運用

中圖分類號：G4 ? ?文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2015.05.016

數形結合法實質上是將抽象的數學定義用構圖的方式轉化為具體、形象的直觀圖像的方法。其關鍵思想步驟是要實現(xiàn)代數與圖形之間的轉換，即實現(xiàn)代數語言幾何化，幾何圖形代數化。在初中數學中，數形結合的應用占據不小的比例，在數學教材中有廣泛地體現(xiàn)。比如，已經學過的代數式、方程、不等式等與幾何范疇的點、線形等的知識，都是密切相關的，相互輔助，相互統(tǒng)一的。數形結合的思想在數學中的具體應用，對提高數學解題效率有積極作用。

一、數形結合的體現(xiàn)

初中數學是學生思維能力鍛煉、轉型的階段，學生經過一定的學習之后，教材將數學代數知識與幾何知識雜糅，成為“數”與“形”相結合的綜合性題目，這對學生的思維能力提出了更高的要求。空間幾何的學習要求學生具備抽象的空間思維能力，代數語言要求學生逐步培養(yǎng)言語的理解能力，“數”與“形”的結合，要求學生能夠具備將抽象理解轉化為具象圖形的能力。

數形結合的思想包括“以形助數”、“以數輔形”兩個部分，大致分為兩種情形，一是借助于圖形的直觀性來表示數之間的關系。二是借助數的規(guī)范性來闡釋圖形的某些屬性。比如，拋物線方程式可以精確的表示拋物線的幾何性質，而拋物線圖形則可以豐富拋物線方程式的單調性，展現(xiàn)拋物線的開口方向、遞減、遞增區(qū)間等復雜內容。

學生在初中一年級學習的數軸知識就是數學教材中數形結合的一個典型實例。它不僅將數值與直線上的點建立一一對應的關系，更涵蓋了數形之間的深層聯(lián)系。實數之間各種復雜的關系都能夠在數軸上表示說明。比如，數軸上以零為起始點，同樣大的數值，互為相反數的數在數軸上的位置表示為，左右兩邊距離零點的距離相等的點的位置。通過圖形來研究數量之間的關系，通過數量關系來研究圖形特征，就是數形結合思想的全面體現(xiàn)。

二、數形結合法在初中數學中的有效運用

數形結合方法在數學解題中有廣泛的考查，對學生綜合知識的應用能力有了更高的要求。面對復雜的知識，學生不能馬上適應，遇到此類題型時，不能很快的想到運用數形結合的方式解題。有些學生在幾次碰壁后，喪失了做題的信心，一遇到數形結合的題便怯而不前。對此，教師在平時的教學中要幫助學生熟悉數形轉化關系、培養(yǎng)學生數形結合的思維能力和解題能力，通過平時的反復訓練，幫助學生建立數形結合的思維方式，樹立解題的信心。運用數形結合的解題方法來提高數學的教學效率，教師可以從以下三方面入手。

第一，學會數轉型，將復雜簡單化，抽象具體化。在數轉形的實際操作中，剛開始接觸時，學生容易出現(xiàn)審題失誤、算錯數值的情況，這就需要教師引導學生多進行數轉形的訓練，不斷提高學生的做題效率和準確率。教師要明確告訴學生數轉形的運用，是根據具體題目而言的，并非所有的代數題都要用數轉形這種方法，教師在訓練中幫助學生區(qū)分什么樣的題型需要數轉形，什么樣的題型無需數轉形。

第二，學會形化數，將圖形信息數值規(guī)范化。初中數學中的形主要是平面圖形，如何在平面圖形中提取有效信息是解決形化數的關鍵。因此，形化數解題方法的應用前提是學生對各類圖形相關基礎知識的掌握。在教學過程中，教師要有意識的引導學生對圖形性質、圖形定理的掌握，采取多種方式鞏固學生對圖形基礎知識的把握，幫助學生在理解的基礎上識記。教師可以利用提問的方式加深學生對圖形性質、定理的記憶，還可通過題目訓練的方式幫助學生鞏固知識。比如，解幾何圖形時，題目中提示已知條件△ABC是等腰直角三角形，并且一邊腰長AB是1cm，求△ABC的周長和面積。在這一題目中，學生需要對等腰三角形的基本性質、勾股定理以及周長、面積的計算公式加以了解并能夠熟練運用，否則不管哪個環(huán)節(jié)出現(xiàn)了漏洞都有可能造成學生對題目的曲解。可見，“形化數”能力的培養(yǎng)，對學生解題的綜合能力的提高具有重要意義。教師要注重學生對各種圖形、各種定理公式的掌握，才能不斷推進學生數學能力的完善。

第三，要做到數形結合，提高數形轉化的綜合能力。不論是數轉形，還是形化數的訓練，其最終目的都是為了將“數”與“形”結合起來，全面激發(fā)學生對數學知識的掌握和運用能力，提升學生解決數學難題的能力。尤其是學習二次函數相關知識之后，數形結合的綜合題目對學生提出了更高的要求。不再是簡單的數轉形、形化數式訓練，而是要求學生通過敏銳的數學感知能力，在復雜的數形關系中，靈活、綜合地運用各種方法解題。比如，在一道將直線（方程式為x+2y=1，x≥0，y≥0）和拋物線（x2+y2，x≥0，y≥0）容納在一道題目中的代數問題中，求x2+y2的最大值與最小值。代數題的最值問題是很多學生難以克服的一大題型，面對復雜的題型，學生往往無從下手，并且復雜的代數題解決起來也很麻煩。學生即使是有解題思路，但在實際解題過程中，也不能避免解題失誤。若將兩個方程式化作坐標軸上的圖形進行表示，其中所求方程式在坐標軸上是一個圓的范圍，直線則成為與圓的交線，交點的橫坐標長度就是所求最值的值。

三、數形結合的作用與意義

數形結合的方法對學生掌握數學知識、提高數學技能、培養(yǎng)數學思維等方面有積極作用。首先，數形結合的方法將抽象的數學知識轉換為直觀的平面圖形，有助于學生對數學知識本質的理解。學生對某一知識的識記不具備持久性，尤其是對數學教材上陳述性知識的記憶儲存，缺乏持久性。數形結合的方法可以憑借其豐富、生動性的特點來加深學生的記憶深度，降低其對知識的遺忘速度。長期進行數形結合思維方式的訓練，可以豐富學生的解題思路，有助于學生對數學概念的理解和運用。其次，數形結合法有助于優(yōu)化學生的認知結構，數形結合法通過數學知識之間的相互轉化產生作用。綜合題型的解答訓練能夠調動學生各方面的知識碎片，并且學生在知識的調動過程中實現(xiàn)知識結構的優(yōu)化，從而構建新的知識網絡框架。如在遇到拋物線等題目時，有關拋物線的開口，區(qū)間遞減型、最值問題的各種性質會集體出現(xiàn)，以供學生調遣。

總之，數形結合的解題方法適用于初中生的身心發(fā)展要求，對提高學生的解題能力有很大幫助，掌握并熟練運用數形結合法能夠幫助學生提高考試成績。數形結合教學法作為一種新型教學模式，對提高教師的課堂教學效率有積極作用，尤其是在多媒體技術的靈活運用后，該方法將成為數學教學中的重要方法之一。