增根也有用智用能解題

石才英

在解分式方程時，由于去分母將分式方程化成整式方程后，未知數(shù)的取值范圍擴大了，因而容易出現(xiàn)增根.而分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同時還使其最簡公分母的值為零.智用分式方程的這一特性可巧解一些數(shù)學問題.

現(xiàn)以2014年部分省市中考題為例說明如下.

1求參數(shù)的值

例1（天水市）k為何值時，方程6x-1-x+kx（x-1）+3x=0有解？

分析將原方程變形為8x=k+3，故x=k+38.再根據(jù)分式方程有解，通過公分母x（x-1）≠0知x≠0且x≠1去求解即可.

解由k+38≠0且k+38≠1可求得k≠-3且k≠5.這時原方程就有解.

例2（大連市）當m為何值時，分式方程mx+1-2x-1=3x2-1產(chǎn)生增根？

分析我們很容易猜測出分式方程可能產(chǎn)生的增根是x=1或x=-1，只要把猜測的增根分別代入去分母后的整式方程中即可求出相對應的字母m的值.

解原方程去分母并整理得（m-2）x=5+m，假設產(chǎn)生增根x=1，則有m-2=5+m，方程無解.所以不存在m的值使原分式方程產(chǎn)生增根x=1.假設產(chǎn)生增根x=-1，則有2-m=5+m，解得m=-32.所以m=-32時，分式方程mx+1-2x-1=3x2-1產(chǎn)生增根.

注方程的增根，是使公分母為0的未知數(shù)的值.求法：①化分式方程為整式方程；②令公分母為0，求x；③再把x的值代入整式方程中，求出字母系數(shù)的值.

例3（煙臺市）若關于x的分式方程x-ax-1-3x=1無解，試確定a的值.

分析化分式方程為整式方程，若整式方程無解，則分式方程一定無解；若整式方程有解，但要使分式方程無解，則該解必是使公分母為0時對應的未知數(shù)的值，此時相應的字母系數(shù)值使分式方程無解.

解去分母，整理得（2+a）x=3.若2+a=0，則a=-2，此時方程無解；若2+a≠0，則x=32+a是增根.因為x=1和x=0是方程的增根，所以32+a=1或0，a=1.所以a=-2或1.

注分式方程無解有兩種可能，一是去分母后的整式方程無解；二是去分母后的整式方程有解，但這個解使分式方程的最簡公分母為0，為分式方程的增根.應注意分類討論.

例4（鄭州市）解關于x的方程xx-1-kx2-1=xx+1不會產(chǎn)生增根，則k的值（）.

A.是2B.只能是1

C.不為2或-2的實數(shù)D.無法確定

分析本題從正面入手求解比較困難，但從逆向思維入手卻比較簡便.本題不會產(chǎn)生增根的反面是會產(chǎn)生增根，當方程有增根時，最簡公分母應為零.

解原方程去分母整理得x（x+1）-k=x（x-1）.所以k=2x.若方程產(chǎn)生增根，則公分母x2-1=0.所以x=±1.故k=±2.所以當k≠2或k≠-2時，原方程不會產(chǎn)生增根.因而應選C.

注方程無增根，說明對應的整式方程的根使分式方程的公分母不等于0，由此，可以確定字母系數(shù)值或取值范圍.

2求增根

例5（宜春市）若方程6（x+1）（x-1）-mx-1=1有增根，則它的增根是（）.

A.0B.1C.-1D.1和-1

分析這是一道錯誤率非常高的選擇題，很多同學看完題目后想都不想就選D答案，理由是“增根”必使原方程中的最簡公分母為0，而容易忽視“增根”還有另一個特征：是原分式方程去分母后所得到的整式方程的根.

解方程兩邊同乘（x+1）（x-1），得6-m（x+1）=（x+1）（x-1）.整理得x2+mx+m-7=0.因為方程有增根，必有（x+1）（x-1）=0，解得x=1或x=-1.當x=1時，方程x2+mx+m-7=0，有解m=3；當x=-1時，方程x2+mx+m-7=0無解，所以x=1是原方程增根，x=-1不是原方程增根.故正確答案應選B.

注判別或?qū)ふ曳质椒匠痰摹霸龈?，不能簡單地認為就是使原方程中的最簡公分母為0的未知數(shù)的值.使原方程中的最簡公分母為0的未知數(shù)的值只是增根的必要條件，而不是充分條件.

3求參數(shù)的取值范圍

例6（成都市）已知解方程4x4-x2+1=k-k2x-2+1x+2時不會產(chǎn)生增根，求實數(shù)k的取值范圍.

分析本題可仿例3，從逆向思維入手去求解.

解原方程去分母整理得（x+2）（k-k2）=x2-5x-2①.若方程產(chǎn)生增根，則（x+2）（x-2）=0（最簡公分母=0）.所以x1=-2，x2=2.當x1=-2時，方程①變?yōu)?·（k-k2）=12，k無實數(shù)解.當x2=2時，方程①變?yōu)?（k-k2）=-8，所以k1=-1，k2=2.所以當k≠-1且k≠2時，原方程不會產(chǎn)生增根.

4求方程的根及參數(shù)的值

例7（貴陽市）如果關于x的方程xx-2+x-2x+2x+ax（x-2）=0只有一個實根，求a的值及方程的根.

分析本題需要將分式方程通過去分母化為整式方程求解，但分類討論時要注意增根的情況.

解原方程可化為：2x2-2x+4+a=0①.（1）若方程①有等根，則Δ=（-2）2-4×2×（4+a）=0，解得a=-3.5，此時原方程的解為x=0.5；（2）若方程①有不等二實根，則這兩根中有一個根是原方程的增根，這時原方程才只有一個實根，而原方程的增根是x=0或x=2.當x=0時，代入方程①，得a=-4，此時原方程的解為x=1；當x=2時，代入方程①，得a=-8，此時原方程的解為x=-1.綜上所述：當a=-3.5時，原方程的根是x=0.5；當a=-4時，原方程的根為x=1；當a=-8時，原方程的根是x=-1.

綜上所述可知，解分式方程時，有時會產(chǎn)生增根，這是因為我們把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過程中，無形中去掉了原分式方程中分母不為零的限制條件，從而擴大了未知數(shù)的取值范圍，于是就產(chǎn)生了如下兩種情況：（1）如果整式方程的根都在分式方程未知數(shù)的取值范圍內(nèi)，那么整式方程的根就是分式方程的根；（2）如果整式方程的有些根不在分式方程未知數(shù)的取值范圍內(nèi)，那么這種根就不是分式方程的根，是分式方程的增根.因此，解分式方程時，驗根是必不可少的步驟，不可否認，增根的出現(xiàn)給我們的解題帶來了一定的麻煩，然而任何事物都有其兩面性，由增根的原因知道，分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同時還能使其最簡公分母的值為零，據(jù)此可以解決一些相關的問題.

另外有兩點體會，供師生參考：

1.已知中明確指出方程有增根，求方程中的待定常數(shù)的值及已知方程的解.該類問題的一般解法是：把所給的方程化成整式方程，再把增根代入化簡后的整式方程，即可求出待定常數(shù)的值，然后將求出的待定常數(shù)的值代入化簡后的整式（或已知）方程，就可以求出已知方程的根.

2.已知中沒有明確給出增根的條件，但題目中隱含有增根的條件，解題時又必須應用增根這一條件.這類問題的一般解法是：首先應明確增根是什么，然后根據(jù)題目的要求作出解答.

總而言之，注意課本中的分式方程增根在中考中的應用，對于培養(yǎng)學生的思維水平，開闊學生的視野，鞏固基礎知識，提高學生的解題水平，對于幫助學生理解課本內(nèi)容、啟迪思維，提高探索精神和創(chuàng)新意識，將會起到積極的作用.