淺談數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的運用淺談數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的運用

樂志剛

【摘要】高中數(shù)學(xué)中有很多數(shù)學(xué)思想方法，其中數(shù)形結(jié)合思想是比較重要的一種，其將代數(shù)和幾何的知識進(jìn)行了有效的連接，用代數(shù)方法解決幾何問題，用幾何知識化解代數(shù)問題，成為一道連接兩塊知識的重要橋梁.本文淺談該思想方法在高中數(shù)學(xué)知識中的運用.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；思想方法；以形輔數(shù)；以數(shù)解形

高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計到三個層次方面的教學(xué)：其一是教材中最基本知識和基本技能的教學(xué)，即所謂的雙基，近期課程綱要修訂中將雙基已經(jīng)提升為四基的要求，即增加了基本思想方法和基本活動經(jīng)驗，這是教師教學(xué)的最基本要求；其二是教材中諸多知識的整合性學(xué)習(xí)，這是基于雙基之上的一種教學(xué)層次；最后，高中數(shù)學(xué)最高層面的教學(xué)是思想方法的教學(xué)，只有學(xué)會思想方法，才能將變幻多端的試題寓于無形的解決方案中，這是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo).《課程標(biāo)準(zhǔn)》正是這樣描述的：要讓學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法，利用數(shù)學(xué)思想方法去解決問題.

高中數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)形結(jié)合思想是一種貫穿高中數(shù)學(xué)始終的數(shù)學(xué)思想方法.其核心在于用代數(shù)的方法解決一些幾何問題，用幾何的方法解決一些代數(shù)問題，將幾何和代數(shù)兩座孤島用橋梁進(jìn)行了合理的連接，讓學(xué)生的腦海中建立起了數(shù)形互相轉(zhuǎn)換的概念，培養(yǎng)其解決問題的多思路性、發(fā)散性、簡捷性.

1.以形輔數(shù)

數(shù)形結(jié)合思想方法的作用之一，是以形輔數(shù).用幾何本質(zhì)的圖形來反映、解決代數(shù)問題是其思想的重要運用，來看兩個相關(guān)的案例.

案例1 設(shè)有函數(shù)f（x）=a+-x2-4x和g（x）=43x+1，已知x∈[-4，0]時恒有f（x）≤g（x），求實數(shù)a的取值范圍.

審題破題：x∈[-4，0]時恒有f（x）≤g（x），可以轉(zhuǎn)化為x∈[-4，0]時，函數(shù)f（x）的圖像都在函數(shù)g（x）的圖像下方或者兩圖像有交點，利用圖像解決代數(shù)中的不等式問題.

解析 f（x）≤g（x），即a+-x2-4x=43x+1，變形得-x2-4x=43x+1-a，

令y=-x2-4x，①

y=43x+1-a.②

① 變形得（x+2）2+y2=4（y≥0），即表示以（-2，0）為圓心，2為半徑的圓的上半圓；

② 表示斜率為43，縱截距為1-a的平行直線系.

設(shè)與圓相切的直線為AT，AT的直線方程為：

y=43x+b（b>0），則圓心（-2，0）到AT的距離為d=|-8+3b|5，

由|-8+3b|5=2得，b=6或-23（舍去）.

∴當(dāng)1-a=6即a=-5時，f（x）≤g（x）.

反思?xì)w納：解決含參數(shù)的不等式和不等式恒成立問題，可以將題目中的某些條件用圖像表現(xiàn)出來，利用圖像間的關(guān)系以形助數(shù)，求方程的解集或其中參數(shù)的范圍.

2.以數(shù)解形

以形解數(shù)最典型的代表是高中數(shù)學(xué)重要核心知識——解析幾何.笛卡爾創(chuàng)立了坐標(biāo)系之后，后代的數(shù)學(xué)大師們將平面解析幾何放到坐標(biāo)系中，輕松的用代數(shù)方法解決了幾何問題，這是數(shù)形結(jié)合思想的另一方面的重要體現(xiàn).

案例2 已知拋物線C：y2=4x，過點A（-1，0）的直線交拋物線C于P，Q兩點，設(shè)AP=λAQ.（1）若點P關(guān)于x軸的對稱點為M，求證：直線MQ經(jīng)過拋物線C的焦點F；（2）若λ∈13，12，求|PQ|的最大值.

審題破題：（1）可利用向量共線證明直線MQ過F；（2）建立|PQ|和λ的關(guān)系，然后求最值.

（1）證明：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x1，-y1）.

∵AP=λAQ，

∴x1+1=λ（x2+1），y1=λy2，

∴y21=λ2y22，y21=4x1，y22=4x2，x1=λ2x2，∴λ2x2+1=λ（x2+1），λx2（λ-1）=λ-1.

∵λ≠1，∴x2=1λ，x1=λ，又F（1，0），

∴MF=（1-x1，y1）=（1-λ，λy2）=λ1λ-1，y2=λFQ，

∴直線MQ經(jīng)過拋物線C的焦點F.

（2）解析：由（1）知x2=1λ，x1=λ，得x1x2=1，y22·y22=16x1x2=16，∵y1y2>0，∴y1y2=4，則|PQ|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=x21+x22+y21+y22-2（x1x2+y1y2）=λ+1λ2+4λ+1λ-12=λ+1λ+22-16，λ∈13，12，λ+1λ∈52，103，當(dāng)λ+1λ=103，即λ=12時，|PQ|2有最大值1129，|PQ|的最大值為473.

反思?xì)w納：求最值或求范圍問題常見的解法有兩種：（1）幾何法.若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.（2）代數(shù)法.若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，這就是代數(shù)法.

總之，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)極為重要的思想方法之一.以形輔數(shù)主要體現(xiàn)在函數(shù)相關(guān)知識的延伸，以數(shù)解形恰恰在解析幾何中有著重要的體現(xiàn).通過典型問題的滲透，努力培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法的積累.