對(duì)一道說題比賽試題的探究

☉浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué) 陳雅雅

對(duì)一道說題比賽試題的探究

☉浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué) 陳雅雅

為了探索新高考方案下的課程改革對(duì)高中數(shù)學(xué)教師的專業(yè)要求，厚實(shí)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科底蘊(yùn)，提升一線教師對(duì)當(dāng)前課程改革的適應(yīng)能力，2014年12月18日在寧波舉辦了“浙江省高中數(shù)學(xué)第二屆說題比賽”.該比賽由浙江省數(shù)學(xué)會(huì)主辦，比賽形式新穎，以說題為中心，分個(gè)人賽和團(tuán)體賽.6道比賽問題涵蓋了函數(shù)、三角、解析幾何等，簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單，值得深究.本人特別對(duì)個(gè)人賽的第2題做了如下探究.

題目 在非等腰直角△ABC中，已知∠C=90°，D是 BC的一個(gè)三等分點(diǎn).若cos∠BAD=，求sin∠BAC的值.

一、解法探究

該問題圍繞三角形中的邊角關(guān)系，可與中學(xué)教學(xué)各項(xiàng)內(nèi)容相互聯(lián)系.這樣我們從不同視角進(jìn)行思考，就能探索出多種解法.本題首先要解決的問題是判斷點(diǎn)D的位置.因?yàn)槿确贮c(diǎn)有兩個(gè)，故本題需分析點(diǎn)D的位置，討論進(jìn)行求解.特別值得注意的是，在求解過程中，將涉及AC、BC兩個(gè)長(zhǎng)度變量，但本題最終是求角，故在長(zhǎng)度設(shè)定上固定某條線段的長(zhǎng)度并不影響問題原意，不妨設(shè)BC=3，AC=x（x＞0），從而只引入一個(gè)變量，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算.同時(shí)為書寫方便，記∠DAC=α，∠BAD=β

1.解三角形視角

解法1：（兩角和正切公式）分類討論：（1）若CD=1，如圖1，則由題意知tan（α+β）=.因?yàn)閏osβ=，所以tanβ=

圖1

又因?yàn)椤鰽BC為非等腰直角三角形，所以x=1， sin∠BAC=

（2）若CD=2，則經(jīng)過同（1）類似的運(yùn)算，得x2-2x+6= 0，方程無解，故該情況不存在.

所以點(diǎn)D是BC上的靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，以下均按這種情況給出解答.

解法3：（余弦定理）在△ABD中，利用余弦定理AD2+ AB2-BD2=2AD·ABcosβ即可求解.

2.面積視角

圖2

解法4：（面積轉(zhuǎn)換）由S△ABD=BD·AC=AD·AB· sinβ即可求解，也可以根據(jù)S△ABC=S△ACD+S△ABD進(jìn)行求解.

3.幾何視角

解法5：（構(gòu)造相似三角形）如圖2，過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，則在Rt△ADM中，DM=ADsinβ=又△ABC∽△DBM，所以問題得解.

過點(diǎn)B作BM⊥AD于點(diǎn)M，構(gòu)造△ACD和△DBM相似也可解答，過程略.

圖3

4.向量視角

解法6：（向量坐標(biāo)法）如圖3，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)C（0，0），A（0，x），B（3，0），則D（1，0）

圖4

5.復(fù)數(shù)視角

前面我們從不同的視角，展示了本題的多種解法，就其本質(zhì)來說，主要反映的是幾何和代數(shù)兩大基本思想，解法8的復(fù)數(shù)視角雖方法不常規(guī)，但作為一種方法有必要了解，因?yàn)閺?fù)數(shù)往往可以解決與長(zhǎng)度、旋轉(zhuǎn)角有關(guān)的問題.本題看似平常，其實(shí)內(nèi)涵豐富，大有挖掘價(jià)值，美不勝收.

二、拓展探究

探究一：點(diǎn)D位置一般化分析

探究二：角度一般化分析

（1）∠BAD一般化.將原題中∠BAD一般化，設(shè)∠BAD=β，β∈，則按結(jié)論1的類似解法，可得以下結(jié)論.

綜合結(jié)論1和結(jié)論2，可得更一般化的結(jié)論.

（2）∠C一般化.在結(jié)論3的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將∠C一般化，設(shè)∠C=α，α∈（0，π），D為BC邊上的一點(diǎn)，且λ，λ∈（0，1）.下面我們將從幾何角度對(duì)問題進(jìn)行分析.

圖5

如圖5，構(gòu)造△ABD的外接圓⊙O，顯然點(diǎn)A既在⊙O上，又在直線AC上，即點(diǎn)A為直線AC與⊙O的交點(diǎn)，因此本題的多解討論等價(jià)于分析直線AC與⊙O的交點(diǎn)個(gè)數(shù).先討論圓心O與點(diǎn)A在BC同側(cè)的情況.如圖5，建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)CB=1，∠BAD=β，則AC∶x=cotα·y，⊙O的圓心半徑r=

當(dāng)d≤r時(shí)，sin∠BAC有解，此時(shí)（1+λ）sinαsinβ-（1-λ）cosαcosβ≤1-λ （*），特別地，當(dāng)（*）式取等號(hào)時(shí)，sin∠BAC有 唯 一 解 ， 此 時(shí) AC=

結(jié)論4：在△ABC中，∠C=α，α∈（0，π），D為BC邊上的一點(diǎn)，且=λ，λ∈（0，1），則（1+λ）sinαsinβ-（1-λ）cosαcosβ≤1-λ（*），（*）式取“＜”時(shí)，sin∠BAD有兩解，特別地，當(dāng)（*）式取等號(hào)，即cosβ=時(shí)，sin∠BAD有唯一解為

探究三：命題結(jié)構(gòu)一般化分析

對(duì)原題的命題結(jié)構(gòu)（條件或結(jié)論）加以互換或改造，還能得到下面一系列的變式命題.

變式1：在△ABC中，∠C=90°，D是BC上一點(diǎn).若 cos∠BAD=則= _________.

變式2：在△ABC中，∠C=45°，D是BC上一點(diǎn).若 cos∠BAD=，sin∠BAC=，則= _________.

變式3：在△ABC中，D是BC上一點(diǎn).若cos∠BAD=，sin∠BAC=，求的取值范圍.

值得注意的是變式1為賽題的逆命題，變式2、變式3在變式1的基礎(chǔ)上改變了∠C，而所給的又是sin∠BAC，所以需要討論∠BAC的多解情況，并且變式2、變式3中給出的sin∠BAC的值，正好對(duì)應(yīng)了兩解、一解的情形，讀者可自行研究與之對(duì)應(yīng)的一般情況.

變式4：在△ABC中，∠C=90°，D是BC上一點(diǎn).若AC= 1，BD=2，求的取值范圍.

對(duì)變式4加以包裝，就得到經(jīng)典的高考題：已知圓C的圓心在拋物線x2=2py（p＞0）上運(yùn)動(dòng)，且圓C過定點(diǎn)A（0，p），設(shè)圓C被x軸所截得的弦為MN，且|AM|=l1，|AN|=l2，求的取值范圍.

三、幾點(diǎn)感悟

（1）本題文字?jǐn)⑹龊?jiǎn)約，有利于學(xué)生審題和思考，多角度探究蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想，有利于提升學(xué)生的思維品質(zhì).

（2）相對(duì)于“說課”，“說題”是一種新鮮的事物，“說題”怎么說，還是一個(gè)正在探索的問題.它是一種類似于說課的教育教研展示和討論活動(dòng)，是說課的延續(xù)和創(chuàng)新，是一種深層次備課后的展示.教師說題一般要說背景、解法、價(jià)值和引申拓展等.通過“說題活動(dòng)”，可以促進(jìn)教師對(duì)教材例題、習(xí)題和高考試題的研究，從而更有效地把握教材和高考命題的方向，發(fā)揮教材中例題、習(xí)題和高考試題的作用，提高課堂教學(xué)的針對(duì)性和有效性，促進(jìn)教師專業(yè)水平的提升.

（3）波利亞認(rèn)為：中學(xué)數(shù)學(xué)的首要任務(wù)是解題，解題是數(shù)學(xué)課中最有創(chuàng)造性的精彩華章.在平時(shí)的教學(xué)過程中，教師應(yīng)教會(huì)學(xué)生做有心人，引導(dǎo)學(xué)生多方位、多視角地思考問題和發(fā)現(xiàn)問題，挖掘知識(shí)間的聯(lián)系，就可以在已有問題的基礎(chǔ)上提出新的問題，并用數(shù)學(xué)思想方法和手段加以解決，從而獲得新的、有價(jià)值的結(jié)論.這樣的學(xué)習(xí)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力、促進(jìn)教師的教學(xué)水平都大有裨益.F