非平穩(wěn)地震動(dòng)過程模擬的譜表示-隨機(jī)函數(shù)方法

劉章軍， 曾 波， 吳林強(qiáng)

(1.三峽大學(xué)土木與建筑學(xué)院， 湖北 宜昌 443002； 2.三峽大學(xué)水利與環(huán)境學(xué)院， 湖北 宜昌 443002)

非平穩(wěn)地震動(dòng)過程模擬的譜表示-隨機(jī)函數(shù)方法

劉章軍1， 曾 波2， 吳林強(qiáng)2

(1.三峽大學(xué)土木與建筑學(xué)院， 湖北 宜昌 443002； 2.三峽大學(xué)水利與環(huán)境學(xué)院， 湖北 宜昌 443002)

在Priestley演變譜理論的基礎(chǔ)上，采用隨機(jī)函數(shù)的思想，建立了一類新的全非平穩(wěn)過程模擬的譜表示-隨機(jī)函數(shù)方法。在譜表示-隨機(jī)函數(shù)方法中，實(shí)現(xiàn)了用2個(gè)基本隨機(jī)變量即可精確表達(dá)原隨機(jī)過程的目的。通過選取基本隨機(jī)變量的離散代表點(diǎn)集，可以直接由演變功率譜密度函數(shù)生成具有給定賦得概率的代表性樣本集合。以全非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程的演變功率譜為例，驗(yàn)證了方法的有效性和優(yōu)越性。最后，結(jié)合概率密度演化方法，進(jìn)行了Duffing振子的隨機(jī)地震反應(yīng)分析與抗震可靠度計(jì)算。

非平穩(wěn)地震動(dòng)； 隨機(jī)函數(shù)； 演變功率譜； 概率密度演化方法； Duffing振子

引 言

在地震工程中，地震動(dòng)隨機(jī)過程的合理描述與建模，是進(jìn)行結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析與抗震可靠度計(jì)算的重要基礎(chǔ)。自1947年Housner首次將地震動(dòng)看作是隨機(jī)過程以來，關(guān)于隨機(jī)地震動(dòng)的研究得到了廣泛深入的發(fā)展[1]。然而，在工程實(shí)際中，如結(jié)構(gòu)的非線性隨機(jī)地震反應(yīng)分析，往往需要將地震隨機(jī)激勵(lì)的頻域模型轉(zhuǎn)化為時(shí)域模型，這激發(fā)了人們對(duì)隨機(jī)過程模擬的研究熱情。在隨機(jī)過程的各種模擬方法中，譜表示方法[2-3]由于其理論完善、算法簡單而被廣泛采用，但其計(jì)算工作量較大，往往需要對(duì)數(shù)百上千個(gè)隨機(jī)變量的模擬才能滿足所需精度，從而極大地增加了工程實(shí)際問題的分析難度。為了有效地減少譜表示方法中隨機(jī)變量的數(shù)量，文獻(xiàn)[4]提出了隨機(jī)過程的隨機(jī)諧和函數(shù)表達(dá)，通過采用少量的隨機(jī)諧和分量即可獲得精確的目標(biāo)功率譜密度函數(shù)，文獻(xiàn)[5]進(jìn)一步對(duì)譜表示方法的頻率選點(diǎn)進(jìn)行了優(yōu)化。

對(duì)于非平穩(wěn)地震動(dòng)過程的模擬，工程中通常是先模擬平穩(wěn)地震動(dòng)過程，然后再利用強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)非平穩(wěn)化，這樣得到的地震動(dòng)過程幅值是非平穩(wěn)，但頻率仍是平穩(wěn)的。為此，文獻(xiàn)[6-7]直接由非平穩(wěn)隨機(jī)過程的演變譜表示理論，導(dǎo)出了非平穩(wěn)地震動(dòng)過程模擬的一個(gè)譜表示方法，其樣本函數(shù)是由余弦級(jí)數(shù)公式計(jì)算產(chǎn)生的。然而，該譜表示方法仍然需要高達(dá)數(shù)百上千個(gè)隨機(jī)變量才能保證所需的精度。鑒于此，本文在Priestley演變譜理論的基礎(chǔ)上，給出了不同于文獻(xiàn)[6-7]的非平穩(wěn)隨機(jī)過程模擬的另一類譜表示方法，其樣本函數(shù)則是由一組標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量的模擬來產(chǎn)生的。同時(shí)，采用文獻(xiàn)[8]中隨機(jī)函數(shù)的思想，將譜表示方法中的標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量表達(dá)為基本隨機(jī)變量的正交函數(shù)形式，從而實(shí)現(xiàn)了用2個(gè)基本隨機(jī)變量來描述原隨機(jī)過程的目的，這極大地降低了結(jié)構(gòu)隨機(jī)動(dòng)力反應(yīng)分析的難度。此外，針對(duì)新的建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范[9]，本文在文獻(xiàn)[10]基礎(chǔ)上建議了一類非平穩(wěn)地震動(dòng)過程的演變功率譜模型。本文方法的一個(gè)顯著特點(diǎn)，在于通過選取基本隨機(jī)變量的離散代表點(diǎn)集，可直接由演變功率譜生成具有給定賦得概率的代表性樣本集合。這一特點(diǎn)有利于與概率密度演化方法[11-12]的有機(jī)結(jié)合，進(jìn)而為結(jié)構(gòu)非線性隨機(jī)地震反應(yīng)分析與抗震可靠度計(jì)算提供有效的途徑。

1 非平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜表示

根據(jù)Priestley非平穩(wěn)隨機(jī)過程的演變譜表示理論[13-14]，一個(gè)單變量、一維、均值為零的實(shí)值非平穩(wěn)隨機(jī)過程f0(t)可表示為如下的積分形式[6-7]

(1)

式中Ut(ω)和Vt(ω)是實(shí)值非平穩(wěn)隨機(jī)過程f0(t)的譜過程，且滿足實(shí)值非平穩(wěn)隨機(jī)過程譜表示的基本條件：

E[dUt(ω)]=E[dVt(ω)]=0,ω≥0

(2)

(3)

E[dUt(ω)dUt(ω′)]=E[dVt(ω)dVt(ω′)]=0,

ω,ω′≥0;ω≠ω′

(4)

E[dUt(ω)dVt(ω′)]=0,ω,ω′≥0

(5)

式中Sf0(t,ω)為雙邊的演變功率譜密度函數(shù)，可以同時(shí)調(diào)制幅值和頻率。

將式(1)寫成如下的離散形式[6-7]

(6)

式中ωk=kΔω，且頻率間隔Δω需足夠小，使得式(6)可以替代式(1)。

如果增量dUt(ωk)和dVt(ωk)定義為：

(7)

(8)

其中{Xk,Yk}為一組標(biāo)準(zhǔn)的正交隨機(jī)變量，即：

(9a)

(9b)

式中E[·]表示數(shù)學(xué)期望，δjk為Kronecker記號(hào)。容易驗(yàn)證，式(7)～(9)所定義的增量dUt(ωk)和dVt(ωk)滿足式(2)～(5)的基本條件。

對(duì)于工程實(shí)際問題，雙邊的演變功率譜密度函數(shù)Sf0(t,ω)在頻率ω=0時(shí)，一般可滿足Sf0(t,ω0)=Sf0(t,0)=0這一條件。于是，將式(7)和(8)代入式(6)中，即可得到實(shí)值非平穩(wěn)隨機(jī)過程模擬的第一類譜表示

(10)

這里，用f(t)表示模擬的隨機(jī)過程，以區(qū)別于原隨機(jī)過程f0(t)。這樣，通過保留前N項(xiàng)來逼近原隨機(jī)過程，即將原隨機(jī)過程的無限隨機(jī)度問題近似轉(zhuǎn)化為有限(2N)隨機(jī)度問題。

于是，實(shí)值非平穩(wěn)隨機(jī)過程模擬的均方相對(duì)誤差可表示為

(11)

式中ωu=NΔω為計(jì)算截?cái)囝l率，T為實(shí)值非平穩(wěn)隨機(jī)過程的總持續(xù)時(shí)間。一般地，對(duì)于地震動(dòng)加速度過程，ε(N)值不宜超過0.05。

需要指出的是，在文獻(xiàn)[6-7]提出的非平穩(wěn)過程模擬的一個(gè)譜表示方法中，模擬過程是由N個(gè)具有相互獨(dú)立隨機(jī)相位角的余弦級(jí)數(shù)疊加而成；在本文方法中，模擬過程則是由2N個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量來表達(dá)的。類似于平穩(wěn)隨機(jī)過程模擬的譜表示方法[15]，可稱式(10)為非平穩(wěn)過程模擬的第一類譜表示方法，而文獻(xiàn)[6-7]提出的余弦級(jí)數(shù)公式則稱為第二類譜表示方法。盡管第二類譜表示方法所需隨機(jī)變量的數(shù)量N，要比第一類譜表示方法所需隨機(jī)變量的數(shù)量2N少；但第二類譜表示中隨機(jī)變量所滿足的條件要更嚴(yán)格些。亦即，第二類譜表示中隨機(jī)變量必須滿足相互獨(dú)立的均勻分布條件，而第一類譜表示中隨機(jī)變量僅需滿足式(9)的標(biāo)準(zhǔn)正交性條件，而不必給出其具體的概率分布形式，這為本文采用隨機(jī)函數(shù)來構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量提供了基礎(chǔ)。

2 標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量的隨機(jī)函數(shù)表達(dá)形式

在實(shí)值非平穩(wěn)隨機(jī)過程模擬的第一類譜表示式(10)中，{Xk,Yk}(k=1,2,…,N)為一組標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量，必須滿足基本條件式(9)。下面，利用隨機(jī)函數(shù)的思想[8]，構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量{Xk,Yk}的隨機(jī)函數(shù)表達(dá)形式。

(12)

為進(jìn)一步地構(gòu)造高斯的標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量，可采用等概率的反變換方法，利用上述標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量的隨機(jī)函數(shù)表達(dá)式(12)，即可構(gòu)造兩組高斯的標(biāo)準(zhǔn)正交(獨(dú)立)隨機(jī)變量[8]：

(13a)

(13b)

這樣，通過引入隨機(jī)函數(shù)形式和映射方式，將模擬隨機(jī)過程f(t)的隨機(jī)度2N降低為隨機(jī)度2。這正如結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的Rayleigh-Ritz法，通過形狀向量或基向量(約束)的引入，可將高維的多自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)縮減為低維的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。因此，隨機(jī)函數(shù)形式和映射方式均可視為是一種約束，通過合理選擇隨機(jī)函數(shù)形式和映射方式(約束)，能夠有效地減少隨機(jī)過程的隨機(jī)度，從而極大地降低結(jié)構(gòu)隨機(jī)動(dòng)力分析的難度。

3 非平穩(wěn)地震動(dòng)過程的演變功率譜模型

(14)

(15)

式中c為地震動(dòng)峰值加速度出現(xiàn)的時(shí)間，d為控制A(t)形狀的指數(shù)；c和d可根據(jù)場(chǎng)地類別確定。

(16)

(17)

式中Τ為非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程的總持續(xù)時(shí)間；參數(shù)ω0,ξ0及a,b可根據(jù)規(guī)范中的場(chǎng)地類別和設(shè)計(jì)地震分組來確定。

在雙邊的演變功率譜密度函數(shù)式(14)中，反映地震動(dòng)強(qiáng)弱程度的譜參數(shù)S0(t)可表示為

(18)

圖1 演變功率譜密度函數(shù)Fig.1 Evolutionary power spectral density function

表1 演變功率譜模型參數(shù)取值

Tab.1 Parameter values in the evolutionary power spectral model

模型參數(shù)設(shè)計(jì)地震分組場(chǎng)地類別I0I1ⅡⅢⅣ第一組3527．5221611ω0/s-1第二組30251913．59．5第三組2522．516118第一組0．350．40．50．60．7 ξ0第二組0．40．450．550．650．75第三組0．450．50．60．70．8第一組3．13．32．92．852．65 γ第二組2．852．852．752．62．55第三組2．652．62．652．52．45a/s-133．5456 b0．350．30．250．20．15c/s34567d22222地震動(dòng)總持時(shí)T/s1215202530

注：圓頻率單位1/s = rad/s

4 非平穩(wěn)地震動(dòng)過程的模擬與驗(yàn)證

限于篇幅，本文以式(12)生成的非高斯標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量為例來分析。同時(shí)，僅考慮地震烈度為8度，設(shè)計(jì)基本地震加速度PGA=0.2g，場(chǎng)地類別為Ⅲ，設(shè)計(jì)地震分組為第二組，結(jié)構(gòu)阻尼比為0.05的情況。

如果放松演變功率譜能量隨時(shí)間的分布，取其時(shí)間平均，即可得到時(shí)間平均功率譜密度函數(shù)的表達(dá)式為[7]

(19)

式中Td為地震動(dòng)的有效持續(xù)時(shí)間，本文取Td=14.5 s。

為了生成非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程的代表性樣本集合。首先，需要將相互獨(dú)立、均勻分布的基本隨機(jī)變量Θ1和Θ2在區(qū)間[0,2π)×[0,2π)上選取離散代表點(diǎn)集，本文按華羅庚-王元的數(shù)論方法進(jìn)行選點(diǎn)[18]，其中選點(diǎn)總數(shù)s=987，同時(shí)計(jì)算各代表點(diǎn)的賦得概率。其次，利用隨機(jī)函數(shù)形式(12)或(13)以及映射方式，可得到譜表示式(10)中的標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量的確定性取值。最后，應(yīng)用實(shí)值非平穩(wěn)隨機(jī)過程模擬的譜表示式(10)，即可生成一系列的代表性樣本時(shí)程，同時(shí)獲得每條代表性樣本時(shí)程的賦得概率。事實(shí)上，離散代表點(diǎn)的賦得概率即為對(duì)應(yīng)代表性樣本時(shí)程的賦得概率。

在非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程模擬的譜表示中，參數(shù)ωu=219.9 rad/s，N=1 800，Δω=0.122 17 rad/s，其均方相對(duì)誤差為ε(N)=2.7%，能滿足誤差要求。同時(shí)，時(shí)間間隔Δt=0.01 s滿足Δt≤π/ωu的條件。圖2為生成的代表性樣本時(shí)程，具有非平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過程的典型特征。

圖3為代表性樣本集合的均值、標(biāo)準(zhǔn)差與目標(biāo)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差比較，從圖中可知，兩者的符合程度比較理想。圖4為樣本集合的功率譜密度函數(shù)與按式(19)定義的時(shí)間平均功率譜比較，兩者的符合程度也十分理想。這表明，在二階數(shù)值統(tǒng)計(jì)意義上，樣本集合特性與目標(biāo)相符。

圖2 代表性樣本時(shí)程Fig.2 Generated representative sample function

圖3 樣本集合的均值、標(biāo)準(zhǔn)差與目標(biāo)的比較Fig.3 Comparison between mean and standard deviation from 987 samples ensemble and from the target

圖4 樣本集合功率譜與時(shí)間平均功率譜的比較Fig.4 Comparison between 987 samples ensemble PSD and the time average′s PSD

圖5 樣本集合的反應(yīng)譜與規(guī)范的比較Fig.5 Comparison between 987 samples ensemble′s response spectrum and the code′s response spectrum

圖5給出了用本文方法所得987條代表性樣本時(shí)程的均值反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜的比較。從比較的結(jié)果來看，兩者在長周期部分(大于3 s)有較大差別外，在其他周期部分的擬合程度較好，這是由于規(guī)范給出的反應(yīng)譜在其圖形上經(jīng)過處理的緣故，尤其是在長周期部分。如果考慮均值反應(yīng)譜及其1倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍，這樣規(guī)范反應(yīng)譜的大部分能被包含在內(nèi)。同時(shí)，為了能滿足長周期結(jié)構(gòu)的抗震分析需要，可進(jìn)一步對(duì)演變功率譜密度函數(shù)中的譜參數(shù)S0(t)進(jìn)行等效修正，即在譜參數(shù)S0(t)中乘以一個(gè)與結(jié)構(gòu)周期有關(guān)的修正系數(shù)，從而使代表性樣本集合的均值反應(yīng)譜與規(guī)范給定的反應(yīng)譜在0～6 s整個(gè)周期段內(nèi)保持一致，這將在后續(xù)的研究中加以考慮。

5 Duffing振子的隨機(jī)地震反應(yīng)與抗震可靠度

近年來，概率密度演化理論在線性與非線性多自由度結(jié)構(gòu)的隨機(jī)動(dòng)力反應(yīng)分析、動(dòng)力可靠度、體系可靠度計(jì)算以及基于可靠度的控制方面，取得了系統(tǒng)的研究進(jìn)展[11-12]。非平穩(wěn)地震動(dòng)過程的譜表示-隨機(jī)函數(shù)模型與概率密度演化理論相結(jié)合，可以實(shí)現(xiàn)工程結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震反應(yīng)分析與抗震可靠度計(jì)算。

為簡要說明非平穩(wěn)地震動(dòng)過程的譜表示-隨機(jī)函數(shù)模型的工程應(yīng)用，以Duffing振子為例來加以闡述。Duffing振子[19]是一個(gè)經(jīng)典的非線性振動(dòng)問題，在隨機(jī)地震作用下的運(yùn)動(dòng)方程可寫為

(20)

圖6給出相對(duì)位移x(t)的隨機(jī)地震反應(yīng)的概率信息，其中圖6(a)為反應(yīng)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，圖6(b)為典型時(shí)刻的概率密度函數(shù)，圖6(c)為反應(yīng)的概率密度演化曲面，圖6(d)為等概率密度線。根據(jù)等價(jià)極值事件的思想[20]，容易獲得相對(duì)位移x(t)的抗震可靠度， 如圖7所示， 其中圖7(a)為等價(jià)極值事件的概率密度函數(shù)，圖7(b)為等價(jià)極值事件的分布函數(shù)。事實(shí)上，相對(duì)位移的等價(jià)極值事件的分布函數(shù)(縱坐標(biāo))即為抗震可靠度。

圖6 結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)的概率信息Fig.6 Probability information of random earthquake response of structure

圖7 等價(jià)極值事件計(jì)算結(jié)構(gòu)的抗震可靠度Fig.7 The seismic reliability analysis using equivalent extreme value event

6 結(jié) 論

地震動(dòng)隨機(jī)過程的合理描述與建模，是進(jìn)行結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析與抗震可靠度計(jì)算的重要基礎(chǔ)。本文在Priestley演變譜理論的基礎(chǔ)上，采用隨機(jī)函數(shù)的思想，建議了一類新的全非平穩(wěn)地震動(dòng)過程模擬的譜表示-隨機(jī)函數(shù)方法，實(shí)現(xiàn)了用2個(gè)基本隨機(jī)變量描述原隨機(jī)過程概率特性的目的，從而極大地降低了結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析的難度和計(jì)算工作量。研究表明，本文方法可以方便地與最新發(fā)展的概率密度演化理論相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震反應(yīng)和抗震可靠性的精細(xì)化分析。

致謝：本文得到了同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院李杰教授團(tuán)隊(duì)的指導(dǎo)和幫助，在此向他們表示感謝！

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Simulation of non-stationary ground motion by spectral representation and random functions

LIUZhang-jun1,ZENGBo2,WULin-qiang2

(1.College of Civil Engineering & Architecture, China Three Gorges University, Yichang 443002, China; 2.College of Hydraulic & Environmental Engineering, China Three Gorges University, Yichang 443002, China)

Based on the Priestley′s evolutionary spectral representation theory and the idea of random function, a hybrid spectral representation and random function approach is presented to simulate non-stationary stochastic processes. This approach uses two basic random variables to capture accurately the second-order statistics of the original stochastic process. Discrete representative points of the two basic random variables are selected, and representative sample functions with assigned probability are generated directly by the evolutionary power spectral density function. By means of the evolutionary power spectral density function of non-stationary ground motion acceleration process, the effectiveness and advantages of this approach are demonstrated. Finally, combining the probability density evolution method, the random dynamic response and reliability of the Duffing oscillator subjected to stochastic ground motions are investigated.

non-stationary ground motion; random functions; evolutionary power spectral density function; probability density evolution method; Duffing oscillator

2014-02-04；

2014-08-19

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51278282,50808113)；三峽地區(qū)地質(zhì)災(zāi)害與生態(tài)環(huán)境湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心

O324； P315.9

A

1004-4523(2015)03-0411-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.03.010

劉章軍(1973—)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師。電話： (0717)6392137； E-mail: liuzhangjun73@aliyun.com