高中數(shù)學中的導數(shù)實例分析

楊志剛

【摘要】導數(shù)在高中數(shù)學和高等數(shù)學之間起到了承上啟下的作用，在高中數(shù)學的教學過程中常常是作為重點和難點來進行講解的.關于導數(shù)的應用拓展在平時的模擬和歷年高考題目中都有一定程度的體現(xiàn).在本篇文章中，作者精心選取了幾個典型的與導數(shù)相關的數(shù)學題目加以分析并對相關知識點進行了總結(jié)，希望這些心得和體會能夠?qū)V大高中生有所啟示.

【關鍵詞】高中數(shù)學、導數(shù)、例題解析

高中數(shù)學中關于導數(shù)涉及一些基礎的知識，從初等數(shù)學的觀點出發(fā)，導數(shù)是與函數(shù)緊密相連，并且可以完全被看作函數(shù)大的知識框架中的一部分.導數(shù)是判斷函數(shù)單調(diào)性，求解函數(shù)極值和最值最關鍵的手段.而如果從高等數(shù)學的觀點出發(fā)，導數(shù)是微分的逆運算，而微分和積分又是構(gòu)成高等數(shù)學的基石.從這里可以看出，高中學習的導數(shù)知識，不僅是為解決高中數(shù)學現(xiàn)有的問題，而且也是為了學生將來接觸到的高等數(shù)學打下一定的基礎，因此，顯得十分重要.關于導數(shù)的題目，一般可以從導數(shù)的意義、導數(shù)的運算法則和應用以及導數(shù)與其他知識點的綜合三個方面出題，下面我們一一進行舉例分析.

一、導數(shù)的意義

導數(shù)的意義來源于其本身的概念，又可以分為幾何意義和物理意義.導數(shù)的幾何意義表明導數(shù)是函數(shù)曲線上某一點切線的斜率；而物理意義就是某物理量對另一物理量的變化率，如距離對時間的導數(shù)是速度，而速度對時間的導數(shù)是加速度等.

例1 （2009年全國卷真題）已知直線y=x+1與曲線y=ln（x+α）相切，則α的值為（ ）.

A.1 B. 2 C. -1 D. -2

分析 這是一道關于導數(shù)基礎概念和幾何意義的高考真題，題干簡單但是蘊含著較多的信息.題干中說直線和曲線相切，也就是只有一個交點并且在這個交點處二者的斜率相同，這也是相切與相交的區(qū)別之處.因此，做這道題，首先必須明白相切二字帶來的信息，另外想到相切與導數(shù)的關系，也就是對導數(shù)幾何意義的熟悉.

解答 已知直線與曲線相切，故它們只有一個切點且在這個切點直線和曲線的斜率相同.設切點為P（x0，y0），則y0=x0+1=ln（x0+α）.又由于直線的斜率為一個常數(shù)k0=1，所以在切點處曲線y=ln（x+α）的斜率k1=k0=1.對曲線求導數(shù)，可得k0=1/（x0+α）=1，所以x0+α=1，即y0=0，x0=-1，所以α=2.

點評 當遇到題干十分簡練的題目時，一定要認真讀題，從每一個字眼中挖掘題目蘊含的一些信息.通常情況下，在考察導數(shù)的概念時，不會涉及很復雜的計算，所以題目設計的數(shù)字往往都是十分湊巧的.

二、導數(shù)的運算法則和應用

導數(shù)的運算法則不是人為規(guī)定的，而是對計算中的一些結(jié)論進行的總結(jié)，而這些總結(jié)性的知識也都是從最基礎的概念推理得出的.導數(shù)的求法以及運算法則在高中階段基本是一些需要死記硬背的東西，這里不再贅述.關于導數(shù)的應用，基本還是圍繞著函數(shù)的一些性質(zhì)展開的，這里面包括函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等知識點.

例2 設函數(shù)f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2時取得極值.

（1）求a，b的值.

（2）若對于任意的x∈ [0，3]，都有f（x）分析 在這道題中，題干中出現(xiàn)了極值，所以要求學生對函數(shù)極值的概念要十分熟悉，尤其是導數(shù)在極值點處取0的性質(zhì).這里涉及一個一元三次的函數(shù)，有3個系數(shù)a，b和c待定，通過兩個極值和函數(shù)的導數(shù)列出方程，可以求出a，b兩個系數(shù)，第一問就解決了.a，b兩個系數(shù)求出來以后，對于第二問就是一個不等式的問題，應該不難解決.

解答 （1）對函數(shù)f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c求導可得到函數(shù)的導函數(shù)f′（x）=6x2+6ax+3b，因為函數(shù)f（x）在x=1和x=2取得極值，則有f′（1）=f′（2）=0，即6+6a+3b=0；24+12a+3b=0，解之，得：a=-3，b=4.

（2）由（1）可知，f（x）=2x3-9x2+12x+18c，求導得到導函數(shù)f′（x）=6x2-18x+12=

6（x-1）（x-2）.根據(jù)單調(diào)性，兩個極值點將函數(shù)分為三段.當x∈ [0，1]時，f′（x）>0，函數(shù)遞增，所以在區(qū)間 [0，1]上f（x）的極大值為f（1）=2-9+12+18c=5+18c，最小值為f（0）=18c；當x∈ [1，2]時，f′（x）<0，函數(shù)遞減，所以在此區(qū)間上函數(shù)的極大值為f（1）=5+18c，極小值為f（2）=16-36+24+18c=4+18c；當x∈ [2，3]時，f′（x）>0.函數(shù)遞增，所以在此區(qū)間上函數(shù)最大值f（3）=9+8c，極小值為f（2）=4+18c.綜上，當x∈ [0，3]時，函數(shù)最大值為f（3）=9+8c