解中考幾何最值問題的突破口到底在何處

拜讀了馬先龍老師的《構(gòu)造圖形打開解中考幾何最值問題的突破口》（以下簡(jiǎn)稱文[1]）一文后，深受啟發(fā)，特別對(duì)如何通過動(dòng)靜結(jié)合、巧構(gòu)圖形妙解中考幾何最值問題有了深入了解.但也有一些不同的想法，愿與馬老師商榷，更希望得到廣大同仁斧正.

1商榷之點(diǎn)

文[1]通過六個(gè)例題闡述了如何從構(gòu)造三角形、對(duì)稱點(diǎn)、垂直于弦的直徑、相似三角形和全等三角形入手，尋找解決平面幾何最值問題的突破口.對(duì)此筆者不敢茍同，因?yàn)闃?gòu)造上述圖形只是表象，至于“如何構(gòu)造”和“怎么想到這樣構(gòu)造”，卻值得深入探究.

筆者竊以為，從知識(shí)轉(zhuǎn)化角度來分析，所有數(shù)學(xué)習(xí)題都是運(yùn)用所學(xué)過的知識(shí)加以解決！因此，在初中階段與平面幾何最值有關(guān)的知識(shí)源才是解決此類問題的突破口，是打開解決平面幾何最值問題的思維通道.此類知識(shí)源主要有幾何類（“兩點(diǎn)之間線段最短”、“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連線中，垂線段最短”、“分別位于兩條平行線上的兩點(diǎn)之間的最短距離等于兩平行線間的距離”、“圓外一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)連線中，到過該點(diǎn)和圓心的直線與圓的近交點(diǎn)距離最短、遠(yuǎn)交點(diǎn)距離最長(zhǎng)”等）和代數(shù)類（構(gòu)造出待求量與某一變量的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解）.

2突破之處

2.1以“兩點(diǎn)之間線段最短”為突破口

例1（文[1]例2）如，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，A（1，0）、B（2，0）是x軸上兩點(diǎn)，則PA+PB的最小值為.

文[1]給出了的輔助線添法（限于篇幅，凡引用文[1]的例題，本文均不再附解答，詳細(xì)過程請(qǐng)查閱文[1]，下同），并認(rèn)為“構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn)”是解決此類問題的突破口，那我們不禁要問：怎么想到構(gòu)造點(diǎn)A關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)A′的呢？

事實(shí)上，要求PA+PB的最小值就是求動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、B距離之和的最小值，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知，當(dāng)點(diǎn)P位于線段AB上時(shí)，其和最??；又點(diǎn)P在直線y=x上，所以點(diǎn)P應(yīng)是兩者的交點(diǎn).但由于A、B位于直線y=x的同側(cè)，沒有交點(diǎn)，需利用線段的等量變換，把兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線的兩側(cè).而常見的等量變換有“平移”、“翻折”和“旋轉(zhuǎn)”，結(jié)合條件和圖形特征，本題宜選擇“翻折”，即作點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對(duì)稱點(diǎn)A′，從而使問題迎刃而解.

綜上所述，知識(shí)源“兩點(diǎn)之間線段最短”才是解決此類問題的突破口.

2.2以“圓外一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)連線中，到過該點(diǎn)和圓心的直線與圓的近交點(diǎn)距離最短、遠(yuǎn)交點(diǎn)距離最長(zhǎng)”為突破口

例2（文[1]例1）如，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于點(diǎn)D，P是弧CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則AP的最小值是.

本題考生若已知“圓外一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)連線中，到過該點(diǎn)和圓心的直線與圓的近交點(diǎn)距離最短”這一知識(shí)源，作出的輔助線、證明和求值都是水到渠成之舉.但對(duì)于未學(xué)過這一知識(shí)源的考生來說，又如何能想到連接AO呢？

考慮到這是屬于動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離最短問題，易聯(lián)想到知識(shí)源“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連線中，垂線段最短”.可惜的是，點(diǎn)P在弧CD（非直線）上運(yùn)動(dòng)，且弧CD又無法轉(zhuǎn)化為直線，故只能把突破口放在知識(shí)源“兩點(diǎn)之間線段最短”上，即在弧CD與點(diǎn)A不同側(cè)的另一側(cè)找一定點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離之和最小，由圓的定義自然想到圓心O就是要找的最佳定點(diǎn)，因?yàn)闊o論點(diǎn)P如何運(yùn)動(dòng)，OP為定值.

由此可見，文[1]認(rèn)為“構(gòu)造如中的三角形是解題的突破口”的觀點(diǎn)有些牽強(qiáng).另外，文[1]中的例3是綜合上述兩個(gè)知識(shí)源求解的，本文不再贅述.

2.3以“一次函數(shù)性質(zhì)”為突破口

例3（文[1]例4）如，⊙O的半徑是2，直線l與⊙O相交于A、B兩點(diǎn)，M、N是⊙O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線l的異側(cè)，若∠AMB=45°，則四邊形MANB面積最大值是.

由于四邊形MANB是非特殊四邊形，所以其面積（設(shè)為S）需分割成△ABM和△ABN的面積之和.考慮到AB為兩三角形的公共邊且長(zhǎng)度可求（值為22），故可以AB為底邊，過點(diǎn)M、N分別向其作高M(jìn)C、ND，則S=12AB（MC+ND）.設(shè)MC+ND=h，則S=2h.又易知0

綜上可知，本題的突破口是如何求出四邊形MANB面積的函數(shù)表達(dá)式，然后再根據(jù)表達(dá)式確定解題方向，至于構(gòu)不構(gòu)造直徑，意義不大.

2.4以“二次函數(shù)性質(zhì)”為突破口

例4（文[1]例5）如，直線l與半徑為4的⊙O相切于點(diǎn)A，P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)P作PB⊥l，垂足為點(diǎn)B，連接PA.設(shè)PA=x、PB=y，則（x-y）的最大值是.

文[1]認(rèn)為：構(gòu)造如的與△ABP相似的△CPA是解決此題的突破口，事實(shí)果真如此嗎？

首先，本題從x-y（即PA-PB）的幾何意義入手較為棘手，故考慮從構(gòu)建函數(shù)角度打通思維之路.設(shè)t=x-y，因?yàn)楸磉_(dá)式中除t外還有兩個(gè)變量x、y，所以代換其中之一已是必然選擇，即要利用相等關(guān)系找出y與x間的數(shù)量關(guān)系，代入消元.而平面幾何中與兩線段有關(guān)的相等關(guān)系主要有“線段間固有的數(shù)量關(guān)系（等角對(duì)等邊、全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、三角形中位線定理等）”、“勾股定理”、“比例式（平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)）”和“等積式（圖形面積相等）”.本題結(jié)合條件和圖形特征定位在相似三角形，即通過證明△ABP∽△CPA和利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，求得y=18x2，則t=-18（x-4）2+2，故當(dāng)x=4時(shí)，t=x-y的最大值為2.

其次，本題也可不用三角形相似處理.既然是建立t的函數(shù)關(guān)系式，變量就不一定要選擇線段，也可選擇角.如設(shè)∠PAC=∠APB=θ，則AP=ACcosθ=8cosθ、PB=APcosθ=8cos2θ，所以t=8cosθ-8cos2θ=-8（cosθ-12）2+2，也可得x-y的最大值為2.

由此可見，構(gòu)造相似三角形未必是本題的突破口，而如何建立函數(shù)關(guān)系式才是突破思維障礙之所在.

3補(bǔ)全之筆

以上突破口都是文[1]例題所涉及到的，除此之外還有：

3.1以“分別位于兩條平行線上的兩點(diǎn)之間的最短距離等于兩平行線間的距離”為突破口

例5（2012年江蘇連云港市）已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3.

問題1：如，P為AB邊上的一點(diǎn)，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請(qǐng)問對(duì)角線PQ，DC的長(zhǎng)能否相等，為什么？

問題2：請(qǐng)問問題1中的平行四邊形PCQD的對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.（問題3、問題4略）

解析（問題1解答略）由于問題2中的P、Q兩點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)，宜考慮用“分別位于兩條平行線上的兩點(diǎn)之間的最短距離等于兩平行線間的距離”知識(shí)源求解，即證明P、Q兩點(diǎn)分別運(yùn)動(dòng)于兩條固定的平行線上.又點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，且AB⊥BC，于是聯(lián)想到“過點(diǎn)Q作QH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H”，下證直線QH為定直線并求出兩平行線QH和AB間的距離即可.易證Rt△ADP≌Rt△HCQ，得CH=AD=1，所以BH的長(zhǎng)度為定值4，故PQ的長(zhǎng)存在最小值，且為4.

3.2以“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連線中，垂線段最短”為突破口

其實(shí)，例5中的問題2用“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連線中，垂線段最短”知識(shí)源求解更簡(jiǎn)捷.如，設(shè)對(duì)角線PQ與DC相交于點(diǎn)G，由PQ=2PG知，要求PQ的最小值只需求PG的最小值.顯然點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，即為定點(diǎn)，而P為AB上動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)PG垂直AB時(shí)最短.此時(shí)，AD∥PG∥BC，由梯形中位線定理易求PG=2，所以PQ的最小值為4.

4例6之思

例6（文[1]例6）如，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，M、N分別在BC、CD上，使得△CMN的周長(zhǎng)為2，則△AMN的面積的最小值為.

文[1]通過構(gòu)造與△AMN全等的△AEN，依據(jù)AD=1，從而把求△AMN的面積最小值轉(zhuǎn)化為求線段EN（即MN）的最小值.然后根據(jù)勾股定理構(gòu)造出含有參數(shù)t（線段MN的長(zhǎng)）且關(guān)于x（線段CN的長(zhǎng)）的一元二次方程x2+（t-2）x+（2-2t）=0，利用Δ=t2+4t-4≥0，求得t的最小值為22-2，從而得△AMN的面積的最小值為2-1.

反思一怎么想到這樣添輔助線？其實(shí)，由條件可得MN=BM+DN，而對(duì)于三條線段間的數(shù)量關(guān)系，常?？赏ㄟ^“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”把它們轉(zhuǎn)化為兩條線段間的相等關(guān)系.

反思二還有其它方法求MN的最小值嗎？換言之，就是當(dāng)Rt△CMN的周長(zhǎng)為2時(shí)，何時(shí)其斜邊長(zhǎng)MN最短？不妨設(shè)MN=c、∠CNM=θ，則c+ccosθ+csinθ=2，即c=21+sinθ+cosθ=21+2sin（θ+45°），易知當(dāng)θ=45°，即△CMN為等腰直角三角形時(shí)，斜邊MN取得最小值22-2.由此可得結(jié)論：周長(zhǎng)為定值的直角三角形，當(dāng)兩直角邊相等時(shí)，斜邊長(zhǎng)最短.

反思三一定要構(gòu)造全等三角形嗎？其實(shí)，本題的突破口是如何建立△AMN面積（設(shè)為S）關(guān)于某一變量的函數(shù)關(guān)系式.由于直接作高不易求出△AMN的面積，故宜采用間接方法.除了象文[1]中利用全等三角形轉(zhuǎn)化外，還可以用割補(bǔ)法求解.設(shè)BM=m、DN=n，由S△AMN=S正方形ABCD-S△ABM-S△CMN-S△AND，得S=1-12m-12n-12（1-m）（1-n），即S=12-12mn.又由CM2+CN2=MN2，得（1-m）2+（1-n）2=（m+n）2，所以m=1-n1+n.則S=n2-n2（1+n）+12=（1+n）2-3（1+n）+22（1+n）+12=12（1+n+21+n）-1=12（n+1-2n+1）2+2-1，所以當(dāng)n+1=2n+1，即當(dāng)n=2-1時(shí)，S取得最小值2-1.

總之，數(shù)學(xué)解題教學(xué)不能拘泥于只注重技巧的“怎樣做”，而應(yīng)基于知識(shí)轉(zhuǎn)化之下，通過追根溯源，著重講清“為什么這樣做”（即怎么想到這樣做）和“同一類型怎么做”.唯有如此，方能真正做到“以題會(huì)類”，從而把能力培養(yǎng)和“減負(fù)增效”落到實(shí)處.

參考文獻(xiàn)

[1]馬先龍.構(gòu)造圖形打開解中考幾何最值問題的突破口[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（10）：52-53.

作者簡(jiǎn)介劉華為，男，1968年10月生，中學(xué)高級(jí)教師，區(qū)學(xué)科帶頭人.發(fā)表文章40余篇，并出版專著《中考?jí)狠S題：怎樣解，為何這樣解》.