淺探構造法在高中數(shù)學教學中的應用

周紅芹

[摘 要]“教學有法，教無定法.”教學方法的提煉與選擇有助于提高教學效益.構造法可以幫助學生將各種數(shù)學知識聯(lián)系起來，使學生達到融會貫通、提高效率的目的.有機地將構造法運用于數(shù)列、幾何圖形、函數(shù)的教學之中，可以事半功倍地培養(yǎng)學生的思維能力，提升學生的解題水平.

[關鍵詞]構造法 數(shù)列 幾何圖形 函數(shù)

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2015）230035

在數(shù)學教學中，教師需要給學生傳授具有針對性的解題方法，其中構造法就是一種值得推廣的方法.無論是學習數(shù)學知識還是解題，構造法都能夠幫助學生將各種數(shù)學知識聯(lián)系起來，相互轉化，使學生在熟練、掌握數(shù)學知識的情況下學會舉一反三、融會貫通，從而提高學習效率.下面筆者談談構造法在高中數(shù)學教學中的應用.

一、構造法在數(shù)列中的運用

構造法解題的過程就是將未知轉化為已知的過程，轉化是解題的重點.數(shù)列的內涵就是按照固定的規(guī)律排列成一列數(shù)，此種規(guī)律一般就是通項公式.因此求數(shù)列的通項公式是最為常見的題型，也是教學的重點.除了求數(shù)列的通項公式外，求數(shù)列的前n項和也是較為常見的題型，此時可以根據(jù)具體的問題采用相應的構造法.

以構造法在數(shù)列通項公式中的運用為例，此類題目通常給出的是遞推公式，運用構造法能夠構造出新的數(shù)列，從而求出原數(shù)列的通項公式.例如這樣一道題：在數(shù)列{an}中，已知a1=1，an+1-an-（2n+1）an+1an=0，求通項公式an.在解題時，首先應當考慮到對遞推式進行移項，將（2n+1）an+1an移到等式的右側；其次，考慮在等式兩邊同時除以an+1an，由此構造出新的等差數(shù)列.由遞推式an+1-an=（2n+1）an+1an，兩邊同時除以an+1an（an+1an≠0，否則會與a1=1相互矛盾）得

1an+1-

1an

=-（2n+1）.采用構造法構造輔助數(shù)列{bn}，令bn=

1an+1-

1an

，則{bn}是以-3為首項，-2為公差的等差數(shù)列.

1an-1a1

=（1an+1an-1）+

（1an-1-1an-2）+…+（1a2-1a1）=bn-1+bn-2+…+b1=-3n-

2×（n-1）（n-2）2=

-n2+1.

將a1=1代入公式，得an=12-n2.在解題中需注意，一般學生通常會將{1an}構造成新的數(shù)列{bn}，但這里則是將{1an+1-

1an

}當作新的數(shù)列.在引導學生運用構造法解題時，還需注意叮囑學生在運算時應當注意對應的項，不要弄錯.

二、構造法在幾何圖形中的運用

代數(shù)運算雖然較為直接，但多數(shù)情況下較為抽象，且運算具有一定的復雜性，很容易出現(xiàn)錯誤.而合適的構造法能夠將求解的問題變得更加簡潔明了，使學生從其他角度找到全新的解題方法.例如這樣一道題：一個周長為6，面積是整數(shù)的直角三角形存在與否？假如不存在，請證明；假如存在，請證明一共有幾個.在解題時，先假設兩直角邊長為a、b，斜邊則為c，面積S為整數(shù)，可利用原題中的條件列出方程：a+b+c=6；a2+b2=c2；12ab=S.因為題目是證明面積S為整數(shù)，因此可由前兩個公式得出ab=18-6c.由韋達定理可構造出以a與b為根的方程：x2-（6-c）x+（18-6c）=0.Δ=（6-c）2-4×1×（18-6c）=c2+12c-36.假如方程有解，則Δ≥0，即c≥-6+62.因為c三、構造法在函數(shù)中的運用

構造函數(shù)思想屬于數(shù)學中的一種較為重要的思想方法.在數(shù)學教學中，教師應當注意引導學生掌握這一數(shù)學方法，幫助學生開拓思路，解決問題.構造法在函數(shù)中的運用一般是通過特定的手段，設計并構造出一個與待解決問題有關的函數(shù)，借助函數(shù)自身的性質或者運算結果來解決原有的問題.構造函數(shù)法的思想范圍較為廣闊，具有一定的靈活性，因此需要靈活運用.例如，假如函數(shù)滿足以下條件：（1）f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）f（x）在開區(qū)間（a，b）內可導，則在（a，b）內至少存在一點g，使f′（g）=

f（b）-f（a）b-a

.證明：做輔助函數(shù)F（x）=f（x）-f（a）-f（b）-f（a）b-a（x-a）.F（a）=F（b）=0，且F（x）在[a，b]上滿足羅爾定理的條件，因此g∈（a，b），F(xiàn)′（g）=

f′（g）-f（b）-f（a）b-a

=0，移項得f′（g）=f（b）-f（a）b-a.在證明的過程中需注意函數(shù)與變形式，構造函數(shù)法可幫助學生開拓思路，最終解決問題.

綜上所述，在高中數(shù)學教學中，運用構造法能夠有效地幫助學生整合所學的數(shù)學知識，使學生學會從不同的角度看待問題，有效地培養(yǎng)學生的思維能力.

（責任編輯 鐘偉芳）