問題表述多元性 等價轉化變直觀
——解答函數問題中的轉化思想

☉江蘇省宿遷中學 徐紅兵

問題表述多元性 等價轉化變直觀
——解答函數問題中的轉化思想

☉江蘇省宿遷中學 徐紅兵

“化歸與轉化思想”是高中數學幾大常規(guī)數學思想之一，數學解題的過程也可以稱之為轉化的過程，即將復雜問題簡單化、抽象問題直觀化、未知轉化為已知、一般問題化為特殊問題等，本文以近幾年高考中的函數問題為例，就解題中所涉及的轉化思想分析說明，供同學們復習參考.

一、巧借對稱——化被動為主動

對稱性是函數的重要性質之一，主要包括函數圖像關于x軸或y軸對稱、關于某條直線對稱、關于原點對稱、關于某一點成中心對稱，其中既包括函數自身的對稱性，也包括兩函數之間的對稱性.

例1 （2014年高考湖南卷）已知函數f（x）=x2+ex-（x＜0）與g（x）=x2+ln（x+a）的圖像上存在關于y軸對稱的點，則a的取值范圍是（ ）.

解析：已知函數f（x）=x2+ex-（x＜0）與g（x）=x2+ ln（x+a）的圖像上存在關于y軸對稱的點，則問題可等價轉化為函數f（x）=x2+ex-（x＜0）關于y軸對稱的函數f（-x）=（-x）2+e-x-與g（x）=x2+ ln（x+a）的圖像有交點，即（-x）2+e-x-=x2+ln（x+a）有解，化簡得e-x-=ln（x+a），結合圖像（如圖1）.

圖1

評注：本題解答中，將兩函數存在關于y軸對稱的點，對稱轉化為兩個函數的交點問題，進而將問題求解.在利用函數的對稱性求解相關問題時，要注意變量的變與不變.

二、等價換元——化陌生為熟悉

化陌生為熟悉，是等價轉化思想的精髓所在，高中數學解題的過程，其實就是化生為熟的過程，即將陌生的問題化為我們熟悉的問題解答.

例2 （2014年高考全國）若函數f（x）=cos2x+asinx在區(qū)間上是減函數，則a的取值范圍是_________.

解析：f（x）=cos2x+asinx=-2sin2x+asinx+1，令sinx=t，則f（x）=-2t2+at+1.因為x∈），所以t∈所以f（x）=-2t2+at+1，t∈因為f（x）=cos2x+asinx在區(qū)間上是減函數，所以f（x）=-2t2+at+1在區(qū)間上是減函數.又對稱軸為x=，所以，即a∈（-∞，2］.

評注：本題解答中，經過換元將陌生的函數化為我們熟悉的二次函數，進而利用二次函數最值問題求解.

三、參數分離——化煩瑣為簡潔

參數分離，即將參數從已知所給的函數關系中分離出來，使問題轉化為確定的函數與常數函數（參數為常數）之間的關系，進而將問題簡潔求解.

例3 （2014年高考天津）已知函數f（x）=|x2+3x|，x∈R.若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4個互異的實數根，則實數a的取值范圍為_________.

圖2

圖3

評注：本題也可在同一坐標系內分別作出y=f（x）與y= a|x-1|的圖像，如圖3所示.當y= a|x-1|與y=f（x）的圖像相切時，由整理得x2+（3-a）x+a=0，則Δ=（3-a）2-4a=a2-10a+9=0，解得a=1或a= 9.故當y=a|x-1|與y=f（x）的圖像有4個交點時，0＜a＜1或a＞9.

四、分類討論——化不定為確定

在眾多函數問題中，大部分都帶有參數，因參數的取值范圍不同，造成函數的解析式、圖像、性質不同，因此在解題中對參數的分類討論必不可少.

例4 （2014年高考湖北）已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=（|x-a2|+|x-2a2|-3a2）.若?x∈R，f（x-1）≤f（x），則實數a的取值范圍為（ ）.

因此，根據奇函數的圖像關于原點對稱作出函數f（x）在R上的大致圖像，如圖4.

圖4

觀察圖像可知，要使?x∈R，f（x-1）≤f（x），則需滿足2a2-（-4a2）≤1，解得-.故選B.

評注：分類討論的運用，可將復雜的問題分解為幾個基本的簡單問題，進而各個擊破.應用分類討論的過程中，要注意分類標準的選擇不重復、不遺漏.本題以x的取值為分類標準，將不確定的函數關系式轉化為確定的函數關系式，使問題得以順利解決.

五、借助具體函數——化一般為特殊

近幾年來全國及各省市的高考題都或多或少地出現了一些我們從未見過的新題型，面對這些挑戰(zhàn)時，有些學生不知所措，其實“新”并不等于“難”，題型“新”不等于解法“新”.

例5 （2013年高考福建）設S、T是R上的兩個非空子集，如果存在一個從S到T的函數y=f（x）滿足：

（1）T=｛f（x）|x∈S｝；

（2）對任意x1、x2∈S，當x1＜x2時，恒有f（x1）＜f（x2），那么稱這兩個集合“保序同構”.

以下集合對不是“保序同構”的是（ ）.

A.A=N*，B=N

B.A=｛x|-1≤x≤3｝，B=｛x|x=-8或0＜x≤10｝

C.A=｛x|0＜x＜1｝，B=R

D.A=Z，B=Q

解析：對于選項A，取f（x）=x-1，x∈N*，滿足條件，所以A=N*，B=N是“保序同構”，應排除A.

故選D.

評注：從陌生的情景中尋找已學過的函數知識背景，設法建立溝通已知與未知的聯系，尋求轉化的途徑是本題求解的關鍵.解答中所運用的排除法是解決選擇題的一個重要方法，根據所給的條件，構造出符合條件的函數，進而利用特殊函數的性質得出結論.F