揪出“似是而非”的“非”
——記一次試題原創(chuàng)過程中的爭論

☉浙江省嵊州市馬寅初中學 沈鐵表

揪出“似是而非”的“非”
——記一次試題原創(chuàng)過程中的爭論

☉浙江省嵊州市馬寅初中學 沈鐵表

2015年3月，筆者有幸參加了紹興市高三一模命題工作.試題原創(chuàng)的過程是痛苦的，但也給人以一種成功的自豪感；磨題的過程是艱辛的，卻也能給人以一種強烈的愉悅感.其中一位老師命制了一道數(shù)列與不等式相結合的試題，針對隱含其參考解答中的“似是而非”，同事們充滿理性和智慧的爭論，揪“非”的過程則讓人記憶猶新，思索無盡.

一、試題呈現(xiàn)

題目數(shù)列｛an｝滿足：

（Ⅰ）若對任意的n∈N*，an+1＞an，求p的取值范圍；

二、狹路相逢引爭論

由于數(shù)學歸納法已不是浙江省高考必修內容，所以在命題時，不能采用數(shù)學歸納法作為證明方法.對于此題，本人在一開始做題的過程中隱約看出了一些疑問，因此就提出“對于第（Ⅰ）小題的解答，總感覺邏輯上有點問題，似乎是循環(huán)論證.”

此話一出，馬上引起了大家的關注和思考，氣氛陡然緊張.過了一會兒，L老師懦懦地說：“我最初也曾經(jīng)感覺不太對，但我和K老師討論之后，覺得這個答案是可以的.”此時K老師站起來說：“這個沒問題的.因為題目條件是‘對任意的n∈N*，有an+1＞an’，所以an+1＞an在解題的任何時候都可以用.”

可筆者覺得原解答的后半過程，其實就是在證明當p＞0時，對任意的n∈N*，都有an+1＞an.所以此時不能用an+1＞an作為條件了，也就不能用an≥2作為條件了.

K老師：“我認為原解答絕對正確，沒有問題.”

因為（fx）是R上的奇函數(shù)，所以（f0）=0，即a=0.而當a=0時，（f-x）==-（fx），（fx）是R上的奇函數(shù)，所以a=0.

“這不是同樣的邏輯嗎？”

筆者認為這個例子與此題還是有所不同的！命題者所給參考解答的邏輯是：因為p＞0，所以a2＞a1=2，a3-a2= a（2a2-2）+p＞0，即a3＞a2＞2，再a4-a3=a（3a3-2）+p＞0，a4＞a3＞2，…，an+1＞an.所以從本質上看還是在用數(shù)學歸納法.盡管它的解答過程看似在回避，其實犯了邏輯上的錯誤.而你舉的這個例子，在證明當a=0，（fx）是R上奇函數(shù)的過程中并沒有用“（fx）是R上奇函數(shù)”這個條件，所以沒有犯邏輯性錯誤，因此你舉的例子與此題有本質不同.

經(jīng)過簡單的思考后，一口氣說出了自己的看法.

K老師：“那你的意思是題目給出的an+1＞an不能用了？”

題目給出的條件是：當p在一定的范圍內的時候an+1＞an恒成立，并且要我們求出這個范圍，即求出an+1＞an恒成立時的充要條件.而我們根據(jù)a2＞a1得到p∈（0，+∞），僅僅是an+1＞an恒成立的必要條件.

K老師：“我有點感覺了，就是有可能p∈（0，+∞）的某個子集時，an+1＞an不一定恒成立，所以，原解答過程中用an+1＞an作為條件來說明an≥2，并且證明an+1＞an是不符合邏輯的.”

K老師：“可針對這個題目，這個答案沒錯啊，最好能舉出反例.讓我們大家來想想.”

……

筆者再次發(fā)表了自己的看法：“其實參考解答中，當p＞0時，由于an+1＞an，所以對任意的n∈N*，a≥2.所以有an+1-an=2an+p=a（nan-2）+p＞0.即當p＞0時，對任意的n∈N*，an+1＞an.這個過程的本質就是：當p＞0時，由an+1＞an推出an+1＞an.很明顯是循環(huán)論證嘛.”

為了更好地說明自己的理由，筆者嘗試著找到一個反例.

反例：數(shù)列｛an｝滿足：a1=a，an+1=an.若對任意的n∈N*，|an|≤2，求a的取值范圍.

我們可以模仿參考解答，給出以下解法：

解析：由已知|a1|=|a|≤2，以及|a2|=|a21+a1|=|a2+a|≤2得a∈［-2，1］.而a∈［-2，1］時，由條件|an|≤2，即-2≤an≤2，所以若對任意的n∈N*，|an|≤2.故所求a的范圍是a∈［-2，1］.

而事實上，可以驗證：當a=1時不符合題意.所以，這樣的解法是錯誤的.有了這個反例之后，同事們終于認可筆者的觀點了.

三、峰轉路回巧改變

離成卷已是最后一天，重新創(chuàng)作一個新題已是非常困難，在這種情況之下，如何改變試題，使其既能避免使用數(shù)學歸納法，又不產生“循環(huán)論證”，是放在大家面前一件迫切的事情.經(jīng)驗豐富而且穩(wěn)重的W老師提出：“能不能賦予參數(shù)一個特定的數(shù)值呢？”即把題目改為：

數(shù)列｛an｝滿足：a1=2，an+1=a2n-an+1.求證：對任意的n∈N*，an+1＞an.

解析：an+1-an=（an-1）2≥0，所以an+1≥an≥…≥a1=2，故an+1-an=（an-1）2≥0中，等號恒不成立，即an+1＞an恒成立.

大家：“這樣不錯.既不影響后一小題，又避免邏輯錯誤，而且解答過程中不用數(shù)學歸納法，避免不必要的誤導，一舉三得.”

四、余音繚繞再思考

回來之后，這個問題一直縈繞在自己的腦海中，原題中的解答不用數(shù)學歸納法真的不行嗎？可否用另外一種遞推來代替數(shù)學歸納法呢？經(jīng)過思考，發(fā)現(xiàn)可以用以下解答過程.

邏輯性的錯誤一般在學生解題中比較常見，但像本題那樣在一群解題高手中出現(xiàn)這種“似是而非”的解答，卻是比較罕見的.這與當時特定的時間、環(huán)境、心態(tài)都有一定的關系，比如封閉的環(huán)境，長時間地做題、審題、改題導致的身體疲憊；對同一批題目的不斷重復研究所造成的心理厭倦等，都有可能出現(xiàn)此類問題.因此，在以后的命題和教學工作中，我們要時刻予以關注和研究.F