基于突變理論的巖石剛性試驗(yàn)技術(shù)研究

張 磊, 劉 鈺, 黃正均, 張 棟

(北京科技大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院, 北京 100083)

基于突變理論的巖石剛性試驗(yàn)技術(shù)研究

張 磊, 劉 鈺, 黃正均, 張 棟

(北京科技大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院, 北京 100083)

根據(jù)突變理論建立巖石單軸壓縮的力學(xué)模型,并分析巖石發(fā)生突然破裂的原因,提出了對(duì)于高強(qiáng)度、高脆性的巖石試件得出全應(yīng)力應(yīng)變曲線的試驗(yàn)方法。

巖石單軸壓縮； 突變理論； 失穩(wěn)破壞； 全應(yīng)力應(yīng)變曲線

事物從狀態(tài)的一種形式突然地跳躍到根本不同的另一種形式的不連續(xù)變化,包含著突然變化的瞬間過程,稱為突變(catastrophe)[1]。突變理論以不連續(xù)現(xiàn)象為研究對(duì)象,它運(yùn)用拓?fù)鋵W(xué)、奇點(diǎn)理論和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性等數(shù)學(xué)工具,研究某種系統(tǒng)(過程)從一種穩(wěn)定狀態(tài)到另一種穩(wěn)定狀態(tài)的躍遷。突變理論用一組參數(shù)描述系統(tǒng)所處的狀態(tài),當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí),表明該系統(tǒng)狀態(tài)的某個(gè)函數(shù)取一定的值(如能量取極小或者取極大等)。當(dāng)參數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)變化、該函數(shù)值有不止一個(gè)極值時(shí),系統(tǒng)必然就處于不穩(wěn)定狀態(tài),而參數(shù)再略作變化,能使處于不穩(wěn)定狀態(tài)的系統(tǒng)進(jìn)入另一穩(wěn)定狀態(tài),就在這一剎那狀態(tài)發(fā)生了突變。

巖石受力破壞的過程是其內(nèi)部微破裂萌生、擴(kuò)展和斷裂的過程,這個(gè)過程本身是一種非線性的突變現(xiàn)象。長(zhǎng)期以來許多研究工作者一直致力于研究巖石峰值以后的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系,以揭示巖石峰后表現(xiàn)出的承載力及其變形特征,在這過程中得出了很多有價(jià)值的結(jié)論。目前認(rèn)為巖石力學(xué)試驗(yàn)中,巖石試件發(fā)生突然破裂的主要原因是:一是試驗(yàn)機(jī)的剛度不夠；二是試驗(yàn)機(jī)控制精度不高[2]。因此隨后就誕生了巖石伺服剛性試驗(yàn)機(jī),以解決上述的兩個(gè)問題。但是,不是所有的巖石試件通過巖石伺服剛性試驗(yàn)機(jī)都可以得出巖石的全應(yīng)力-應(yīng)變曲線,如果巖石表現(xiàn)出高強(qiáng)度、高脆性時(shí),全應(yīng)力-應(yīng)變曲線就不易得出[3]。本文根據(jù)突變理論建立了巖石單軸壓縮的力學(xué)模型,并分析巖石發(fā)生突然破裂的原因,同時(shí)提出了對(duì)于高強(qiáng)度,高脆性的巖石試件得出全應(yīng)力應(yīng)變曲線的試驗(yàn)方法。

1 尖點(diǎn)突變理論模型

尖點(diǎn)突變模型標(biāo)準(zhǔn)的勢(shì)函數(shù)為

(1)

式中,x為狀態(tài)變量；p和q為控制變量。

當(dāng)勢(shì)函數(shù)V(x)的一階導(dǎo)數(shù)為零時(shí)有

(2)

式(2)為系統(tǒng)的平衡方程,如圖1所示,這是一個(gè)具有光滑折痕的曲面,其上一點(diǎn)代表所研究系統(tǒng)的一種平衡狀態(tài)。對(duì)勢(shì)函數(shù)V(x)求二階導(dǎo)數(shù)有

(3)

在圖1中曲面上葉和下葉上,滿足V″(x)>0,即系統(tǒng)勢(shì)能取極小值,則平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的；在曲面的中葉上V″(x)<0,即系統(tǒng)勢(shì)能取極大值,則平衡狀態(tài)是非穩(wěn)定的。

圖1 尖點(diǎn)突變理論模型

4p3+27q2=0

(4)

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)處于下葉時(shí),狀態(tài)穩(wěn)定,隨著外界載荷的進(jìn)一步作用,系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入中葉,當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)一步發(fā)展時(shí),達(dá)到平衡臨界點(diǎn)時(shí),系統(tǒng)就會(huì)發(fā)生突然跳躍直接到達(dá)下葉,即系統(tǒng)失穩(wěn)破壞[1,4-5]。

2 巖石單軸壓縮尖點(diǎn)突變理論模型的建立

巖石單軸壓縮試驗(yàn)在加載系統(tǒng)作用下的破裂過程,除了在特殊的控制條件下進(jìn)行外,通常都不是一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài),在更多的情況下是由穩(wěn)態(tài)發(fā)展到失穩(wěn)的過程[6-8],運(yùn)用突變理論可以很好地描述巖石單軸壓縮過程中的失穩(wěn)現(xiàn)象。

對(duì)巖石單軸壓縮試驗(yàn)加載過程進(jìn)行分析并建立相應(yīng)的力學(xué)模型,載荷R和變形u′的本構(gòu)關(guān)系可寫為[9]

(5)

系統(tǒng)整體的勢(shì)函數(shù)V是系統(tǒng)的總能量，有

(6)

式中:k為試驗(yàn)機(jī)的剛度；a為系統(tǒng)的全位移。

求解上述定積分，有

(7)

式中:u1為巖石試件載荷-變形曲線中載荷軟化的拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位移；λ1為巖石試件載荷-變形曲線中載荷軟化的拐點(diǎn)處的斜率。令:

那么式(7)可以寫為尖點(diǎn)突變的標(biāo)準(zhǔn)勢(shì)函數(shù)形式為

(8)

對(duì)式(8)求導(dǎo),可以得出尖點(diǎn)突變模型的平衡方程為

4x3+2ux+v=0

(9)

奇點(diǎn)集為

12x2+2u=0

(10)

上述各式中,u、v是控制變量,可以控制和決定系統(tǒng)的演化過程和演化途徑。

從圖1中可以看出,系統(tǒng)得到的平衡曲面是一個(gè)折疊的曲面,其折疊或尖點(diǎn)的集合稱為奇點(diǎn)集,奇點(diǎn)集在u-v平面上的投影稱為分叉集,消去式中的x,可以得出分叉集的方程為

8u3+27v2=0

(11)

分叉集為一半立方拋物線。分叉集上的任意點(diǎn)(u,v)對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的某個(gè)臨界狀態(tài)。從圖2中可以看出,只要控制變量u<0,系統(tǒng)從一種狀態(tài)演化到另一種狀態(tài)、穿過分叉集曲線時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)將發(fā)生一個(gè)突跳,即巖石發(fā)生突然的破裂。那么系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)破壞的條件是:試驗(yàn)機(jī)的剛度小于巖石試件載荷-變形曲線中載荷軟化的拐點(diǎn)處的斜率[10-12],即:

(12)

圖2 巖石單軸壓縮尖點(diǎn)突變理論模型

3 巖石單軸壓縮剛性試驗(yàn)

普通的力學(xué)試驗(yàn)機(jī)是由加載架、液壓系統(tǒng)和測(cè)量系統(tǒng)組成,長(zhǎng)期以來大多數(shù)巖塊的變形與強(qiáng)度性質(zhì)的試驗(yàn)都靠普通試驗(yàn)機(jī)來完成。但在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn),在進(jìn)行巖石力學(xué)試驗(yàn)時(shí),當(dāng)達(dá)到巖石峰值強(qiáng)度的瞬間,往往會(huì)發(fā)生巖石試件“爆裂”現(xiàn)象,以至于很難測(cè)得接近或達(dá)到峰值時(shí)的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系,更無法獲得峰值以后的信息。巖石試件發(fā)生“爆裂”現(xiàn)象主要是:(1)試驗(yàn)機(jī)的剛度比巖石試件的剛度??；(2)當(dāng)巖石發(fā)生破裂承載力下降時(shí)試驗(yàn)機(jī)不能主動(dòng)“讓壓”。

目前巖石力學(xué)試驗(yàn)克服巖石試件發(fā)生“爆裂”的途徑是:提高試驗(yàn)機(jī)的剛度及伺服控制試件的變形。

巖石在加載過程中試驗(yàn)機(jī)儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為

(13)

式中，k為試驗(yàn)機(jī)的剛度，um為試驗(yàn)機(jī)自身位移，P為載荷(kW)。

巖石在加載過程中試件儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為

(14)

式中kr為巖石的剛度。

在普通試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行巖石力學(xué)試驗(yàn)時(shí)可以看出Em>Er,在巖石試件破裂的瞬間,巖石試件的承載能力降低,同時(shí)其彈性勢(shì)能也伴隨裂紋的擴(kuò)張、聲響、震動(dòng)和熱能而消耗掉；但試驗(yàn)機(jī)的彈性勢(shì)能并沒有消散,它會(huì)完全釋放給巖石試件,使得巖石試件吸收比自身的彈性勢(shì)能大出很多倍的勢(shì)能,使得巖石試件不能承受這么大的彈性勢(shì)能,因此發(fā)生“爆裂”現(xiàn)象。

如果提高試驗(yàn)機(jī)的剛度,即km→,那么試驗(yàn)機(jī)在加載的過程中自身儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能就很小,即

(15)

在巖石試件破裂的瞬間,試驗(yàn)機(jī)不會(huì)釋放彈性勢(shì)能或釋放很少的彈性勢(shì)能給巖石試件,這時(shí)巖石試件就不會(huì)發(fā)生“爆裂”現(xiàn)象。巖石單軸壓縮全應(yīng)力-應(yīng)變曲線見圖3，圖中應(yīng)變?yōu)檩S向應(yīng)變。

圖3 巖石單軸壓縮全應(yīng)力-應(yīng)變曲線

但是對(duì)于脆性指標(biāo)很高和強(qiáng)度很高的巖石試件來說,全應(yīng)力應(yīng)變曲線就不是那么容易得出了。因?yàn)閗→只是一種理想狀態(tài),剛性試驗(yàn)機(jī)的剛度可以很大,但其剛度不會(huì)達(dá)到無窮大。剛性試驗(yàn)機(jī)的剛度一般在7～10 GN/m之間,在試驗(yàn)過程中,試驗(yàn)機(jī)還是會(huì)儲(chǔ)存一部分彈性勢(shì)能,如果巖石試件表現(xiàn)出極強(qiáng)的脆性,那么巖石試件就有可能發(fā)生“爆裂”現(xiàn)象。

針對(duì)高強(qiáng)度、高脆性的巖石在單軸壓縮試驗(yàn)過程中易發(fā)生“爆裂”現(xiàn)象,作者認(rèn)為可以采用在峰后主動(dòng)卸載的方法得出其全應(yīng)力-應(yīng)變曲線。因?yàn)樵趲r石達(dá)到峰值時(shí),巖石內(nèi)部已經(jīng)發(fā)生了大量的損傷現(xiàn)象,產(chǎn)生了一些裂隙；這時(shí)進(jìn)行卸載將巖石的應(yīng)變能釋放一些,然后再加載,巖石會(huì)沿卸載的應(yīng)力應(yīng)變路徑的上方行進(jìn),留下一個(gè)應(yīng)力滯回環(huán),最后穿過卸載應(yīng)力應(yīng)變路徑,但由于巖石已經(jīng)發(fā)生了損傷,再次加載時(shí)巖石試樣的彈性模量會(huì)降低,強(qiáng)度不可能達(dá)到卸載點(diǎn)的強(qiáng)度,在低于卸載點(diǎn)的載荷值時(shí)巖石繼續(xù)發(fā)生破裂。巖石試件的卸載和加載過程不但可以降低巖石的脆性指標(biāo),還可以降低其λ1值,可以得出巖石的全應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線。

該試驗(yàn)是在巖石力學(xué)實(shí)驗(yàn)室的GAW-2000巖石剛性試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行的巖石峰后卸載試驗(yàn)。試驗(yàn)方法為:在峰值前的線彈性階段采用應(yīng)力控制,速率為500 N/s；達(dá)到屈服后采用應(yīng)變控制,速率為0.01 MM/Min；峰后采用應(yīng)變控制,速率為0.006 MM/Min；在卸載點(diǎn)主動(dòng)采用應(yīng)力控制卸載,速率為800 N/s；將載荷卸至零點(diǎn)，然后再加載,加載方式和峰值前的方式一致；當(dāng)巖石試件再次發(fā)生破裂后再進(jìn)行卸載控制,方式同前；直到得出巖石的全應(yīng)力-軸向應(yīng)變曲線,見圖4。

4 結(jié)論

(1) 根據(jù)突變理論建立了巖石單軸壓縮的力學(xué)模型,并分析巖石發(fā)生突然破裂的失穩(wěn)破壞條件是:試驗(yàn)機(jī)的剛度小于巖石試件載荷-變形曲線中載荷軟化的拐點(diǎn)處的斜率,即:K≤λ1；

圖4 巖石峰后卸載的全應(yīng)力-應(yīng)變曲線

(2) 巖石試件發(fā)生“爆裂”現(xiàn)象主要是:①試驗(yàn)機(jī)的剛度比巖石試件的剛度?。虎诋?dāng)巖石發(fā)生破裂承載力下降時(shí),試驗(yàn)機(jī)不能主動(dòng)“讓壓”。

(3) 針對(duì)高強(qiáng)度、高脆性的巖石在單軸壓縮試驗(yàn)過程中易發(fā)生“爆裂”現(xiàn)象,可以采用在峰后主動(dòng)卸載的方法，以降低巖石的脆性指標(biāo)和λ1值,可以得出巖石的全應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線。

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Research on rock rigidity test technology based on catastrophe theory

Zhang Lei, Liu Yu, Huang Zhengjun, Zhang Dong

(School of Civil and Environmental Engineering, Beijing University of Science and Technology, Beijing 100083, China)

The state of things suddenly shifts from one form to a completely different form,this discontinuous change includes a sudden change of instantaneous process which is called catastrophe. The failure process of rock itself is a kind of nonlinear phenomenon of catastrophe. A mechanics model of rock uniaxial compression is established,and the cause of rock burst is analysed. This paper puts forward a test method in order to obtain the complete stress-strain curve of the high strength and high brittleness rock at the same time.

rock uniaxial compression; catastrophe theory; instable failure; complete stress-strain curve

2015- 05- 13

張磊(1981—)，男，河北徐水，碩士，工程師，研究方向?yàn)閹r土工程.

E-mail：13810174099@163.com

TU45

A

1002-4956(2015)10- 0046- 03