數學物理方程緒論課的教學

吳楚芬

摘 要 緒論課是課程建設中的重要一環(huán)，具有基礎性和導向性。通過緒論課的有效引導，使學生順利地進入新學科的學習，進一步使學生了解本課程將要學習的基本內容。本文通過介紹數學物理方程的發(fā)展史，研究內容和意義，闡述如何上好緒論課，從而激發(fā)學生的學習興趣。

關鍵詞 數學物理方程 緒論課 教學探討

中圖分類號：G424文獻標識碼：A ??DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2015.04.047

Teaching of "Mathematical Physics Equations" Introduction Course

WU Chufen

（Department of Information Science and Mathematics， Foshan University， Foshan， Guangdong 528000）

Abstract Introduction lesson course construction is an important part， with basic and oriented. By effectively guide introduction class， students smoothly into the new discipline of study， and further enable students to understand this course will learn the basic （content article through the history of introduction "mathematical physics equations"， content and meaning to explain how the good introduction class to stimulate students' interest in learning.

Key words mathematical physics equations; introduction course; teaching discussion

數學物理方程是佛山科學技術學院數學專業(yè)的基礎課程，該課程的開設不僅為后續(xù)的偏微分方程專業(yè)課程奠定了必要的基礎，更為研究生階段的課題研究儲備了必需的數學應用能力。這門課程有兩大突出特點：其一是所需要的基礎知識多，它涉及到數學分析、高等代數、常微分方程、實變函數與泛函分析、復變函數和普通物理等課程。因此講授起來具有一定的難度，學生學習效果普遍不佳。如何深入淺出地講好這門課，激發(fā)學生的學習興趣一直是我深思的問題。其二是這門課與現代數學前沿領域的諸多問題有密切的交叉聯(lián)系， 如何在學生已有認知下，將有關前沿問題的訊息傳授給學生，擴大他們的視野，培養(yǎng)他們的科研能力，也是我醞釀已久的問題。

緒論課是數學物理方程教學之始的關鍵點，具有基礎性和導向性。通過緒論課使學生對這門課程的整體框架建立一個初步感觀，了解學習內容、明確學習方向、掌握學習方法、認識課程的前沿動態(tài)，進一步解決“為何學”、“學什么”和“如何學” 三個問題，從而充分調動他們日后學習該課程的積極性。以前，筆者在教學中對緒論課的重要性認識不足，基本上照本宣科，復述課程的緒論內容，另一方面，限于課時少的因素，對于該課程的發(fā)展歷史等精彩部分常省略不講，導致學生對該課程的認識不深，越聽越煩，沒有發(fā)揮緒論課的引導性作用。經過一段時間的教學實踐與思考，筆者認為必須盡快轉變“緒論可有可無，浪費課時”的錯誤想法，樹立“緒論既是教材的重點，也是教材的難點”的正確觀念。其實，對于數學專業(yè)的學生來說，最感興趣的莫過于數學理論、方法對社會發(fā)展所起的重要作用。通過講解數學物理方程的發(fā)展簡史及其在社會發(fā)展中所發(fā)揮的作用，可以引起學生的共鳴，激發(fā)學生的學習熱情。近幾年，筆者通過對緒論課內容的不斷更新完善，以及對多媒體課件的精心設計，使學生及時認識到學習數學物理方程的必要性和重要性，取得了良好的教學效果。現就緒論課的教學實踐做四點總結。

1 簡介數學物理方程的發(fā)展史

數學物理方程主要指從物理學及其他各門自然科學、技術科學中所產生的偏微分方程（包括積分方程、微分積分方程等），它們反映未知變量關于時間的導數和關于空間變量的導數之間的相互制約關系.

18世紀初期，Jacob Bernoulli， Johann Bernoulli， Daniel Bernoulli， Brook Taylor， Euler等學者對彈性物體的變形和流體的運動等物理問題的廣泛研究導致了數學物理方程的誕生。但在1740年以前均沒有找到描述這類問題的一般偏微分方程，第一個力學上的一般偏微分方程，即重鏈在其鉛垂的平衡位置附近振動的方程，是由DAlembert在1743年提出的。1746年，DAlember以小提琴弦為典型的弦振動問題導出了著名的弦振動方程。從那以后，陸續(xù)誕生了聲音傳播的波動方程，膜的振動方程，桿的振動方程等一系列數學物理方程。1750年，DAlembert提出了利用分離變量法的思想求解弦振動方程。為了得到泛定方程滿足定解條件的解，Daniel Bernoulli于1753年提出將解疊加的思想。但得到了同時代流體熱學專家Euler， Lagrange等人的反對。19世紀，Fourier在研究熱傳導問題時，碰到了和他的前輩們在研究弦振動方程時同樣的難題，即是否任意函數都可以表示成三角級數？Fourier對這一問題持肯定態(tài)度并將其發(fā)展，后人稱為Fourier方法或駐波法。但Fourie的論證不嚴密，歷史上第一次給出函數可以展成三角級數的充分性條件是Dirichlet. 1782年，Laplace在研究位勢函數時，發(fā)現了Laplace方程。19世紀中葉，從個別方程的深入研究逐漸形成了偏微分方程的一般理論，如方程的分類、特征理論等。Cauchy是討論數學物理方程解的存在性的第一人，1848年，他在一系列論文中論述了如何將任意階數大于1的偏微分方程化為偏微分方程組，然后討論偏微分方程組解的存在性并提出證明存在性的強函數方法。數學物理方程的求解促使數學其他分支如泛函分析、變分法、復變函數、數值計算、代數、微分幾何等各個學科的快速發(fā)展。到了20世紀，隨著電子計算機和數學其他分支的迅速發(fā)展，數學物理方程的研究也取得了前所未有的發(fā)展，這些發(fā)展呈現如下特點：（1）出現更多的非線性偏微分方程（組）;（2）定解條件由傳統(tǒng)的線性、逐點表示發(fā)展為非線性、非局部;（3）與計算機、數學其他分支的關系更為密切。

2 介紹數學物理方程的內容

佛山科學技術學院數學物理方程的授課學時僅有32學時，學生的大學數學、普通物理的基礎知識比較薄弱，因此教學任務集中，難而繁的定理證明或模型推導只講思想不講過程。課程的教授內容主要是講授三類典型方程：波動方程、熱傳導方程和位勢方程和四種典型方法：分離變量法、行波法、積分變換法和Green函數法。進一步，指出這三類方程的推導是利用兩大物理定律——守恒律和變分原理以及兩個數學基本方法——微元法和Fubini交換積分次序定理;而四種方法也是圍繞這三類經典方程在不同定解條件下展開的。具體而言，對于弦振動方程，主要學習弦振動方程初值問題的特征線法和行波法、弦振動方程半無界問題的對稱延拓法、弦振動方程混合問題的分離變量法。對于熱傳導方程，主要學習一維熱傳導方程初值問題的Fourier變換方法、一維熱傳導方程半無界問題的對稱延拓法、一維熱傳導方程混合問題的分離變量法。對于位勢方程，主要學習基本解和Green函數法。通過數學物理方程的學習，學生需要達到以下三點要求：第一，從實際問題中抽象出來的數學物理方程的建模及相應的求解方法;第二，理解數學物理方程中的系數或邊界條件所描述的物理背景以及利用數學結果解釋物理現象;第三，利用Matlab的工具箱畫圖，輔助分析解的性態(tài)。

3 研究數學物理方程的意義

數學物理方程廣泛應用于人口問題、流行病動力學、種群生態(tài)學、高速飛行、石油開發(fā)、城市交通等各個領域，以三大經典方程為例，熱傳導方程可以應用于金融數學中的期權模型，Laplace方程常應用于電磁場，借助波動方程可以判斷煤層是否能安全生產。有時，單個數學物理方程不足以刻畫物理現象或規(guī)律，而需要多個方程耦合而成，例如，油田試井中描述滲流過程的數學物理方程一般由以下四個方程融合而成：第一，反映滲流過程中物質平衡的連續(xù)方程;第二，描述物質運動行為特征的運動方程;第三，反映滲流過程中流體及介質狀態(tài)變化的狀態(tài)方程;第四，表征滲流過程中產生的一些特殊的物理化學過程的特征方程。針對這個問題，我們可以假設均質有界地層，外邊界定壓，初始壓力均勻分布，流體為單相可微壓縮等條件，在合理假設條件下，省略一些因素，構建相應的泛定方程和定解條件，從而就構成一個數學物理方程的定解問題， 對方程進行分類，化簡，選取合適的數學方法進行求解，利用求解結果解釋物理規(guī)律。

4 多媒體課件與Matlab軟件包模擬綜合運用，改善教學效果

為吸引學生的注意力，提高他們的學習興趣，在課堂教學中，筆者綜合運用多種教學手段提高教學質量，改善教學效果。首先是充分發(fā)揮多媒體教學的優(yōu)勢。多媒體課件可以綜合多種教學藝術效果，根據數學物理方程緒論課的特點，通過精心設計，恰當地使用圖片、文字、聲音、動畫等形式，充分發(fā)揮多媒體形象、直觀、交互性強的優(yōu)勢，創(chuàng)造生動的教學氛圍。其次，Matlab具有強大的數值計算和數據圖形可視化的功能，因此在數學物理方程這種理論性強的課程教學中，適當地引入Matlab的實驗教學，使許多抽象問題的求解過程被直接地演示，將抽象的數學知識，繁雜的計算過程直觀地呈現在學生的面前，使學生對相應的算法有直接的認識，從而激發(fā)他們學習數學物理方程的興趣，進一步強化學生的應用意識，培養(yǎng)學生的實踐動手能力。

通過緒論課的有效引導，使學生快速地明白數學物理方程的主旨和篇章結構，熟悉教材的知識系統(tǒng)，發(fā)揮主動學習數學物理方程的積極性，初步了解握數學物理方程的一般理論和研究方法，啟發(fā)和培養(yǎng)學生濃厚的學習興趣，建立整體概念，為達到理論與實踐相結合的新型應用性人才的培養(yǎng)目標，起個好開端。另一方面，通過愉悅地學習緒論，達到師生之間的感情交流，使學生對老師的敬佩之情轉化為對該課程的喜愛，從而建立學生學習數學物理方程的良好心理環(huán)境。

基金項目：佛山科學技術學院教改項目“理論與建模相結合的《常微分方程》實踐教學”

參考文獻

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