如何利用“數(shù)形結(jié)合”高效解題

☉湖北省孝感高級中學 徐運麗

如何利用“數(shù)形結(jié)合”高效解題

☉湖北省孝感高級中學 徐運麗

數(shù)形結(jié)合的思想，實質(zhì)上是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來，也就是對問題中的條件和結(jié)論分析其代數(shù)含義，挖掘其幾何背景，在代數(shù)與幾何的結(jié)合上尋找解題思路.要注意培養(yǎng)學生這種數(shù)形結(jié)合的意識，逐步使學生胸中有圖，見數(shù)思圖，逐步開拓他們的思維視野.縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”.用好“以形助數(shù)”，同時兼顧“以數(shù)助形”，可以給解題帶來簡捷、高效.

一、以形助數(shù)——數(shù)缺形時少直覺

“以形助數(shù)”，即根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相適應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特征和規(guī)律，解決數(shù)的問題.例如利用“形”的直觀來研究方程根的情況，討論函數(shù)的值域（或最值），求解變量的取值范圍等.“以形助數(shù)”不僅直觀易于尋找解題途徑，而且能避免繁雜的計算和推理，簡化解題過程.

例1 已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），且f（x）是偶函數(shù)，當x∈［0，1］時，f（x）=x2，若在區(qū)間［-1，3］內(nèi)，函數(shù)g（x）= f（x）-kx-k有三個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）.

圖1

解析：因為函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），所以函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù).又f（x）是偶函數(shù)，且當x∈［0，1］時，f（x）=x2，故可畫出函數(shù)f（x）在區(qū)間［-1，3］的圖像.由于函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有三個零點，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間［-1，3］上的圖像與直線y= kx+k有三個交點，如圖1所示.把點（3，1）代入y=kx+k，可得k=，將（1，1）代入y=kx+k，可得k=，數(shù)形結(jié)合可得實數(shù)k的取值范圍是故選C.

點評：討論方程的解（或函數(shù)的零點）可構(gòu)造兩個函數(shù)，使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖像的準確性、全面性，否則會得到錯解.

例2 （2012年浙江理科第17題）設(shè)x＞0時，均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，則a=_________.

分析：作為客觀題的最后一題，有一定的難度，主要考查的是靈活處理問題的能力及數(shù)形結(jié)合的思想.根據(jù)當年的考試和評卷情況，此題的得分率是不高的，其原因是缺少數(shù)形結(jié)合思想，許多考生陷入了常見的兩種思路模式.

（1）由題意分兩種情況：或

（2）令f（x）=［（a-1）x-1］（x2-ax-1）=（a-1）x3-（a2-a+ 1）x2+x-1，等價于f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)討論求解.

這兩種方法過程繁雜，甚至無法進行下去，半途而廢.而用數(shù)形結(jié)合思想解決此題則比較清楚明了.

解：（數(shù)形結(jié)合法）將原題化為：［ax-（x+1）］［ax-（x2-1）］≤0，分別作出f（x）=ax，g（x）=x+1，h（x）=x2-1的圖像，如圖2所示.要x＞0時，滿足［f（x）-g（x）］［f（x）-h（x）］≤0，等價于x＞0時，f（x）的圖像在g（x）與h（x）之間.所以f（x）=ax只能過g（x）與h（x）的交點，此時a=

圖2

也可以直接從y1=（a-1）x-1，y2=x2-ax-1的圖像都過點P（0，-1）分析，如圖3所示.y1的圖像與x軸的交點M必須在x軸的正半軸上，否則不能保證x＞0時，y1y2≥0，所以a＞1.這時y2的圖像必須過點M才能使x＞0時，恒有y1y2≥0.

圖3

點評：求參數(shù)范圍或解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖像，根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當?shù)膬蓚€（或多個）函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖像的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系來解決問題，往往可以避免煩瑣的運算，獲得簡捷的解答.

二、以數(shù)定形——形缺數(shù)時難入微

借助圖形可以方便地處理一些數(shù)學問題，從而提高探究問題的能力，但過分地依賴直觀圖形，缺乏理性的認知深度，極有可能造成“眼見為虛”的被動局面.“以數(shù)定形”，即將圖形信息部分或全部轉(zhuǎn)換成代數(shù)信息，削弱或清除形的推理部分，使要解決的形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論.常用的有借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合.

例3 如果曲線y2=6x與（x-m）2+y2=4沒有公共點，求實數(shù)m的取值范圍.

圖4

錯解：如圖4，考慮半徑為2，圓心為（m，0）的圓與拋物線y2=6x的兩個相切的臨界位置.一種是外切于原點，此時m=-2.另一種是相切于兩點，則聯(lián)立方程組消去y得x2-（2m-6）x+ m2-4=0（*），令Δ=0，解得m=.綜合以上兩種臨界位置，結(jié)合圖形，可知m的取值范圍是（-∞，-2）∪

圖5

正解：兩曲線有公共點的充要條件是方程（*）至少有一個非負實數(shù)根，即或解得-2≤m≤2，故兩曲線無公共點時m的取值范圍是（-∞，-2）∪（2，+∞）.

三、數(shù)形兼顧——數(shù)形結(jié)合百般好

數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，只有“數(shù)”與“形”相輔相成，才能達到靈活運用數(shù)形結(jié)合思想.圖形能提供直觀的視覺信息，從而降低思維的起點，突破思維障礙.代數(shù)方法具有表述容易、結(jié)構(gòu)嚴謹、結(jié)論精確等優(yōu)點.若能靈活地將兩者融為一體，數(shù)學解題將變得游刃有余！

解析：因為方程f（x）=kx2有4個根，即方程=kx2有 4個根，顯然x=0為方程的一個根，則只要方程=kx2再有3個不同的非零根即可.而當x≠0時，=構(gòu)造函數(shù)g（x）=，則只要函數(shù)g（x）的圖像與函數(shù)y=的圖像再有3個交點即可，在同一坐標系內(nèi)畫出兩個函數(shù)圖像，由圖像容易看出當0＜＜1，即k＞1時，兩函數(shù)的圖像有3個非零交點，即對應(yīng)的方程有3個不同的非零根.綜上可知：當k∈（1，+∞）時關(guān)于x的方程f（x）=kx2有4個不同的實數(shù)解.

點評：題目本身是有關(guān)方程解的問題，經(jīng)過上述的處理，將方程解的問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)圖像的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合，直觀簡捷，比用純代數(shù)方法求解要方便快捷許多.

數(shù)形結(jié)合，不僅是一種有效的解題方法，更是一種重要的數(shù)學思想和思維方式，它兼具了數(shù)的嚴謹性與形的直觀性兩個方面的長處，是優(yōu)化解題過程的重要途徑，也是對知識和能力的集中反映.誠如華羅庚大師所言：“數(shù)形相倚依，‘數(shù)’準確而抽象，‘形’形象而粗略，二者的結(jié)合溝通了數(shù)與形的聯(lián)系，從而使得用數(shù)量的抽象特性來說明圖形形象直觀的事實，同時又用圖形直觀具體的特征來說明數(shù)量的抽象性質(zhì)，這正是數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)所在.”F