關(guān)注幾何模型提升命題能力

1前言

命制試題對(duì)初中數(shù)學(xué)教師而言，一方面需要教師深入理解《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》規(guī)定的課程內(nèi)容及其所倡導(dǎo)的考試評(píng)價(jià)理念；另一方面教師要熟悉數(shù)學(xué)試題命制的原則、程序、方法、技巧、策略等.為了在教學(xué)中快速高效地命制出一些內(nèi)涵豐富、形式新穎、別具一格的試題，筆者在這方面做了一些有益的嘗試：注重提煉幾何模型，以幾何模型作為命制幾何試題的源頭與活水，不但可以快速高效地命制出一些優(yōu)秀的幾何試題，而且可以提高教師的命題能力.本文以“共頂菱形”圖形為模型，說(shuō)明幾何模型在命題技術(shù)中的運(yùn)用，不妥之處，懇請(qǐng)讀者批評(píng)指正.

2利用幾何模型命制試題的思路歷程

2.1模型的提煉

歷年的中考試題或教材上的例題都是經(jīng)過(guò)專家反復(fù)打磨、精雕細(xì)琢而來(lái)的精品資源，每一道試題或例題中都蘊(yùn)含著某些特定的數(shù)學(xué)思想與方法，教師可從這里提煉幾何模型.

例1（2012年湖北恩施）如，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長(zhǎng)分別為2和3，∠A=120°，則圖中陰影部分的面積是（）.

A.3B.2C.3D.2

解析因?yàn)椤螦=120°，所以∠ABC=180°-120°=60°.利用三角函數(shù)易求得菱形ABCD的邊CD上的高為2sin60°=3，菱形ECGF的邊CE上的高為3sin60°=332.

所以S△BDF=S梯形CDFG+S△BCD-S△BGF

=12×（2+3）×332+12×2×3-12×3×（3+332）=1534+3-1534=3.

故選A.

點(diǎn)評(píng)本題以兩個(gè)具有一個(gè)公共頂點(diǎn)的菱形為基本模型，主要考查了菱形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、三角形面積、梯形面積的求法等知識(shí).由于△BDF的面積不易直接求得，故而采用間接求法：利用某些特殊圖形的面積來(lái)表示△BDF的面積，這種方法是求不特殊圖形面積的一種通法.

本例中所涉及的幾何圖形簡(jiǎn)潔優(yōu)美，內(nèi)涵豐富，不妨稱之為“共頂菱形”，即具有公共頂點(diǎn)的菱形稱之為“共頂菱形”.以此圖形為模型可以命制出與之類似的幾何試題，它可以作為命制同類幾何試題的源頭與活水.為了能夠以“共頂菱形”圖形為模型命制出形式新穎、內(nèi)涵豐富的幾何試題，就必須熟知“共頂菱形”圖形中最基本的兩類關(guān)系：一是有關(guān)圖形的面積與菱形邊長(zhǎng)、內(nèi)角之間的關(guān)系；二是有關(guān)線段之間的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系.

2.2探究幾何模型中有關(guān)幾何量之間的關(guān)系

2.21“共頂菱形”圖形中有關(guān)圖形的面積與菱形的邊長(zhǎng)、內(nèi)角之間的關(guān)系

筆者在幾何畫板中畫出了，利用幾何畫板中的“度量”功能測(cè)量出陰影部分的面積后，改變菱形ECGF的邊長(zhǎng)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積始終保持不變，這引起了筆者探究的興趣.經(jīng)筆者探究發(fā)現(xiàn)，中陰影部分的面積與菱形ECGF的邊長(zhǎng)沒(méi)有關(guān)系，只與菱形ABCD的邊長(zhǎng)及菱形內(nèi)角的大小有關(guān).計(jì)算陰影部分的面積時(shí)，雖然菱形ECGF的邊長(zhǎng)參與了運(yùn)算，但對(duì)運(yùn)算結(jié)果不產(chǎn)生任何影響.因此，試題中給出菱形ECGF的邊長(zhǎng)為3，這是一個(gè)多余的數(shù)據(jù).

如，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長(zhǎng)分別為m和n，∠ABC=α，點(diǎn)B、C、G在同一直線上，點(diǎn)C、D、E在同一直線上，求圖中陰影部分的面積.

解析如，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥FG，交FG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，延長(zhǎng)EC交BN于點(diǎn)M.

根據(jù)已知，易求得BG=m+n，∠BGN=∠BCM=∠ABC=α.所以BN=BG·sin∠BGN=（m+n）sinα，BM=BC·sin∠BCM=msinα.

所以MN=BN-BM=nsinα.

所以S△BDF=S梯形CDFG+S△BCD-S△BGF

=12（CD+GF）·MN+12CD·BM-12FG·BN=12（m+n）·nsinα+12m·msinα-12n·（m+n）sinα=12m2sinα.

由此可知，陰影部分的面積與菱形ECGF的邊長(zhǎng)沒(méi)有關(guān)系，只與菱形ABCD的邊長(zhǎng)及菱形內(nèi)角的大小有關(guān).特別地，當(dāng)菱形變?yōu)檎叫螘r(shí)，∠ABC=90°，此時(shí)陰影部分的面積為12m2.

在中，若連接AG、GE、AE，得到△AEG，這個(gè)三角形的面積是不是也只與其中一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)及菱形的內(nèi)角有關(guān)呢？

如，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長(zhǎng)分別為m和n，∠ABC=α，點(diǎn)B、C、G在同一直線上，點(diǎn)C、D、E在同一直線上，連接AG、GE、AE，求△AEG的面積.

解析如，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥AB，垂足為點(diǎn)N，GN交CE于點(diǎn)M.

根據(jù)已知，易求得BG=m+n，∠ECG=∠ABC=α.

所以GN=BG·sin∠ABC=（m+n）sinα，GM=CG·sin∠ECG=nsinα.

所以MN=GN-GM=msinα.

所以S△AEG=S梯形ABCE+S△CEG-S△ABG

=12（AB+CE）·MN+12CE·GM-12AB·GN=12（m+n）·msinα+12n·nsinα-12m·（m+n）sinα=12n2sinα.

由此可知，△AEG的面積與菱形ABCD的邊長(zhǎng)沒(méi)有關(guān)系，只與菱形ECGF的邊長(zhǎng)及菱形內(nèi)角的大小有關(guān).特別地，當(dāng)菱形變?yōu)檎叫螘r(shí)，∠ABC=90°，此時(shí)△AEG的面積為12n2.

2.22“共頂菱形”圖形中的線段關(guān)系

根據(jù)菱形的性質(zhì)“菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角”及“共頂菱形”圖形中兩個(gè)菱形的特殊位置關(guān)系，可從公共頂點(diǎn)出發(fā)連接兩條對(duì)角線，形成一個(gè)直角.一方面，可以命制與勾股定理或菱形面積有關(guān)的試題，另一方面，可引入圓，命制與90°的圓周角有關(guān)的試題.

2.3以幾何模型中有關(guān)幾何量之間的關(guān)系為對(duì)象命制試題

2.31以“共頂菱形”圖形中的面積關(guān)系為對(duì)象命制幾何試題

由以上發(fā)現(xiàn)的有趣結(jié)論，可命制出類似的幾何試題.

例2如，四邊形ABCD和四邊形ECGF都是菱形，點(diǎn)B、C、G在同一直線上，點(diǎn)C、D、E在同一直線上，以點(diǎn)C為圓心，以CG的長(zhǎng)為半徑畫弧EG，連接AG、AE，已知菱形ECGF的邊長(zhǎng)為5，∠ABC=60°，求圖中陰影部分的面積.

解法提示設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為m.

根據(jù)已知，易求得，梯形ABCE的高為msin60°=32m，△ABG的邊AB上的高為（m+5）sin60°=32（m+5），S△ABG=12×m（m+5）sin60°=34m（m+5），S扇形CEG=60π×52360=256π，S梯形ABCE=12×（m+5）×32m=34m（m+5）.由S陰影=S梯形ABCE+S扇形CEG-S△ABG易知，S陰影=256π.

命題意圖本題主要考查菱形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、三角形及梯形面積的求法、扇形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，由于圖中陰影部分不是規(guī)則圖形，故需利用三角形、梯形、扇形等特殊圖形的面積表示陰影部分的面積，這是求不規(guī)則圖形面積的常用方法.圖中陰影部分的面積只與菱形ECGF的邊長(zhǎng)及菱形中較小的內(nèi)角有關(guān)，與菱形ABCD的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)，但為了解題方便，還需設(shè)出菱形ABCD的邊長(zhǎng)，故而本題也考查了“設(shè)而不求”的解題方法.

例3如，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長(zhǎng)分別為3和5，點(diǎn)B、C、G在同一直線上，點(diǎn)C、D、E在同一直線上，以點(diǎn)D為圓心，以AD的長(zhǎng)為半徑畫弧AC，連接AF、CF，已知∠ABC=60°，求圖中陰影部分的面積.

解法提示如，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB，垂足為N，NC的延長(zhǎng)線交FG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則CM⊥FM.根據(jù)已知，易求得CN=BC·sin60°=332，CM=CG·sin60°=532，MN=43.所以S菱形ABCD=AB·CN=932，S△CFG=12FG·CM=2534，S扇形ADC=60π×32360=3π2，S梯形ABGF=12（AB+FG）·MN=163.

所以S陰影=S梯形ABGF-S△CFG-（S菱形ABCD-S扇形ADC）

=163-2534-（932-3π2）

=2134+3π2.

命題意圖本題主要考查菱形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、三角形及梯形面積的求法、扇形面積公式等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生靈活運(yùn)用三角形、梯形、扇形等特殊圖形的面積求陰影部分面積的能力.

對(duì)以上圖形可做進(jìn)一步變化，得到一系列新圖形，利用這些圖形可命制一系列試題，限于篇幅，這里不再贅述，請(qǐng)讀者自行設(shè)計(jì).

如果將以上圖形放置于平面直角坐標(biāo)系中，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，可以命制出立意新穎、內(nèi)涵豐富的規(guī)律探索問(wèn)題，這類問(wèn)題對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)具有很好的作用.

例4如，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)不等的菱形依次排列，每個(gè)菱形都有一個(gè)頂點(diǎn)落在函數(shù)y=33x的圖像上，且菱形中有一個(gè)內(nèi)角為60°，從左向右第3個(gè)菱形中的一個(gè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，3），陰影三角形部分的面積從左向右依次記為S1，S2，S3，…，Sn.若Sn=k24n-8（n為正整數(shù)），求k的值.

解法提示因?yàn)楹瘮?shù)y=33x的圖像與x軸的夾角為30°，所以直線y=33x與菱形的邊圍成的三角形是底角為30°的等腰三角形.因?yàn)锳（8，3），所以第三個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為23，第二個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為3，第一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為32.由此規(guī)律可知，第n個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為32·2n-1，第2n-1個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為32·22n-2.Sn為第2n個(gè)與第2n-1個(gè)菱形中的陰影部分，由“共頂菱形”圖形中的面積關(guān)系可知，Sn=12（32·22n-2）2·sin60°=33·24n-8，又因?yàn)镾n=k24n-8，所以k=33.

命題意圖本題將“共頂菱形”圖形放置于平面直角坐標(biāo)系中，以規(guī)律探索題的形式主要考查菱形的性質(zhì)、三角形的面積、一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，具有很強(qiáng)的探索性.本題主要考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，可作為數(shù)學(xué)競(jìng)賽之用.

類似于，將～5放置于平面直角坐標(biāo)系中，還可命制一系列規(guī)律探索問(wèn)題，請(qǐng)讀者自行設(shè)計(jì)，這里從略.如果將中的菱形特殊化為正方形，可以命制出一系列立意新穎、內(nèi)涵豐富的規(guī)律探索問(wèn)題，這類問(wèn)題對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)具有很好的作用.

例5（2014年江蘇鹽城）如，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)不等的正方形依次排列，每個(gè)正方形都有一個(gè)頂點(diǎn)落在函數(shù)y=x的圖像上，從左向右第3個(gè)正方形中的一個(gè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，4），陰影三角形部分的面積從左向右依次記為S1，S2，S3，…，Sn，則Sn的值為.（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）

解析因?yàn)楹瘮?shù)y=x與x軸的夾角為45°，所以直線y=x與正方形的邊圍成的三角形是等腰直角三角形.因?yàn)锳（8，4），所以第四個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為8，第三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為4，第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2，第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1.由此規(guī)律可知，第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2n-1，第2n-1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為22n-2.Sn為第2n個(gè)與第2n-1個(gè)正方形中的陰影部分，由“共頂菱形”圖形中的面積關(guān)系可知，Sn=12（22n-2）2=24n-5.

點(diǎn)評(píng)本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的面積、一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，依次求出各正方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于求出陰影Sn所在的正方形和正方形的邊長(zhǎng).

改變中陰影三角形的位置，可得到，由此可編擬如下試題：

例6如，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)不等的正方形依次排列，每個(gè)正方形都有一個(gè)頂點(diǎn)落在函數(shù)y=x的圖像上，從左向右第3個(gè)正方形中的一個(gè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，4），陰影三角形部分的面積從左向右依次記為S1，S2，S3，…，Sn，則Sn的值為.（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）

解法提示由例5知，第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2n-1.Sn為第n個(gè)與第n+1個(gè)正方形中的陰影部分，由“共頂菱形”圖形中的面積關(guān)系可知，Sn=12（2n-1）2=22n-3.

改變中陰影三角形的構(gòu)造方式，可得到如下試題.

例7如，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)不等的正方形依次排列，每個(gè)正方形都有一個(gè)頂點(diǎn)落在函數(shù)y=x的圖像上，從左向右第3個(gè)正方形中的一個(gè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，4），陰影三角形部分的面積從左向右依次記為S1，S2，S3，…，Sn，則Sn的值為.（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）

解法提示由例5可知，第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2n-1，第n+1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2n.Sn為與第n個(gè)和第n+1個(gè)正方形相關(guān)的陰影部分，由“共頂菱形”圖形中的面積關(guān)系可知，Sn=12（2n）2=22n-1.

命題意圖以上兩例均以“共頂菱形”圖形為模型，將模型中的菱形通過(guò)特殊化策略轉(zhuǎn)化為正方形，再借助于平面直角坐標(biāo)系，以規(guī)律探索題的形式主要考查正方形的性質(zhì)、三角形的面積、一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，具有很強(qiáng)的探索性.通過(guò)規(guī)律探索活動(dòng)，不僅可以考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，而且可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).要正確解答以上試題，一方面要理清圖中陰影部分的面積與正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系；另一方面要能夠用含有n的代數(shù)式表示這一系列正方形的邊長(zhǎng)，這兩個(gè)方面是解決本題的關(guān)鍵所在，也是本題考查的重點(diǎn)之處.

對(duì)～9可進(jìn)一步變化，得到一系列新圖形，由此也可命制一系列規(guī)律索問(wèn)題，請(qǐng)讀者自行設(shè)計(jì)，此處從略.

在“共頂菱形”圖形中，除了上述面積關(guān)系之外，“共頂菱形”圖形中的線段關(guān)系也頗為有趣，以這些線段為對(duì)象也可命制出內(nèi)涵豐富的幾何試題，這些試題可作為中考或競(jìng)賽之用.

2.32以“共頂菱形”圖形中的線段關(guān)系為對(duì)象命制的幾何試題

例8如0，四邊形ABCD和四邊形ECGF都是菱形，點(diǎn)B、C、G在同一直線上，點(diǎn)C、D、E在同一直線上，連接AF，點(diǎn)H是線段AF的中點(diǎn)，連接CH.求證：CH=12AF.

證明如0，連接AC、CF.因?yàn)樗倪呅蜛BCD和四邊形ECGF都是菱形，所以AC平分∠BCD，CF平分∠ECG.

又因?yàn)辄c(diǎn)B、C、G在同一直線上，所以∠ACF=12（∠BCD+∠ECG）=90°，所以△ACF是直角三角形.因?yàn)辄c(diǎn)H是線段AF的中點(diǎn)，所以CH=12AF.

命題意圖本題以“共頂菱形”圖形為模型，主要考查兩方面的知識(shí)，一是菱形的性質(zhì)：菱形的每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；二是直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.通過(guò)本題的證明，考查學(xué)生最基本推理論證能力，需要學(xué)生具有最基本的幾何素養(yǎng).解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，然后根據(jù)已知及所學(xué)知識(shí)證明所構(gòu)造的三角形是直角三角形，這也是解答本題的難點(diǎn)之處.

01例9如1，四邊形ABCD和四邊形ECGF都是菱形，點(diǎn)B、C、G在同一直線上，點(diǎn)C、D、E在同一直線上，EG交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接AH、HF、CH.求證：點(diǎn)A、H、F三點(diǎn)在同一條直線上.

證明如1，連接AC、CF.由菱形的性質(zhì)易知，BH垂直平分線段AC，EG垂直平分線段CF，所以AH=CH，CH=FH，故AH=CH=FH.所以點(diǎn)A、C、F在以點(diǎn)H為圓心，以AH為半徑的圓上.因?yàn)樗倪呅蜛BCD和四邊形ECGF都是菱形，所以AC平分∠BCD，CF平分∠ECG.又因?yàn)辄c(diǎn)B、C、G在同一直線上，所以∠ACF=12（∠BCD+∠ECG）=90°，所以AF是⊙H的直徑，即點(diǎn)A、H、F三點(diǎn)在同一條直線上.

命題意圖本題以“共頂菱形”圖形為模型，主要考查菱形的性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)、圓周角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，考查學(xué)生最基本的幾何證明能力，本題可作為競(jìng)賽之用.

3命題感悟

3.1關(guān)注中考試題中內(nèi)涵豐富的幾何模型

歷年中考試題中有許多經(jīng)典的幾何試題，每一道試題都蘊(yùn)含著某些特定的數(shù)學(xué)思想與方法，它對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)具有很強(qiáng)的導(dǎo)向作用.教師在教學(xué)中不可無(wú)視這些課程資源的存在，不可采取對(duì)其全盤否定的態(tài)度，要善于引導(dǎo)學(xué)生探索一些優(yōu)秀試題中體現(xiàn)的幾何模型的性質(zhì)，提高學(xué)生的解題能力.學(xué)生在解題中合理地使用幾何模型，可使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，起到事半功倍的作用.教師要善于研究幾何模型的性質(zhì)，這是命制幾何試題的源頭與活水，它可以提高教師命制試題的能力.只有在熟知幾何模型的性質(zhì)的情況下，命題時(shí)才能根據(jù)學(xué)生知識(shí)水平命制出內(nèi)涵豐富的試題.因此，在教學(xué)中要多關(guān)注歷年中考試題中內(nèi)涵豐富的幾何模型，以此提升教師的命題能力.

3.2重視幾何畫板或超級(jí)畫板在命題中的應(yīng)用

幾何畫板或超級(jí)畫板不僅是作圖工具，而且它是發(fā)現(xiàn)幾何命題，驗(yàn)證幾何命題合理性的有效工具.命制幾何試題或與函數(shù)圖像有關(guān)的試題時(shí)，幾何畫板是不可或缺的作圖工具，利用幾何畫板中的“度量”功能可度量線段的長(zhǎng)度、角的大小、圖形的面積，也可利用作圖工具驗(yàn)證三點(diǎn)共線、多線共點(diǎn)等，命題者據(jù)此可判斷所命制的幾何試題是否正確，結(jié)果是否合理.在歷年中考試題中，經(jīng)常出現(xiàn)幾何圖形不規(guī)范、函數(shù)圖像錯(cuò)誤等現(xiàn)象，這都是由于命題者沒(méi)有根據(jù)試題中的數(shù)據(jù)運(yùn)用作圖工具畫圖，而是憑借經(jīng)驗(yàn)隨便畫出的圖形，影響了試題的嚴(yán)謹(jǐn)性，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)試題中所描述的圖形根本就不存在的錯(cuò)誤，如2014年湖北隨州市中考數(shù)學(xué)第9題中所描述的三角形根本不存在.

作者簡(jiǎn)介張寧，男，1979年8月生，寧夏彭陽(yáng)人，中學(xué)一級(jí)教師，中衛(wèi)市第二屆、第三屆市級(jí)骨干教師，中衛(wèi)市優(yōu)秀班主任，中衛(wèi)市優(yōu)秀教育工作者.主要從事中考數(shù)學(xué)、競(jìng)賽數(shù)學(xué)解題研究與幾何不等式研究，在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》等多家刊物發(fā)表文章近100篇，論文《聚焦一元二次方程的整數(shù)解問(wèn)題》獲寧夏第二屆優(yōu)秀教育科研成果二等獎(jiǎng).