波利亞解題模型在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

☉浙江省嵊州市黃澤中學(xué) 袁鋼南

波利亞解題模型在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

☉浙江省嵊州市黃澤中學(xué) 袁鋼南

21世紀(jì)我國基礎(chǔ)教育進(jìn)入到新課改時代，想要對當(dāng)前時代發(fā)展需求有效滿足，就必須要對傳統(tǒng)應(yīng)試教育中存在的問題徹底改善，教學(xué)目標(biāo)集中在培養(yǎng)學(xué)生健全人格上，在這一基礎(chǔ)上就要完善新的基礎(chǔ)教育體系.其中在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，對波利亞解題模型進(jìn)行應(yīng)用，有助于引導(dǎo)學(xué)生正確把握數(shù)學(xué)解題思路.波利亞解題模型體現(xiàn)了它的解題思想，它的解題思想主要表現(xiàn)為四個過程階段：閱讀題目、理解題目；得出解題思路、制定解題計劃；實施解題計劃；回顧解題過程.清楚了這種模型的具體解題思路之后，我們將以具體實例來闡述這種模型的運用.

一、波利亞解題模型的理論研究

波利亞是一位經(jīng)典分析大師，在變分學(xué)、概率論及函數(shù)論等多方面有深入研究，波利亞解題思想較豐富，其中最為經(jīng)典的專著有《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學(xué)與猜想》及《怎樣解題》等，其中《怎樣解題》中的解題模型及解題表具有重要的應(yīng)用價值.在波利亞解題模型中，將解題過程分為四個階段，即理解問題、制定計劃、實施計劃及回顧分析.其中第一階段，理解問題要弄清已知條件是什么，問題是什么.如：解決應(yīng)用題時，采用數(shù)學(xué)語言將題目描述出來，并且還要對其中的已知條件和未知條件等明確.在對題目弄明白之后，就要對大腦中的相關(guān)知識點進(jìn)行搜索定位，確定具體的解決方式.第二階段就需要針對這些問題制定相應(yīng)的計劃，應(yīng)理解條件中各個要求有怎樣的聯(lián)系，或者未知量與已知量有什么關(guān)系等.可從尋找模型、尋找技能、轉(zhuǎn)化題目三方面進(jìn)行，也是指找到與此題目相類似的問題，并從相關(guān)解題中獲得啟發(fā)，深入分析題目的問題及條件等，查看是否有合適的思想方法及技能，尤其在遇到較為復(fù)雜的問題時，可將其轉(zhuǎn)換為比較熟悉的模型，對其進(jìn)行解決.第三階段，實施制定的計劃，在已形成的解題思路及解題方案的指引下，采用已學(xué)知識、技能及原理等解決問題.第四階段，則需要對整個解題過程進(jìn)行回顧性分析及總結(jié)，主要要求學(xué)生怎么理解問題，形成怎樣的解題思路，以及如何檢驗所得問題的結(jié)果，本題是否還隱藏有其他的解決辦法.

二、波利亞解題模型在高中數(shù)學(xué)解題中的常用模式

1.疊加模式

這種模式通常是將其具體情況分解成相關(guān)的幾個特殊情況組合，或者是把相關(guān)的特殊情況全部疊加在一起集合成為一般情況，之后采用相適應(yīng)的方式對其進(jìn)行解決.

例1如果一個物體做拋物線運動，其軌跡如圖1所示，那么將其初始速度設(shè)置成v，求物體運動曲線的軌跡方程.

解析：關(guān)于這一題目可采用疊加模式進(jìn)行解決，由于物體的運動軌跡是一條曲線，并不是圓弧.當(dāng)一質(zhì)點在水平方向?qū)嵤﹦蛩僦本€運動的時候，如果運行t秒之后，那么其位移則可以用公式x=vt表示，但是關(guān)于其運動軌跡也可以將其看成是兩種運動

圖1

2.遞歸模式

這種模式應(yīng)用通常是在數(shù)列求和中，在高中數(shù)學(xué)解題中此類題型是較為常見的題，解決此類題目時需要應(yīng)用遞歸模式.

例2求S2=12+22+32+42+52+62+……+n2的和.

解析：針對此題的解題方式我們可采用遞歸模式來進(jìn)行求解，此時，公式（n+1）3=n3+3n2+3n+1，從而得出（n+ 1）3-n3=3n2+3n+1，將具體數(shù)值帶進(jìn)去，即可得到23-13=3× 12+3×1+1；33-23=3×22+3×2+1，43-33=3×32+3×3+1，…，以此類推，即可得到（n+1）3-n3=3n2+3n+1，將兩邊相加，得到（n+1）3-1=3S2+3S1+n.最后將S1帶入到上式中，可得到

3.雙軌跡模式

這種模式通常是在數(shù)學(xué)幾何解題中應(yīng)用，可以將問題成功轉(zhuǎn)化成一個點進(jìn)行解決，依照具體條件能夠?qū)⑵浞殖扇舾刹糠?，不管是哪一個部分都可以將其轉(zhuǎn)化成為點的軌跡，并且每一個點的軌跡可以是一條直線，也可以是一個圓等，在對滿足條件的若干軌跡的交點也即是需要求解的問題.

例3已知三個相等并且不在同一直線上的圓，作一圓使得包含其他三個，并且與三個圓均相切.

解析：對于此道題，要想實現(xiàn)與其他三個圓均相切，則必須找到相應(yīng)的圓心及半徑即可，根據(jù)圓心及半徑作圓就較為簡單.因此，本題的解題關(guān)鍵就是尋找圓心及半徑.可假設(shè)作出圖2.在該圖中O假設(shè)為要找的圓心，而O1、O2、O3為已知圓的圓心，其中A、B、C均為切點.即OA= OB=OC，所代表的也就是圓的半徑.之后，依照以上題目中的已知條件，可以得到三個小圓的半徑均相等，即O1A=O2B=O3C，也表示OO1=OO2=OO3.這樣一來，將問題轉(zhuǎn)化為：已知圓心O1、O2、O3三點，作與它們的距離相等的點O，如圖3，換句話來說，求出△O1O2O3外接圓的圓心.最終，將此道題可轉(zhuǎn)換為我們之前解答的題目，就可以很簡單地將圓作出來了.

圖2

圖3

三、高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用波利亞解題模型的基本思路

1.理解題目

理解題目就要理解題目給出的條件，理解題目的語言陳述，首先要清楚已知數(shù)據(jù)、未知條件和題干條件都分別是什么.進(jìn)而要深層次地分析題目，弄清題目中的細(xì)節(jié)，對要求的問題進(jìn)行定位.學(xué)生在清楚明白這些要求和條件之后，就要思考解題思路、運用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解題.下面將以實例對理解題目進(jìn)行詳細(xì)的闡述.

例4將直線2x-y+λ=1沿x軸向右平移1個單位，所得直線與圓x2+y2+4x-2y=0相切，求實數(shù)λ的值.

（1）首先，這道題目自身就是用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)的題目，所以不用將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

（2）然后，我們可以得知條件有兩個，一是直線2xy+λ=1沿x軸向右平移1個單位，另一個是平移之后的直線與圓x2+y2+4x-2y=0相切，問題是求出實數(shù)λ的值.

（3）題干條件和所要求的問題都清楚明白之后，就需要對題目范圍進(jìn)行判定.將兩個具體已知條件列出來，將題目答案的范圍確定，應(yīng)為實數(shù).

2.解題思路與解題計劃

制定解題計劃是這一步的主要任務(wù)和內(nèi)容，對于問題的理解之后，就是構(gòu)思解題思路，形成良好的解題思路需要良好的知識儲備和經(jīng)驗儲備，加強對模型的積累和思想方法、技能的積累，制定思路時可以想想是否曾經(jīng)遇到過相似的題目，看是否能從中得到一些啟示，來形成自己的解題思路.解題思路和解題計劃的制定需從三方面入手：尋找類似的模型；尋找相關(guān)的技能和思想方法，對題目條件進(jìn)行深入思考分析，看是否有相應(yīng)的技能和思想方法；將題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕c轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為熟悉的模型，然后進(jìn)行解題.

例5已知a1=2，an+1=2an+5n，求數(shù)列｛an｝的通項公式.

（1）第一步是將解題思路具體化，找出解題的合適模型.通過觀察題干給出的條件，我們可以選擇待定系數(shù)法來進(jìn)行構(gòu)建新模型，可推出參考量an+1=2an+5n，然后再構(gòu)造出新數(shù)行數(shù)學(xué)計算解答.

（2）找到類似的模型之后，就需要將現(xiàn)有不熟悉的模型轉(zhuǎn)化為簡單熟悉的解題模型，轉(zhuǎn)化模型本題要用的是待定系數(shù)法，那么應(yīng)使第三項變?yōu)槌?shù)項，因此將兩邊同除以5n，得而轉(zhuǎn)化為5bn+1-2bn=1這種模型來解題.

3.實施解題計劃及解題回顧

實施解題計劃是具體的實施過程，實施過程中會遇到各種各樣的問題，所以在進(jìn)行實施解題方法時，我們應(yīng)該認(rèn)真思考以前解題時可行的代數(shù)或者是幾何運算，用形式推理或者是直接觀察，再或者是兩者的結(jié)合將解題步驟確定并進(jìn)行檢驗，將解題思路與方法在具體運算中高效地結(jié)合

解題回顧，顧名思義就是在解決完一個問題后回過頭來檢驗自己的解答過程和解答的答案是否正確，這是經(jīng)常被學(xué)生和教師忽略的.做題不能只是做題，還要從做題中深層次地挖掘出一些可總結(jié)、可利用的東西，這些東西可以指導(dǎo)著以后求解的其他問題，解題者不能只停留在對當(dāng)前這一個問題的解答，而是要深入理解和思考如何解答這個問題，以及尋找更加簡便的解題思路和解題途徑，對于解題過程中的障礙要充分發(fā)揮已學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想的作用，使解題更快更對.