精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)細(xì)化概念教學(xué)過(guò)程*
——以“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”課堂教學(xué)設(shè)計(jì)為例

☉江蘇省懷仁中學(xué) 董榮森 謝建金

精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)細(xì)化概念教學(xué)過(guò)程*
——以“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”課堂教學(xué)設(shè)計(jì)為例

☉江蘇省懷仁中學(xué) 董榮森 謝建金

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的起始課.本節(jié)課設(shè)計(jì)了溫故知新、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、學(xué)生活動(dòng)、數(shù)學(xué)構(gòu)建、數(shù)學(xué)應(yīng)用等教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在這些環(huán)節(jié)中通過(guò)活動(dòng)體驗(yàn)、理解“抽樣”的必要性，以及如何科學(xué)地進(jìn)行抽樣，逐步歸納總結(jié)出抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法等概念的形成過(guò)程，并利用關(guān)鍵詞和流程圖對(duì)抽樣方法的步驟加以提煉.

一、設(shè)計(jì)理念與目標(biāo)指向

“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”為普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)（蘇教版）必修3第二章“統(tǒng)計(jì)”2.1抽樣方法（第1課時(shí)）.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，初步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀(guān)察、分析.概念教學(xué)一般可遵循“從實(shí)際中來(lái)—抽象數(shù)學(xué)模型—到實(shí)際中去”.在“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，筆者從日常生活中的實(shí)際問(wèn)題情境入手，通過(guò)細(xì)化教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型，再回到實(shí)際問(wèn)題中解釋與應(yīng)用.

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在刻畫(huà)教學(xué)目標(biāo)的動(dòng)詞中，不僅使用了“了解”“理解”“掌握和靈活運(yùn)用”等詞，而且還使用了“經(jīng)歷（感受）”“體驗(yàn)（體會(huì)）”“探索”等動(dòng)詞.因此，教師在概念教學(xué)中應(yīng)重視知識(shí)的形成過(guò)程.為此，筆者在設(shè)計(jì)中通過(guò)對(duì)每一個(gè)概念的形成過(guò)程進(jìn)行細(xì)化，讓學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)中體驗(yàn)這些知識(shí)（抽樣方法）的由來(lái)，對(duì)每次學(xué)生活動(dòng)都引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)、提煉，理解這些抽樣方法在實(shí)踐中的價(jià)值.

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生正確理解隨機(jī)抽樣的概念，掌握用抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行抽樣的一般步驟.引導(dǎo)學(xué)生在解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)會(huì)用抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法（統(tǒng)稱(chēng)為“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”）從總體中抽取樣本.

通過(guò)活動(dòng)讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)抽樣統(tǒng)計(jì)的重要性和必要性．

二、內(nèi)容解讀與教學(xué)定位

數(shù)據(jù)能夠幫助人們認(rèn)識(shí)世界、作出科學(xué)的決策，而統(tǒng)計(jì)學(xué)正是與數(shù)據(jù)打交道的科學(xué)，用一句話(huà)來(lái)概括統(tǒng)計(jì)學(xué)：就是用以“收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、由數(shù)據(jù)得出結(jié)論”的概念、法則和方法．由此可以看出：學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)有助于學(xué)生適應(yīng)現(xiàn)代社會(huì)的需要，有助于培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)據(jù)意識(shí)以及運(yùn)用數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷的思考方式，有助于學(xué)生形成以數(shù)學(xué)的眼光看世界的習(xí)慣，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．

在學(xué)習(xí)運(yùn)用樣本估計(jì)總體的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)具體數(shù)據(jù)的分析，讓學(xué)生體會(huì)到由于樣本數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性，樣本所提供的信息在一定程度上反映了總體的有關(guān)特征，但與總體有一定的偏差．但是如果抽樣的方法比較合理，樣本信息可以比較好地反映總體的信息，從而為人們合理地決策提供依據(jù)．由此讓學(xué)生認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)思維的特點(diǎn)和作用，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異．

三、教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)及其意圖

（一）溫故知新

【說(shuō)說(shuō)看】下列調(diào)查宜采用普查方式還是抽樣調(diào)查方式？

（1）一鍋水餃的味道；（抽查）

（2）旅客上飛機(jī)前的安全檢查；（普查）

（3）一批炮彈的殺傷半徑；（抽查）

（4）一批彩電的質(zhì)量情況；（抽查）

（5）在“N7H9禽流感”期間，學(xué)校向上級(jí)主管部門(mén)匯報(bào)每天的病情.（普查）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)復(fù)習(xí)初中乃至小學(xué)所學(xué)過(guò)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，回顧抽查與普查的區(qū)別，引導(dǎo)學(xué)生理解為什么有些調(diào)查需要普查，有些調(diào)查通過(guò)抽查就可以，并由此導(dǎo)入新課.

（二）問(wèn)題情境

【情境1】假設(shè)你作為一名食品衛(wèi)生監(jiān)督人員，要對(duì)某食品店內(nèi)的一批小包裝餅干進(jìn)行衛(wèi)生達(dá)標(biāo)檢驗(yàn)，你準(zhǔn)備怎樣做？

【情境2】學(xué)校的投影儀燈泡的平均使用壽命是3000小時(shí)，“3000小時(shí)”這樣一個(gè)數(shù)據(jù)是如何得出的呢？

（三）學(xué)生活動(dòng)

對(duì)于情境1，由于餅干的數(shù)量較大，不可能一一檢測(cè)，只要從中抽取一定數(shù)量的餅干作為檢驗(yàn)的樣本即可.

對(duì)于情境2，因?yàn)榭疾鞜襞莸氖褂脡勖鼛в衅茐男?，所以只能從一批燈泡中抽取一部分（例如抽?0個(gè)）進(jìn)行測(cè)試，然后用得到的這一部分燈泡的使用壽命的數(shù)據(jù)去估計(jì)這一批燈泡的壽命.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)情境1、2的設(shè)置，加深學(xué)生理解統(tǒng)計(jì)的基本思想方法是用樣本估計(jì)總體，理解“抽樣”的必要性.當(dāng)總體容量很大時(shí)，收集全部數(shù)據(jù)比較困難或檢測(cè)過(guò)程具有一定的破壞性.

（四）構(gòu)建數(shù)學(xué)

【情境3】在1936年美國(guó)總統(tǒng)選舉前，一份頗有名氣的雜志的工作人員做了一次民意測(cè)驗(yàn)，調(diào)查蘭頓和羅斯福誰(shuí)將當(dāng)選下一屆總統(tǒng).為了了解公眾意向，調(diào)查者通過(guò)電話(huà)簿和車(chē)輛登記簿上的名單給一大批人發(fā)了調(diào)查表（在1936年電話(huà)和汽車(chē)只有少數(shù)富人擁有），通過(guò)分析收回的調(diào)查表，顯示蘭頓非常受歡迎.于是此雜志預(yù)測(cè)蘭頓將在選舉中獲勝.實(shí)際選舉結(jié)果正好相反，最后羅斯福在選舉中獲勝.其數(shù)據(jù)如下表：

【問(wèn)題1】如何科學(xué)地進(jìn)行抽樣呢？

【歸納總結(jié)1】要使得樣本能比較準(zhǔn)確地反映總體，抽樣時(shí)必須堅(jiān)持科學(xué)的抽樣標(biāo)準(zhǔn)：“每一個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相同”.

設(shè)計(jì)意圖：有時(shí)抽出的樣本能夠正確反映總體情況，但有時(shí)不能全面、客觀(guān)、公正，甚至是錯(cuò)誤地反映總體情況，通過(guò)情境3的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到如何科學(xué)合理地進(jìn)行抽樣，讓學(xué)生去說(shuō)“調(diào)查中只抽富人沒(méi)有抽窮人”，教師進(jìn)行提煉歸納出“每一個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相同”.順其自然地過(guò)渡到簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣概念的得出.

1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念

一般地，從個(gè)體數(shù)為N的總體中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本（n＜N），如果每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)被取到，那么這種抽樣方法稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

說(shuō)明：讓學(xué)生通過(guò)概念中的字面意思去理解，強(qiáng)調(diào)四點(diǎn)：容量有限；逐個(gè)抽?。徊环呕爻闃?；機(jī)會(huì)相同.

2.常見(jiàn)的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

（1）抽簽法.

【問(wèn)題2】為了解某校高一（1）班50名學(xué)生的視力狀況，從中抽取10名學(xué)生進(jìn)行檢查，你打算如何實(shí)施？

點(diǎn)撥：全查沒(méi)有配戴眼鏡的學(xué)生行嗎？全查女同學(xué)行嗎？全查男同學(xué)行嗎？……

【歸納總結(jié)2】一般地，用抽簽法從個(gè)體總數(shù)為N的總體中抽取一個(gè)容量為k的樣本的步驟：

①將總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；（編號(hào)）

②將這N個(gè)號(hào)碼寫(xiě)在形狀、大小相同的號(hào)簽上；（制簽）

③將號(hào)簽放在同一箱中，并攪拌均勻；（攪勻）

④從箱中每次抽取1個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取k次；（抽簽）

⑤將總體中與抽到的號(hào)簽編號(hào)一致的k個(gè)個(gè)體取出.（取樣）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題2的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生大膽地說(shuō)出自己的想法與打算，教師啟發(fā)從而歸納出從容量為N的總體中抽取一個(gè)容量為k的樣本的一般步驟，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此進(jìn)行提煉：編號(hào)、制簽、攪勻、抽簽、取樣，并將其用流程圖（如圖1）加以表征.由此將思維的空間留給了學(xué)生，將教學(xué)創(chuàng)造的空間讓給了教師.

【隨堂檢測(cè)】

下列抽取樣本的方式屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣嗎？為什么？

①?gòu)臒o(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取100個(gè)個(gè)體作樣本；（不是）

②箱子里共有80個(gè)零件，從中選出5個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，在抽樣操作中，從中任意取出一個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后，再把它放回箱子．（不是）

③從8臺(tái)電腦中不放回地隨機(jī)抽取2臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)（假設(shè)8臺(tái)電腦已編好號(hào)，對(duì)編號(hào)隨機(jī)抽?。?（是）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)三個(gè)問(wèn)題的判斷，讓學(xué)生加深對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣定義的認(rèn)識(shí)，起到鞏固和反饋的作用.

（2）隨機(jī)數(shù)表法.

【問(wèn)題3】要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn)，若用抽簽法，你感覺(jué)怎么樣？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感受到當(dāng)總體容量比較大時(shí)，編號(hào)、制簽都比較麻煩，那么有沒(méi)有簡(jiǎn)化制簽的方法呢？由此自然順利地過(guò)渡到隨機(jī)數(shù)表法，起到承上啟下的作用.

圖1

閱讀教材第44-45頁(yè)，思考下列問(wèn)題：

①隨機(jī)數(shù)表的定義？

②隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法主要有哪些？

③運(yùn)用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本的一般步驟？

◆隨機(jī)數(shù)表：制作一個(gè)表（由數(shù)字0、1、2、…、9組成），表中各個(gè)位置上的數(shù)都是隨機(jī)產(chǎn)生的（隨機(jī)數(shù)），即每個(gè)數(shù)字在表中各個(gè)位置上出現(xiàn)的機(jī)會(huì)都是一樣的.

◆隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生：①抽簽法；②拋擲骰子法；③計(jì)算機(jī)生成法.

◆隨機(jī)數(shù)表法：用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行抽樣的方法.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生帶著問(wèn)題去閱讀教材和自主學(xué)習(xí)隨機(jī)數(shù)表法，目的是培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力、閱讀能力.

對(duì)于問(wèn)題3，若用隨機(jī)數(shù)表法抽取，如何來(lái)具體實(shí)施呢？

第一步，先將800袋牛奶編號(hào)，可以編為000、001、…、799.

第二步，在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)，例如選出第8行第7列的數(shù)7.（為了便于說(shuō)明，下面選取了教材第124頁(yè)附錄1：隨機(jī)數(shù)表的第6行至第10行）

第三步，從選定的數(shù)7開(kāi)始向右讀（讀數(shù)的方向也可以是向左、向上、向下等），得到一個(gè)三位數(shù)785，由于785＜799，說(shuō)明號(hào)碼785在總體內(nèi)，將它取出；繼續(xù)向右讀，得到916，由于916＞799，將它去掉，按照這種方法繼續(xù)向右讀，又取出567，199，507，…，依次下去，直到樣本的60個(gè)號(hào)碼全部取出，這樣我們就得到一個(gè)容量為60的樣本.

【歸納總結(jié)3】用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本的步驟：

①將總體中的個(gè)體編號(hào)（每個(gè)號(hào)碼位數(shù)一致）；（編號(hào)）

②在隨機(jī)數(shù)表內(nèi)任選一個(gè)數(shù)作為開(kāi)始；（定位）

圖2

③從選定的數(shù)開(kāi)始按一定的方向讀下去，若得到的號(hào)碼在編號(hào)中，則取出，若得到的號(hào)碼不在編號(hào)中或前面已經(jīng)取出，則跳過(guò)，如此繼續(xù)下去，直到取滿(mǎn)為止；（取數(shù)）

④根據(jù)選定的號(hào)碼抽取樣本.（取樣）

設(shè)計(jì)意圖：加深對(duì)隨機(jī)數(shù)表的理解，啟發(fā)學(xué)生如何正確的編號(hào)、如何用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行取數(shù)，把握編號(hào)的科學(xué)性和取數(shù)的隨機(jī)性；引導(dǎo)學(xué)生對(duì)用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本的步驟進(jìn)行歸納與提煉：編號(hào)、定位、取數(shù)、取樣，并將其用流程圖（如圖2）加以表征.

（五）數(shù)學(xué)運(yùn)用

某學(xué)校高一年級(jí)共100名學(xué)生，為了了解這些學(xué)生的身高狀況，從中抽取一個(gè)容量為10的樣本.試分別給出用抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行抽樣的操作步驟.

解法1：（抽簽法）將100名學(xué)生編號(hào)為1、2、…、100，并做好大小、形狀相同的號(hào)簽，分別寫(xiě)上這100個(gè)數(shù)，將這些號(hào)簽放在一起，進(jìn)行均勻攪拌，接著連續(xù)抽取10個(gè)號(hào)簽，然后抽取這10個(gè)號(hào)簽對(duì)應(yīng)的學(xué)生.

解法2：（隨機(jī)數(shù)表法）將100名學(xué)生編號(hào)為00、01、…、99，在隨機(jī)數(shù)表中選定一個(gè)起始位置，如從第21行第1個(gè)數(shù)開(kāi)始，選取10個(gè)為68、34、30、13、70、55、74、77、40、44，這10名學(xué)生即為所要抽取的樣本.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)本例題的設(shè)計(jì)，一是加深學(xué)生對(duì)用抽簽法與隨機(jī)數(shù)表法抽取的步驟的理解；二是總結(jié)歸納兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)：抽簽法有簡(jiǎn)單易行的優(yōu)點(diǎn)，適用于總體個(gè)數(shù)不多的情形；隨機(jī)數(shù)表法和抽簽法相比，利用隨機(jī)數(shù)表簡(jiǎn)化了制簽的過(guò)程；抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法都是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，都是等可能抽樣，從而保證了抽樣的公平性.

（六）課堂小結(jié)

◆學(xué)了什么？

一個(gè)定義：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

二種方法：（1）抽簽法；（2）隨機(jī)數(shù)表法.

三大特性：（1）代表性；（2）等可能性；（3）隨機(jī)性.

◆為什么學(xué)？

（1）總體容量大，收集全部數(shù)據(jù)很困難；

（2）檢驗(yàn)時(shí)帶有“破壞性”；

（3）科學(xué)預(yù)測(cè)與決策、文明社會(huì)發(fā)展……

◆怎么學(xué)？

自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、體驗(yàn)學(xué)習(xí)等.

◆學(xué)的怎么樣？

（由學(xué)生回答）

設(shè)計(jì)意圖：課堂小結(jié)的方式有很多類(lèi)型，如流程圖型、知識(shí)點(diǎn)梳理型、概括式等.筆者通過(guò)漸進(jìn)式小結(jié)，即學(xué)了什么（本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)），為什么學(xué)（解決學(xué)習(xí)的目的），怎么學(xué)（掌握學(xué)習(xí)的方法，自主、合作、探究學(xué)習(xí)等），學(xué)的怎么樣（評(píng)價(jià)問(wèn)題，最好的評(píng)價(jià)是學(xué)生自評(píng)）.

四、思考與感悟

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分.教師一定要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，注重概念的形成過(guò)程，保證數(shù)學(xué)概念教學(xué)的質(zhì)量，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

1.精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在活動(dòng)中獲得能力

本節(jié)課開(kāi)始筆者設(shè)計(jì)了幾道有關(guān)普查與抽查的小題，通過(guò)創(chuàng)設(shè)三個(gè)不同思維層次的情境逐漸深入，讓學(xué)生意識(shí)到當(dāng)總體容量較大或檢驗(yàn)過(guò)程帶有破壞性時(shí)，只要從中抽取一定數(shù)量的個(gè)體作為檢驗(yàn)的樣本；當(dāng)每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相同時(shí)，這樣的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣才是科學(xué)、合理的抽樣；當(dāng)抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法的一般步驟由學(xué)生進(jìn)行總結(jié)提煉時(shí)，才能夠發(fā)現(xiàn)學(xué)生的潛能是如此的巨大；當(dāng)學(xué)生能夠向老師提出問(wèn)題時(shí)，學(xué)生才獲得真正的能力.如：用隨機(jī)數(shù)表法第一步是編號(hào)：00、01、02、…，有學(xué)生問(wèn)為什么要這樣編號(hào)，而不是1、2、3、…？其實(shí)這樣編號(hào)的目的就是公平、合理的體現(xiàn)，同時(shí)也是數(shù)學(xué)中數(shù)字美的展現(xiàn).

2.細(xì)化概念教學(xué)過(guò)程，揭示數(shù)學(xué)概念本質(zhì)

筆者在教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)過(guò)程中，做到預(yù)設(shè)與生成、細(xì)膩與重點(diǎn)突出，每一部分內(nèi)容學(xué)習(xí)過(guò)后，對(duì)思想方法和知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理歸納提煉.知識(shí)點(diǎn)之間過(guò)渡與銜接中，筆者也花了很大的功夫，如從抽簽法如何過(guò)渡到隨機(jī)數(shù)表法，筆者創(chuàng)設(shè)問(wèn)題3情境，當(dāng)總體的容量很大時(shí)，讓學(xué)生感受到編號(hào)、制簽都比較麻煩，提出有沒(méi)有簡(jiǎn)化制簽的方法，順其自然引出隨機(jī)數(shù)表法.

總之，數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式.它是思維的細(xì)胞，是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)大廈的基石，是進(jìn)行邏輯思維的第一要素，是數(shù)學(xué)思想和方法的載體，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的前提.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要重視概念教學(xué)，通過(guò)精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，細(xì)化概念教學(xué)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生親身、主動(dòng)地經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，從而讓學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)概念.

1.李樹(shù)臣.再談數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的若干問(wèn)題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2011（1）.

2.董榮森.關(guān)注學(xué)生高思考力，提高教學(xué)效率［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2012（1）.

3.賈偉宏.注重概念形成過(guò)程，細(xì)化概念教學(xué)［J］.江蘇教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)），2011（6）.

4.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京：人民教育出版社，2003.

江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度普教重點(diǎn)自籌課題——多元表征在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的應(yīng)用研究（B-b/ 2013/02/063）.