與反比例函數(shù)有關(guān)的一個(gè)結(jié)論及應(yīng)用

秦會(huì)龍

在反比例函數(shù)有關(guān)的習(xí)題中，常出現(xiàn)與面積、反比例系數(shù)k有關(guān)的問(wèn)題.筆者探究發(fā)現(xiàn)，有一類(lèi)問(wèn)題可得到一般性結(jié)論，本文就探究這個(gè)結(jié)論及應(yīng)用.

引例

如圖1，反比例函數(shù)y=kx（k>0）的圖象與矩形ABCO的兩邊相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若E是AB的中點(diǎn)，S△BEF=2，則k的值為.（2014年遵義）

解析設(shè)E的坐標(biāo)為（a，ka），則B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2a，ka），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2a，k2a），所以BF=ka-k2a=k2a，因此S△BEF=12·a·k2a=k4，故k4=2，k=8.

發(fā)現(xiàn)結(jié)論通過(guò)上述的探究發(fā)現(xiàn)：

（1）從反比例函數(shù)上兩點(diǎn)分別向兩坐標(biāo)軸上做垂線(xiàn)，構(gòu)成矩形OABC，若其中一點(diǎn)是矩形邊的中點(diǎn)，則另一點(diǎn)是矩形另一邊的中點(diǎn).

（2）若反比例函數(shù)y=kx（k>0），如圖1，則矩形OABC的面積為2k，四個(gè)三角形的面積分別為S△OAE=S△OCF=k2，S△BEF=k4，S△OEF=3k4

應(yīng)用舉例.

1直接應(yīng)用

例1（2013年烏魯木齊）如圖2，反比例函數(shù)y=3x（x>0）的圖象與矩形OABC的邊AB、BC分別交于點(diǎn)E、F且AE=BE，則△OEF的面積的值為.

解析根據(jù)上述結(jié)論可得三角形OEF的面積為3k4=94.

2轉(zhuǎn)化應(yīng)用

例2（2013年日照）如圖3，直線(xiàn)AB交雙曲線(xiàn)y=kx（x>0）于A、B，交x軸于點(diǎn)C，B為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥x軸于M，連結(jié)OA.若OM=2MC，S△OAC=12，則k的值為.

解析過(guò)點(diǎn)A作DE∥x軸，延長(zhǎng)MB交DE于點(diǎn)E，因?yàn)锽M⊥x軸，DE∥x軸，所以∠E=∠BMC，因?yàn)椤螦BE=∠CBM，又B是AC的中點(diǎn)，所以AB=CB，所以△ABE≌△CBM.所以S△ABE=S△MBC，所以由上述結(jié)論得S△OAC=S四邊形OAEM=S矩形ODEM-S△ODA=2k-k2=3k2=12，所以k=8.

例3（2014年孝感）如圖4，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，雙曲線(xiàn)y=kx（x>0）經(jīng)過(guò)斜邊OA的中點(diǎn)C，與另一直角邊交于點(diǎn)D.若S△OCD=9，則S△OBD的值為.

解析過(guò)C作EF∥x軸，因?yàn)椤螩FO=∠CEA=90°，∠ACE=∠OCF，又C是OA的中點(diǎn)，所以CA=CO，所以△ACE≌△OCF.所以C是EF的中點(diǎn)，由上述結(jié)論可得三角形OCD的面積等于3k4=9，從而k=12，所以三角形OBD的面積等于k2=122=6.

例4（2014年臨沂）如圖5，反比例函數(shù)y=4x的圖象經(jīng)過(guò)直角三角形OAB的頂點(diǎn)A，D為斜邊OA的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式為.

解析過(guò)A作AC∥x軸，過(guò)D作EF∥x軸，則四邊形ABOC的面積為4，因?yàn)镈是OA的中點(diǎn)，容易推出F是OC的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，所以四邊形OBEF的面積為2，設(shè)過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式為y=kx，根據(jù)上述結(jié)論有四邊形OBEF的面積為2k=2，從而k=1，所以y=1x.

例5（2013年內(nèi)江）如圖6，反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖象經(jīng)過(guò)矩形OABC對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)M，分別與AB、BC交于點(diǎn)D、E，若四邊形ODBE的面積為9，則k的值為.

解析過(guò)M作GF∥y軸，由已知容易得到△AFM≌△CGM，所以M是FG的中點(diǎn)，根據(jù)上述結(jié)論可得矩形OFGC的面積為2k，因?yàn)镸是OB的中點(diǎn)，所以可得矩形OABC的面積為4k，所以四邊形ODBE的面積為4k-k2-k2=3k=9，所以k=3.

例6（2013年瀘州）如圖7，已知函數(shù)y=43x與反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖象交于點(diǎn)A.將y=43x的圖象向下平移6個(gè)單位后與雙曲線(xiàn)y=kx交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C.

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）若OACB=2，求反比例函數(shù)的解析式.

解析過(guò)A作DG∥x軸，過(guò)B作GF∥y軸，作AE⊥x軸，則△AOE∽△BCF，由于OACB=2，所以點(diǎn)B為FG的中點(diǎn)，根據(jù)上述結(jié)論A為DG的中點(diǎn)，設(shè)A的橫坐標(biāo)為a，則OE=a，CF=12a，OF=2a，OC=92，由92+12a=2a，得a=3，故A（3，4）.從而可得k=12.