經(jīng)歷探究過(guò)程 深化數(shù)學(xué)思考

劉智勇

[摘 要]在各類數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中，思考題是直接以“思考”來(lái)冠名的。要充分體現(xiàn)思考題的思考價(jià)值，不能只關(guān)注解題的方式和結(jié)果，更要關(guān)注研究過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的探究需要，讓學(xué)生經(jīng)歷探究過(guò)程，主動(dòng)進(jìn)行反思，以思考題的教學(xué)推動(dòng)數(shù)學(xué)思考能力的培養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]思考題 過(guò)程 結(jié)果 反思

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）14-009

下圖是學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)三個(gè)兩位數(shù)連加后的一道思考題（蘇教版義務(wù)教育數(shù)學(xué)新教材二年級(jí)上冊(cè)第5頁(yè)）。這道題里數(shù)量多，信息量大，思維要求高，初次看到它時(shí)，我也琢磨了一會(huì)兒才形成思路，對(duì)剛剛進(jìn)入二年級(jí)的學(xué)生而言，顯然是有難度的。

該怎么教學(xué)呢？我請(qǐng)教了本年級(jí)的幾位老師。有的老師說(shuō)，班上總有“好”的學(xué)生能解決，請(qǐng)這些學(xué)生做“小老師”；有的老師說(shuō)，還是等教好了后面的幾道例題，讓學(xué)生對(duì)兩位數(shù)的加減法有了比較好的基礎(chǔ)后再來(lái)研究這道題。我想，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該面向全體學(xué)生，不能只是“好學(xué)生”的主場(chǎng)；教材在此處編排這道思考題應(yīng)該是為后續(xù)教學(xué)作鋪墊，如果等后面的相關(guān)知識(shí)學(xué)好了再回頭教學(xué)，思考題的價(jià)值就大大削弱了。于是，我決定還是“還舞臺(tái)”給學(xué)生，進(jìn)行一次教學(xué)嘗試。

（學(xué)生讀題，同桌合作研究）

生1：我們兩個(gè)人做了一下加法，左邊車上30+28+26=84個(gè)，右邊車上26+24+22=72個(gè)，兩車上的蘋果數(shù)不一樣多。

師：通過(guò)計(jì)算，你們發(fā)現(xiàn)左邊車上的蘋果——（多），右邊車上的蘋果數(shù)——（少）。

生1：我們還算出左邊車比右邊車多12個(gè)蘋果。84-72=12（個(gè)）。

師：看到數(shù)據(jù)想到計(jì)算，真會(huì)學(xué)習(xí)！既然兩車上的蘋果不一樣多，怎么能讓“兩車運(yùn)的蘋果個(gè)數(shù)同樣多”呢？

生2：從左邊車上拿6個(gè)給右邊車上。

師：題目中的意思是——

生3：交換筐。

師：怎么交換？

生3：我們把兩車上的蘋果數(shù)量整理了一下，左邊車上最多的一筐是30個(gè)，右邊車上最多一筐只有26個(gè)；左邊車上最少的一筐是26個(gè)，右邊車上最少的一筐是22個(gè)；左邊車上還有一筐是28個(gè)，右邊車上還有一筐是24個(gè)。把30和26換一下。

師：你們把數(shù)據(jù)整理后，題目的意思變得清楚多了。把30和26換了以后，兩車運(yùn)的蘋果個(gè)數(shù)同樣多了嗎？

生3：好像不對(duì)，28和24換，26和22換也都不行。

生4：兩車中都有一筐是26個(gè)，只要考慮其他的四框怎么換。

師（表現(xiàn)出很驚喜的樣子，擦掉兩個(gè)26，簡(jiǎn)化表格如右）：交換哪兩筐蘋果就可以使兩車的蘋果個(gè)數(shù)同樣多？再研究一下。

生5：把30個(gè)和24個(gè)的筐換一下。左邊車為24+28=52（個(gè)），右邊車為30+22=52（個(gè)）。

生6：把28個(gè)和22個(gè)的筐換一下也行，左邊車為30+22=52（個(gè)），右邊車為24+28=52（個(gè)）。

師：如果把30個(gè)和22個(gè)的筐換一下，行不行呢？

生7：不行，這樣換左邊有22+28=50（個(gè)），右邊有30+24=54（個(gè)），不一樣多。

師：經(jīng)過(guò)大家的共同努力，這道思考題終于被解決了。比較兩種成功的換法，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生8：這兩種換法都沒(méi)有換26個(gè)。

師：為什么不讓26參加換呢？

生8：兩車上都有26個(gè)。

師：是啊，兩邊都有26個(gè)，交換的時(shí)候我們就可以不考慮。看來(lái)解決問(wèn)題時(shí)，可以先排除一些無(wú)關(guān)信息，讓問(wèn)題解決變得簡(jiǎn)單一點(diǎn)。

生9：30比24多6，28也比22多6。這也是兩種換法中的相同點(diǎn)。

師：還記得原來(lái)左邊車上比右邊車上多幾個(gè)蘋果？

生：12個(gè)。

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生10：6是12的一半。

師：是啊，所謂換框，實(shí)際上就是換總數(shù)“12的一半”。剛才有一位同學(xué)好像說(shuō)到了“6”。（伸手邀請(qǐng)生10起立）能說(shuō)說(shuō)你的想法嗎？

生10：從左邊車上拿6個(gè)給右邊車，兩車運(yùn)的蘋果就同樣多了。

師：要是這道題中，沒(méi)有提出“換框”的要求，最直接的方法就是——

生：從左邊車上拿6個(gè)給右邊車。

（老師帶頭鼓掌，教室里響起了掌聲?。?/p>

教材中的思考題是大家公認(rèn)的超越了一般學(xué)習(xí)難度的題目，它的難度往往體現(xiàn)在解題的思考過(guò)程比較復(fù)雜，思路比較特殊，解法具有獨(dú)特性和開放性。思考題的教學(xué)，如果處理得好，能點(diǎn)燃學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的奇妙和精彩；如果處理得不好，會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，進(jìn)而會(huì)害怕數(shù)學(xué)，結(jié)果與初衷相背離。上述思考題的教學(xué)案例，給了我很好的啟示。

1.數(shù)學(xué)思考的基礎(chǔ)是讓所有學(xué)生的腦子都“轉(zhuǎn)動(dòng)”起來(lái)。低年級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)因?yàn)殡y度不大，解決問(wèn)題的步驟一般不超過(guò)兩步，學(xué)生普遍“看一眼”就知道怎么辦，甚至于答案脫口而出。事實(shí)上，面對(duì)稍有難度的問(wèn)題，解決時(shí)不可能一步到位，首要的不是直接解題，而是梳理解決問(wèn)題所具有的素材和信息，尋找數(shù)量之間的關(guān)聯(lián)。這就需要讓所有學(xué)生的腦子都要“轉(zhuǎn)動(dòng)”起來(lái)，能邁出一步邁一步，能邁出兩步就邁兩步，一步一步地前進(jìn)，最后逼近問(wèn)題解決的關(guān)鍵和核心。其中，最重要的就是鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，勇于展示自己的思考成果。在學(xué)生都充分展現(xiàn)自己的研究成果后，教學(xué)就有了很好的基礎(chǔ)，交流和深入就有很好的依托。比如，解決上述思考題，有學(xué)生首先想到“計(jì)算”，這很正常，一是最近集中學(xué)習(xí)計(jì)算，二是有了數(shù)量就想到計(jì)算。只是純粹的計(jì)算本身并不能解決這個(gè)問(wèn)題，這就需要進(jìn)一步地分析數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，以及考慮計(jì)算后所得到的初步結(jié)論（左邊車上比右邊車上多12個(gè)）有什么可利用的價(jià)值。如果沒(méi)有學(xué)生腦子的“轉(zhuǎn)動(dòng)”，那數(shù)學(xué)思考就成為無(wú)源之水、無(wú)本之木。

2.過(guò)程孕育結(jié)果，結(jié)果就在過(guò)程中。長(zhǎng)期以來(lái)，人們總是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的結(jié)果保持著“極高的熱情”，以結(jié)果判得分，以結(jié)果論對(duì)錯(cuò)，這也導(dǎo)致了關(guān)于“重結(jié)果輕過(guò)程”“重過(guò)程輕結(jié)果”“既要重過(guò)程又要重結(jié)果”的各種討論。我認(rèn)為，這些討論都是將“過(guò)程”和“結(jié)果”分離開來(lái)看，對(duì)立起來(lái)看。事實(shí)上，過(guò)程孕育結(jié)果，結(jié)果就在過(guò)程中，過(guò)程就是我們需要的結(jié)果。這里的結(jié)果不只是問(wèn)題解決的方法、過(guò)程和答案，還包含在問(wèn)題解決過(guò)程中學(xué)生的主動(dòng)性、互動(dòng)性、生成性、發(fā)展性等。這在上述思考題的教學(xué)案例中是體現(xiàn)得非常充分的。從試圖通過(guò)數(shù)量的直接計(jì)算來(lái)解決問(wèn)題，到發(fā)現(xiàn)“兩車上都有一筐是26個(gè)”后把問(wèn)題解決的思路變得簡(jiǎn)單一點(diǎn)，再到借助于數(shù)感和口算能直接看出答案，層層剝筍，環(huán)環(huán)相扣，拾級(jí)而上，最終進(jìn)入“豁然開朗”的境地。數(shù)學(xué)是冰冷的、抽象的，可思考是火熱的，可以觸摸的，經(jīng)歷了這樣的過(guò)程，學(xué)生獲得的不只是數(shù)學(xué)思考的方法，更有對(duì)數(shù)學(xué)的感受——享受到深刻的、有趣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功愉悅。

3.在反思中超越。反思也是一種思考，是一種對(duì)學(xué)習(xí)行為的對(duì)錯(cuò)、優(yōu)劣、好差等更為深入的思考。通過(guò)反思，可以更好地提升思考能力，提高學(xué)習(xí)效果。在解決問(wèn)題過(guò)程中，學(xué)生的個(gè)體思維存在很大的差異性，但是經(jīng)過(guò)梳理、對(duì)比、討論、交流后，彼此間的差異性就顯現(xiàn)出來(lái)了，此時(shí)，每個(gè)學(xué)生都可以進(jìn)行反思活動(dòng)，不僅反思自己，還應(yīng)該在散亂中尋找有序，從多樣化中尋找最優(yōu)化。只有經(jīng)過(guò)反思，學(xué)生才會(huì)逐步建立反思意識(shí)，產(chǎn)生反思自覺(jué)。這種反思也應(yīng)該包括教師的教學(xué)反思。例如“兩車蘋果相差數(shù)12”“相差數(shù)的一半是6”“拿出相差數(shù)的一半給較小數(shù)，兩數(shù)量就相等”等數(shù)量關(guān)系學(xué)生在一開始的研究中似乎就有所感覺(jué)到，這出乎了老師的預(yù)料。要是順著生10的發(fā)言，花點(diǎn)時(shí)間，讓他解釋自己的想法“從左邊車上拿6個(gè)給右邊車”，可能整個(gè)課堂就首尾“翻轉(zhuǎn)”過(guò)來(lái)了，同時(shí)對(duì)于解決涉及“相差數(shù)”的問(wèn)題，他們也會(huì)有更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。那樣，整節(jié)課的教學(xué)又是另一番景象了。

總之，教材中的思考題，我們要充分發(fā)揮它應(yīng)有的價(jià)值——引導(dǎo)學(xué)生充分思考，經(jīng)歷探究過(guò)程，掌握探究方法，發(fā)展學(xué)生思維，最終達(dá)到深化數(shù)學(xué)思考的目的。

（責(zé)編 金 鈴）