基于局部平穩(wěn)法的黏滯阻尼被動控制結構抗震可靠度分析

孫香紅， 孔 凡， 李書進

(1.長安大學建筑工程學院， 陜西 西安 710061； 2.武漢理工大學土木工程與建筑學院， 湖北 武漢 430070)

基于局部平穩(wěn)法的黏滯阻尼被動控制結構抗震可靠度分析

孫香紅1， 孔 凡2， 李書進2

(1.長安大學建筑工程學院， 陜西 西安 710061； 2.武漢理工大學土木工程與建筑學院， 湖北 武漢 430070)

針對基于確定性激勵的被動控制裝置參數(shù)設計不具有普遍性的問題，提出了黏滯阻尼被動控制結構在一般非平穩(wěn)隨機地震動作用下抗震可靠度分析的局部平穩(wěn)法。首先基于非平穩(wěn)隨機過程的局部平穩(wěn)小波模型，提出了適用于臨界阻尼比較大的黏滯阻尼被動控制結構的非平穩(wěn)地震動輸入-多自由度(受控)結構位移響應輸出的功率譜關系。其次，根據(jù)超越過程的Markov過程假定及各階響應譜矩，得到了受控結構層間位移的動力可靠度。數(shù)值分析結果表明：黏滯阻尼器在不同層間的配置，對受控結構的層間動力可靠度有顯著影響。最后，以一個6層剪切型多自由度結構為例，對比了Monte Carlo模擬估計與本文所提方法計算的結構動力可靠度，驗證了該方法的可靠性與高效性。

隨機過程； 局部平穩(wěn)法； 黏滯阻尼器； 被動控制； 抗震可靠度

引 言

自上世紀70年代初姚治平(J P T Yao)[1]提出關于結構振動控制的概念以來，結構控制已成為減小外荷載特別是災害性環(huán)境作用下土木工程結構動力響應的有效手段之一。結構振動控制主要可分為主動、被動及半主動控制3種[2]。其中，被動控制技術以其構造簡單、造價低廉、易于維護以及不需要外界能源等特點在實際工程中得到了廣泛應用[3]。結構被動控制技術主要分為基礎隔震、耗能減震以及調諧質量/液體阻尼(TMD/TLD)3大類。2013年4月發(fā)生的蘆山地震，首次檢驗了國內隔震結構(蘆山人民醫(yī)院)的抗震可靠性?；A隔震技術最為成熟，但其存在隔震墊老化等問題且主要適合中低層結構；而TMD/TLD主要應用于高層或超高層結構的抗風設計，應用于抗震時有時甚至會出現(xiàn)負效應[3]。

耗能減震裝置可分為黏滯液體阻尼器、黏彈性固體阻尼器、軟鋼耗能裝置以及摩擦阻尼器等[4-5]。其中，黏滯液體阻尼器在上世紀90年代冷戰(zhàn)結束經(jīng)軍事工業(yè)方面解密后，被迅速擴展應用于民用結構工程領域[6]。黏滯液體阻尼器以其較少提供平面內恢復力(幾乎不改變結構動力特征)、建模簡單(對于線性黏滯阻尼而言)以及在較大范圍內為速度相關型(不依賴于加載頻率及溫度)等特點，引起了廣泛的關注。在耗能減震結構設計中，減震效果的關鍵在于達到預期減震目標的阻尼器參數(shù)及位置分布設計。以往的研究和試驗往往采取若干代表性實際地震動激勵下的模型結構響應，以驗證黏滯阻尼提供的減震效果[7]。然而，地震動等環(huán)境作用帶來的荷載效應本質上是隨機過程，故基于確定性激勵的被動控制裝置參數(shù)設計并不具有普遍性。因此，從概率意義上定量描述被動受控結構隨機動力響應，研究達到概率意義上預期減震效果的阻尼器參數(shù)設置及位置分布，具有非常重要的理論和實用價值。

Pradlwarter和Schueller等人[8]利用Monte Carlo模擬得到了一致調制過濾白噪聲作用下，摩擦阻尼控制線性結構的層間位移響應方差及動力可靠度；Guo和Xu等人[9]結合統(tǒng)計線性化方法計算了黏彈性阻尼裝置下Bouc-Wen滯回結構在過濾白噪聲作用下的隨機響應，并建立了基于結構層間位移的動力可靠度計算方法；Guneyisi和Altay[10]針對隨機地震動作用下加裝黏滯阻尼的非線性高層鋼筋混凝土結構，利用Monte Carlo模擬得到了4種破壞狀態(tài)下的易損性曲線。為了考慮非線性黏滯性阻尼對結構的影響，Di Paola和Mendola等人基于統(tǒng)計線性化的思想得到了平穩(wěn)隨機過程激勵下受控結構的等效線性阻尼[11-12]。孫廣俊和李愛群[13]利用狀態(tài)空間復模態(tài)分析的方法，在時域內推導了平穩(wěn)過濾白噪聲作用下，裝有線性黏滯阻尼受控多自由度結構的層間位移響應二階矩；更進一步，他們[14]利用相同的方法得到了安裝線性黏滯阻尼的多自由度非線性結構層間位移首次超越概率；孫廣俊和李愛群等[15]分析了雙過濾白噪聲平穩(wěn)隨機過程激勵下，隔震裝置和層間恢復力均為Bouc-Wen滯回模型時，基于層間位移的隔震結構體系可靠度指標；徐趙東[16]通過對裝有黏彈性耗能系統(tǒng)結構運動方程的擴階，得到了在平穩(wěn)過程白噪聲作用下線性多自由度結構的層間位移功率譜密度；李創(chuàng)第和夏立志等人[17]將黏滯阻尼器考慮為Maxwell模型，利用隨機平均法計算了在一類具有Kanai-Tajimi譜的寬帶過濾平穩(wěn)白噪聲作用下受控結構的響應概率密度解；孫香紅等人[18]結合概率密度演化方法[19]計算了黏滯阻尼耗能減震結構的體系可靠度，并結合遺傳算法得到了阻尼器在結構中的最優(yōu)布置。

以上對耗能減震結構的隨機動力分析，雖然從概率意義上得到了結構響應的一些概率特征，如響應統(tǒng)計值、概率密度或首超概率等，但大都采用了非平穩(wěn)一致調制、甚至將平穩(wěn)過濾白噪聲作為結構激勵。實際上，地震動過程不僅存在時域非平穩(wěn)，而且存在頻域非平穩(wěn)，即其“瞬時”中心頻率亦隨著時間變化。因此，考慮同時具有時間-頻率非平穩(wěn)隨機激勵下多自由度結構的隨機動力響應，為本文關鍵所在。

由Spanos和Kougioumtzoglou[20]最先提出的用于考慮激勵頻域非平穩(wěn)性基于諧和小波分析的單自由度結構隨機響應功率譜密度的計算方法(以下稱局部平穩(wěn)法)，能更好地應用于較大臨界阻尼比的結構。隨后，孔凡[21]及孔凡、Spanos與李杰等人將其擴展到了多自由度非線性滯回結構[22]。一般情況下，為了達到較好的減震效果，裝備有黏滯阻尼器的結構，其等效臨界阻尼比往往較大。因此，局部平穩(wěn)法在黏滯阻尼耗能結構中的應用，可為計算受控結構隨機動力響應開辟一條新的途徑。

1 理論基礎

1．1 廣義諧和小波

廣義諧和小波[23]是一種在時域上衰減較慢(依t-1)但在頻域上緊支且具有時-頻聯(lián)合分析特征的諧和小波。在時域上它可以寫為

(1)

式中T0為待分析信號的持時；(mj,nj)為廣義諧和小波中用于表示第j階小波的雙指標因子；i為虛數(shù)符號；為了計算方便，認為每階小波頻寬ΔΩj=(nj-mj)Δω=(n-m)Δω相等；k=0,1,…,Nt-1為時間平移因子且Nt=n-m。將式(1)進行Fourier變換后，可得到廣義諧和小波的“盒狀”頻域表達

(2)

1.2 非平穩(wěn)隨機過程的局部平穩(wěn)廣義諧和小波模型

最初由Nason等人發(fā)展的、基于非抽樣小波函數(shù)的非平穩(wěn)向量隨機過程f(t)=[f1(t),f2(t),…,fnd(t)]T模型，即局部平穩(wěn)小波(Local Stationary Wavelet,LSW)模型可以寫為[24]

(3)

可以證明，當LSW模型中小波函數(shù)為廣義諧和小波且各尺度小波頻寬ΔΩj較窄時，式(3)進一步可表示為

(4)

(5)

式中f(mj,nj),k(t)為待分析信號在時間-頻率子域[kT0/(n-m),(k+1)T0/(n-m))和[mjΔω,njΔω)上的子向量信號；A(mj,nj),k與B(mj,nj),k為nd×1維相互獨立的0均值隨機向量，且有下式成立

(6)

(7)

2 耗能減震結構的激勵-響應功率譜關系

考慮在完全非平穩(wěn)隨機地震動作用下并可簡化為剪切型集中質量模型的n維多自由度系統(tǒng)

(8)

式中M,C,K分別為nd×nd維質量、阻尼與剛度矩陣；M0=[m1,m2,…,mnd]T為nd×1維質量向量；當X(t)為nd×1維相對位移向量時，各系數(shù)矩陣為

(9)

一般地，結構阻尼矩陣可用Rayleigh矩陣表示，即

(10)

式中αc,βc為Rayleigh阻尼系數(shù)，可由前二階振型阻尼比得到。

黏滯液體阻尼器性能試驗表明，雖然精確的阻尼器數(shù)學模型可由Maxwell模型[7]描述，但對于大多數(shù)在地震或強風作用下振動頻率較低的工程結構而言，液體黏滯阻尼器提供的附加剛度幾乎可以忽略。因此，黏滯阻尼能在工程結構感興趣的頻率范圍內提供僅依賴于層間速度的阻尼力，即

(11)

因此，設置有線性黏滯阻尼器的被動控制結構，在隨機地震動作用下簡化多自由度的集中質量模型為

(12)

式中Cd為黏滯阻尼器附加的阻尼矩陣，當阻尼器滿布于各層間時，其形式與結構自身剛度矩陣一致，即

(13)

如將耗能減震系統(tǒng)隨機動力位移響應和激勵表示為下式的形式

(14)

同時注意到

(15)

式中C(mj,nj),k,D(mj,nj),k為0均值隨機變量，且

(16)

(17)

可得

(18)

式中C=Cs+Cd為耗能減震結構總體阻尼矩陣，由原結構Rayleigh阻尼矩陣Cs和阻尼器附加阻尼矩陣Cd組成。將式(18)兩式分別乘以它們的共軛轉置并求期望，同時引入式(6)及式(16)可得

(19)

將式(19)化為簡潔形式可得

(20)

式中

(21)

為局部時間-頻率子域上的傳遞函數(shù)。

式(20)建立了在局部時-頻子域上非平穩(wěn)地震動功率譜與響應功率譜之間的關系?？梢姡?20)與經(jīng)典線性平穩(wěn)隨機振動分析激勵與響應功率譜關系的相似程度。這一點不足為奇：由于對非平穩(wěn)隨機過程在時-頻區(qū)間上的劃分，同時假定在子時間區(qū)間上的局部平穩(wěn)性，直接導致了如式(20)所示的功率譜關系式。基于如下判斷，可認為局部平穩(wěn)假定是合理的：對于大多數(shù)在隨機地震動激勵下的工程結構而言，由于激勵相對于時間尺度T0/(n-m)的慢變性，從而使結構響應相對于此時間尺度也可認為是慢變的；更重要的是，尤其對于附加有一定阻尼裝置的被動控制結構而言，阻尼器提供的等效臨界阻尼比往往比原工程結構更大，從而使大阻尼比受控結構的瞬態(tài)響應可較快地耗散。

3 數(shù)值算例

為了驗證局部平穩(wěn)法在多自由度結構耗能減震中的應用效果，以一個算例進行分析。某6層框架結構，簡化后可采用集中質量多自由度模型，其中各層集中質量、層間剛度系數(shù)以及相應模態(tài)頻率如表1所示，黏滯阻尼器的線性黏滯阻尼系數(shù)取為2×105N·s/m。結構系統(tǒng)阻尼采用Rayleigh阻尼且前兩階模態(tài)阻尼比分別取為ζ1=0.05,ζ2=0.1。在其中兩層對稱設置4個阻尼器：不失一般性，可考慮阻尼器水平放置且忽略支撐剛度影響。為了考察不同阻尼器數(shù)目及分布情況對受控結構的隨機動力響應概率特征的影響，考慮以下4種阻尼器位置分布情況：

(a) [1,1,1,1,1,1]； (b) [1,1,0,0,0,0]；

(c) [0,0,0,0,1,1]； (d) [0,0,0,0,0,0]

其中，以“1”表示該層間設置有黏滯阻尼裝置，以“0”表示該層間無阻尼裝置。

為了研究多自由度受控結構在完全時間-頻率非平穩(wěn)地震動作用下的隨機動力行為， 假設地震動有形如

表1 各層質量與剛度參數(shù)

(22)

圖1 完全非平穩(wěn)地震動功率譜密度Fig.1 PSD of full non-stationary earthquake excitation

圖2 非平穩(wěn)地震動時程樣本Fig.2 Sample excitation of non-stationary earthquake excitation

的非平穩(wěn)功率譜密度[20-22]。根據(jù)《建筑抗震設計規(guī)范》(GB50011-2010)，調整譜強因子S0使相應的樣本地震動時程峰值的均值為7度多遇情況時的0.35 m/s2。式(22)的功率譜密度如圖1所示，所對應的非平穩(wěn)地震動時程樣本如圖2所示，它由非平穩(wěn)隨機過程的譜表現(xiàn)方法生成[27]。由圖1可見，此非平穩(wěn)隨機過程功率譜密度不僅沿時間軸表現(xiàn)出幅值非平穩(wěn)性，而且沿頻率軸也表現(xiàn)出頻譜的非平穩(wěn)性；由圖2可見，隨著時間的推移，樣本時程除了幅值具有非平穩(wěn)外，越零率也逐漸減小。

為了節(jié)約篇幅，本文只給出了阻尼器布置如a,b,c及d情況時的首層層間位移功率譜密度，如圖3(a)～(d)所示；采用Monte Carlo模擬并進行非平穩(wěn)隨機過程功率譜估計[28]的結果如圖4(a)～(d)所示。為了進一步顯示二者的吻合度，圖5(a)～(d)所示為局部平穩(wěn)法與Monte Carlo模擬估計功率譜在典型時刻的“瞬時”功率譜對比。為了進一步顯示局部平穩(wěn)法在耗能減震結構中的適用程序，圖6(a)～(d)所示為依據(jù)

(23)

計算得到的響應時變方差/標準差。

由圖5(a)～(d)可知，局部平穩(wěn)法能較好地給出受控結構的“瞬時”功率譜密度，但未能較好地把握未安裝阻尼器時結構的“瞬時”功率譜密度，詳見圖5(d)。這種差別亦可由圖6(a)～(d)可得，其中，除完全未安裝阻尼器的結構外，局部平穩(wěn)法均可較好地把握受控結構的時變響應標準差。造成局部平穩(wěn)法在未安裝阻尼器的小阻尼結構中的應用局限性的根本原因在于，隨機激勵和響應的局部平穩(wěn)假定導致了能量只能在局部時間-頻率子域上傳遞，卻不能在局部時間-頻率子域之間傳遞，文獻[21]詳細地闡述了這一點。正如引言中及第2節(jié)評論式(20)時所述，局部平穩(wěn)法適用于具有較大阻尼系統(tǒng)的特性，可應用于被動耗能結構較大阻尼系數(shù)的情況，詳可見圖5(a)～(c)與圖6(a)～(c)。

實際上，不同的阻尼器布置會給受控結構動力可靠度帶來較大的影響[18]。為了證明這一點，本文采用超越過程Markov過程假定的動力可靠度計算方法[29-30]，并以層間位移首次超越某一預定限值為失效準則。按照《建筑抗震設計規(guī)范》(GB50011-2010)，鋼筋混凝土結構的彈性層間位移角限值為1/550，且各層層高取為hi=3 m,i=1,2,…,6。圖7表明了4種不同阻尼器布置的情況下由局部平穩(wěn)法計算得出的各層間位移動力可靠度，并同時給出了直接Monte Carlo模擬樣本2×104次的動力可靠度；詳細結果以及二者之間相對誤差的對比如表2所示。為了進一步驗證二者之間的吻合程度，圖8給出了各種阻尼器布置情況下結構首層層間時變動力可靠度。

圖3 各阻尼器布置情況下局部平穩(wěn)法計算所得底層層間位移功率譜密度Fig.3 Drift PSD of the 1st storey calculated by Local Stationary Method under different damper distributions

從表2可見，對于同一種阻尼器布置而言，隨著樓層的增加，二種方法計算結果相對誤差逐漸減小。不僅如此，對于不同阻尼器布置而言，可靠度越高的情況，二者之間的相對誤差越小。由阻尼器布置情況a到阻尼器布置情況c，二者之間的最大相對誤差均發(fā)生在第一層，分別為-0.313 1%，4.411 6%以及9.086 9%。因此，對于可靠度要求較高的工程結構而言，采用本文建議的方法計算得到的動力可靠度指標具有較高的精度。更重要的是，由于本文所建議方法僅涉及矩陣運算，并不要求多次求解動力微分方程，因此具有較高的計算效率。圖8進一步證明了以上關于局部平穩(wěn)法計算得到的動力可靠度精度隨著可靠度的增加而提高的結論。不僅如此，圖8顯示了當結構未安裝阻尼器時，局部平穩(wěn)法給出的層間位移動力可靠度較Monte Carlo模擬偏大，這是與其得到的響應功率譜密度較Monte Carlo模擬偏小是密切相關的，具體原因可見文獻[21]。

要使體系動力可靠度最高，可采取最小層間可靠度為評價指標進行阻尼器布置。由于被動阻尼總會消耗由地震動輸入的能量，因此滿布設置(情況a)得到的最小可靠度最高。當對稱設置4個阻尼器在2個樓層時(阻尼器布置情況b與c)，在第1,2層設置阻尼器時的結構最小層間可靠度較設置阻尼器在第5和第6層時高。而較無阻尼器設置的情況而言(情況d)，前者能較均勻地提高各層間可靠度；后者僅對于設置有阻尼器的第5,6層能在很大程度上提高層間可靠度，這一點由第4,5層的層間可靠度突變即可看出。因此，在設置阻尼器數(shù)目一定的情況下，阻尼器布置與動力可靠度有緊密關系。當試圖獲取使結構最小層間可靠度最大的阻尼器布置時，對于簡單的質量串聯(lián)體系多自由度系統(tǒng)而言，即使采用枚舉法亦不會造成較大的計算成本；而對于較為復雜的結構動力計算模型，尚需采用優(yōu)化算法以得到動力可靠度意義上的最優(yōu)布置設置。

4 結論與展望

針對目前耗能減震結構的阻尼器參數(shù)設置以及優(yōu)化布置的研究中所存在的問題：采用確定性激勵不具有一般代表性，采用平穩(wěn)或一致調制隨機過程作為激勵不符合地震動的典型特征；同時結合局部平穩(wěn)法在計算較大阻尼結構響應功率譜時的適用性，本文發(fā)展了一種確定黏滯阻尼受控結構在一般非平穩(wěn)隨機地震動作用下動力可靠度的方法——局部平穩(wěn)法。首先，與Monte Carlo模擬估計的功率譜對比，本文所建議方法有較高的計算精度及計算效率；其次，與直接Monte Carlo模擬得到的結構層間動力可靠度對比表明：局部平穩(wěn)法的計算精度隨著可靠度的升高而提高；算例分析表明：不同阻尼器布置形式，對于結構層間動力可靠度有較大影響?？傮w而言，與其他經(jīng)典方法如Markovian過程方法(FPK方程)以及Monte Carlo模擬方法對比，本文所建議方法在多自由度結構、非平穩(wěn)激勵以及計算效率方面更具優(yōu)勢。該方法亦可方便地擴展應用于考慮支撐剛度或阻尼剛度的Maxwell模型中。

圖6 不同阻尼器布置情況下兩種方法的首層位移標準差對比Fig.6 Standard deviation comparisons of the 1st floor drift between two methods under different damper distributions

圖7 不同阻尼器布置情況下受控結構層間位移動力可靠度Fig.7 Dynamic reliabilities of storey drift of passive controlled structure under different damper distributions

圖8 不同阻尼器布置情況下結構首層層間時變動力可靠度Fig.8 Time-varying dynamic reliability of the 1st floor drift under different damper distributions

致謝：感謝國家留學基金委(CSC)對本文第一作者在美國Houston大學以訪問學者身份進行訪問期間給予的資助；感謝國家留學基金委(CSC)對本文第二作者在美國Rice 大學以聯(lián)合培養(yǎng)博士研究生身份進行訪問期間給予的資助。

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Seismic reliability of passive controlled MDOF structures equipped with viscous fluid dampers based on Local Stationary Method

SUNXiang-hong1,KONGFan2,LIShu-jin2

(1. School of Civil Engineering, Chang′an University, Xi′an 710061, China;2. School of Civil Engineering & Architecture, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China)

A novel seismic reliability analysis approach of passive controlled MDOF structural systems subject to full non-stationary earthquake excitations presented via the harmonic wavelet. The structure is equipped with viscous fluid dampers which are widely used in the structural passive controlled structure. Specifically, a Power Spectral Density (PSD) relationship between the excitation and displacement response of controlled structure is firstly obtained, employing the Local Stationary Wavelet representation of non-stationary stochastic process. Next, storey drift reliabilities of distinct storeys are calculated by the response of PSDs and their moments based on the Markovian assumption of the crossing process. Finally, numerical simulations show that different distributions of viscous dampers may lead to distinct storey reliabilities. Pertinent Monte Carlo simulations show the reliability and accuracy of the proposed technique.

stochastic processes; Local Stationary Method; viscous fluid damper; passive control; seismic reliability

2014-01-09；

2014-07-09

中央高校基本科研業(yè)務費專項資金資助項目(CHD2011JC115);陜西省自然科學基金資助項目(2006E213)

O324; TB535

A

1004-4523(2015)03-0394-10

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.03.008

孫香紅(1974—),女, 副教授。電話：(029)82337250;E-mail:sunxh@chd.edu.cn