直觀圖示：一種有張力的思維輔助

魏芳

大量研究表明，學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的差異，在很大程度上取決于學(xué)生能否將抽象的數(shù)學(xué)概念與直觀的圖示連結(jié)起來，取決于能否把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題與簡(jiǎn)單的直觀圖示溝通起來。筆者在日常的教學(xué)實(shí)踐中，也發(fā)現(xiàn)了這樣的現(xiàn)象：數(shù)學(xué)思維能力強(qiáng)的學(xué)生，往往能自如地借助直觀形象的圖示來分析思考，努力尋找數(shù)學(xué)問題的解決入口，他們的分析與溝通能力較強(qiáng)，數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗(yàn)也更豐富。

布魯納關(guān)于兒童智力發(fā)展的研究表明，兒童的認(rèn)知發(fā)展須要經(jīng)歷三個(gè)發(fā)展階段：動(dòng)作認(rèn)知、圖形認(rèn)知和符號(hào)認(rèn)知。這三個(gè)發(fā)展階段對(duì)應(yīng)著兒童思維發(fā)展的三種水平：操作水平、表象水平和分析水平。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分尊重學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，借助多種直觀形象、具體可感的輔助手段，為學(xué)生的思維發(fā)展由操作水平逐步走向分析水平鋪路架橋。希爾伯特在《幾何直觀》一書中談到：圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述和研究問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果。借助直觀圖示，可以幫助學(xué)生化抽象為具體、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，助推學(xué)生的思維發(fā)展。

一、 直觀圖示，讓數(shù)的意義建構(gòu)更準(zhǔn)確

小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展以動(dòng)作認(rèn)知為起點(diǎn)，但圖形認(rèn)知和符號(hào)認(rèn)知也正在逐步發(fā)展。其中圖形認(rèn)知是動(dòng)作認(rèn)知與符號(hào)認(rèn)知之間的中介，發(fā)揮好圖形認(rèn)知的媒介作用，有利于學(xué)生的認(rèn)知由動(dòng)作認(rèn)知向符號(hào)認(rèn)知發(fā)展。學(xué)生認(rèn)識(shí)抽象的數(shù)，也常常要借助形象的操作或圖示，以直觀的方式理解數(shù)的意義。

例如，在一年級(jí)認(rèn)識(shí)“20以內(nèi)的數(shù)”時(shí)，借助實(shí)物圖、圓圈圖、小棒圖、計(jì)數(shù)器等多種輔助手段，幫助學(xué)生理解“幾個(gè)就用幾來表示”和“十幾就是由1個(gè)十和幾個(gè)一組成”。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)物圖→形象的圓圈圖→抽象的數(shù)”的學(xué)習(xí)過程，逐步建立數(shù)的概念。

又如，在三年級(jí)學(xué)習(xí)“幾百幾十幾”時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生遷移前期的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，借助計(jì)數(shù)器、數(shù)位順序表等直觀的圖示，在“寫一寫，讀一讀”中理解更為復(fù)雜的數(shù)的意義，在“讀一讀，畫一畫”中內(nèi)化對(duì)數(shù)的意義的理解。

學(xué)生在學(xué)習(xí)“小數(shù)意義”時(shí)，也是通過形象直觀的圖示，溝通分?jǐn)?shù)與小數(shù)的聯(lián)系，建構(gòu)小數(shù)的本質(zhì)意義。比較小數(shù)的大小時(shí)，讓學(xué)生在數(shù)軸上找出小數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)小數(shù)的位置說明大小關(guān)系。直觀形象的圖示為學(xué)生提供了表象支撐，也為抽象概括、分析比較提供了最為直接的意義依據(jù)。

在“數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，借助直觀形象的圖示，運(yùn)用有趣又富有動(dòng)感的操作，不僅能引發(fā)學(xué)生的探索興趣，更能激起學(xué)生的積極思考與主動(dòng)建構(gòu)。在探索發(fā)現(xiàn)的過程中，強(qiáng)化動(dòng)作認(rèn)知、深化圖形認(rèn)知、促進(jìn)符號(hào)認(rèn)知，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由操作水平向表象水平和分析水平發(fā)展。

二、 直觀圖示，讓運(yùn)算的算理探索更有味兒了

學(xué)生的運(yùn)算能力是在理解算理的基礎(chǔ)上逐步形成的。在教學(xué)中，除了通過探索豐富的問題情境發(fā)展運(yùn)算的含義，還要尋求合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑和運(yùn)算方法。直觀圖示，可以具體形象地幫助學(xué)生理解運(yùn)算的算理、形成基本算法，引導(dǎo)學(xué)生的思維逐步走向數(shù)學(xué)化。

例如，學(xué)習(xí)“9加幾”時(shí)，通過實(shí)物操作初步理解“湊十”的原理，再引導(dǎo)學(xué)生開展“圈出10個(gè)，再填一填”的活動(dòng)。在活動(dòng)中，學(xué)生動(dòng)手圈一圈，再次感受到“9個(gè)和1個(gè)湊成10個(gè)，7個(gè)中圈去1個(gè)還剩6個(gè)，10加6得16”。逐步形成“湊十”的表象，為學(xué)生形成算法提供直觀形象的支撐，有利于算法的抽象。

又如，在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)加減法”時(shí)，通過涂一涂、畫一畫、比一比等方法，引導(dǎo)學(xué)生理解同分母分?jǐn)?shù)加減法的算理，具體又直觀。同時(shí)也為概括“同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，分子相加減”的計(jì)算方法提供表象支撐。

再如，“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，借助直觀的圖示可以形象地幫助學(xué)生理解其中的算理：“1里面有2個(gè)■，4里面就有8個(gè)■”，繼而把4÷■轉(zhuǎn)化成4×2。再通過“分一分”“畫一畫”等方法，進(jìn)一步探索4÷■和4÷■的計(jì)算方法，最后由學(xué)生概括算法：整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，等于整數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。

通過直觀形象的畫一畫、分一分、算一算等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生借助直觀圖示將內(nèi)隱的算理清晰地展現(xiàn)出來，使學(xué)生不僅“知其怎樣算，更知其為何這樣算。”直觀圖示，密切了算理與算法之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生的思維走向理性、深入。

三、 直觀圖示，讓數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)更有意義

數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用，也是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的重要路徑之一。在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷實(shí)際操作、直觀圖示、抽象概括等多樣的活動(dòng)，能夠充分感悟數(shù)學(xué)規(guī)律，揭示規(guī)律本質(zhì)，最終能靈活地應(yīng)用規(guī)律解決問題。

例如：小紅要去秋游，衣柜里有2件襯衣和3條裙子，她一共有多少種不同的穿法？

首先，學(xué)生通過動(dòng)手操作試一試，尋找襯衣和裙子的搭配方法；接著，啟發(fā)學(xué)生借助畫一畫的方法有序地表示出6種不同的搭配方法（如圖1）；最后，引導(dǎo)學(xué)生探索其中的規(guī)律。多樣活動(dòng)之后，學(xué)生自然積累起這樣的思考經(jīng)驗(yàn)：第1件襯衣可以配3條裙子，第2件襯衣也可以配3條裙子，一共有2個(gè)3種搭配的方法。同樣，部分學(xué)生也會(huì)這樣思考：第1條裙子可以配2件襯衣，第2條裙子可以配2件襯衣，第3條裙子也可以配2件襯衣，一共就有3個(gè)2種搭配的方法。直觀形象的圖示，把襯衣與裙子的選配過程清晰地呈現(xiàn)了出來，溝通了選配方法與乘法意義之間的聯(lián)系，搭配中的規(guī)律呼之欲出：襯衣的件數(shù)×裙子的條數(shù)=搭配方法的種數(shù)。

又如，“一條走廊長(zhǎng)24米，每隔3米放一盆花。要放多少盆花？”其中，放花的情況又可以分為三種：兩端都放、兩端都不放、一端放另一端不放。借助直觀圖示，“段數(shù)與盆數(shù)之間的規(guī)律”具體清晰地展現(xiàn)出來：

（1）兩端都放：

24÷3=8（段） 8+1=9（盆）

（2）兩端都不放：

24÷3=8（段） 8-1=7（盆）

（3）一端放另一端不放：

24÷3=8（段） 8段=8盆

通過比較與分析，學(xué)生不難找出其中的規(guī)律：兩端都放花，盆數(shù)比段數(shù)多1；兩端都不放花，盆數(shù)比段數(shù)少1；一端放另一端不放，盆數(shù)等于段數(shù)。形象而直觀的圖示，不僅使學(xué)生理解了“擺花”的三種情況，即規(guī)律所蘊(yùn)含的本質(zhì)內(nèi)涵，也使學(xué)生真切感受到畫圖在探索規(guī)律中的作用，為后續(xù)的應(yīng)用積累了借助圖示思考的經(jīng)驗(yàn)。直觀圖示能為抽象概括規(guī)律提供最直接的橋梁，使抽象的數(shù)學(xué)問題形象化，使學(xué)生能真正理解規(guī)律的本質(zhì)，并能運(yùn)用規(guī)律來解決問題。

四、 直觀圖示，讓數(shù)量關(guān)系更清晰明

學(xué)生解決問題的關(guān)鍵，是要建立已知條件與所求問題之間的聯(lián)系，而很多實(shí)際問題中條件與問題之間的關(guān)系并不直接相關(guān)，這就要求學(xué)生具有一定的分析能力，尋找隱藏于條件中的相關(guān)因素。直觀圖示就是非常好的輔助手段，往往能幫助學(xué)生找到條件與問題之間的聯(lián)系，從而利于學(xué)生思考解答。正如信息加工理論的學(xué)者所言：有了正確的表征，問題就已經(jīng)解決了一半。

例如：小軍和小剛共摘蘋果96個(gè)，其中小軍摘的數(shù)量是小剛的3倍。請(qǐng)問小軍比小剛多摘多少個(gè)蘋果？

對(duì)于三年級(jí)的學(xué)生來說，這樣的問題具有一定的難度。因?yàn)橐蟆靶≤姳刃偠嗾嗌賯€(gè)蘋果，先要知道小軍和小剛分別摘多少個(gè)蘋果”?？墒穷}目中兩者都是未知的，只有“小軍和小剛摘蘋果的總數(shù)”，和“他們摘蘋果數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系”。能否在這兩個(gè)條件之間建立聯(lián)系就成了解決問題的關(guān)鍵。通過畫示意圖，數(shù)量之間的關(guān)系一目了然：

根據(jù)線段圖，數(shù)量之間的關(guān)系逐漸清晰：96個(gè)蘋果對(duì)應(yīng)著“1+3=4份”，“96÷4=24個(gè)”就是其中一份的個(gè)數(shù)，也就是小剛的個(gè)數(shù)，“24×3=72個(gè)”是小軍的個(gè)數(shù)，“72-24=48個(gè)”就是小軍比小剛多的個(gè)數(shù)。通過觀察直觀的線段圖，有的學(xué)生還發(fā)現(xiàn)：小軍比小剛多的個(gè)數(shù)，就是其中2份的個(gè)數(shù)，所以還可以直接用“24×2=48個(gè)”來解答。正是由于直觀圖示的幫助，學(xué)生才能夠正確地溝通問題與條件之間的本質(zhì)聯(lián)系，使看似無從下手的問題變得可以捉摸，也使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化。

應(yīng)用直觀圖示的策略，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)來說是非常重要的。隨著年級(jí)的升高，解決問題經(jīng)驗(yàn)的積累，學(xué)生會(huì)逐漸感受到直觀圖示的價(jià)值。它不僅可以幫助學(xué)生溝通相關(guān)條件與問題之間的聯(lián)系，同時(shí)也能把一些隱含的關(guān)系層層凸顯出來，助推學(xué)生順利地解決數(shù)學(xué)問題。

五、 直觀圖示，讓知識(shí)體系的架構(gòu)更完整

維果茨基認(rèn)為，學(xué)習(xí)的本質(zhì)是以模仿為基礎(chǔ)的溝通過程；在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)框架內(nèi)，模仿并不是消極的，它同樣具有建構(gòu)的意義。數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展遵循由易到難、由淺入深的原則，在教學(xué)某一類數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，注重知識(shí)發(fā)生發(fā)展的來龍去脈，側(cè)重于橫向化。隨著年級(jí)的升高，某一類數(shù)學(xué)知識(shí)又會(huì)逐步深化，就要逐步關(guān)注縱向的數(shù)學(xué)化。缺乏系統(tǒng)溝通，數(shù)學(xué)知識(shí)就像一盤散沙，無法提升，也無法靈活應(yīng)用。

例如，在平面圖形面積計(jì)算的復(fù)習(xí)中，可以組織學(xué)生對(duì)已經(jīng)學(xué)過的長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形、三角形等的面積計(jì)算方法進(jìn)行縱向梳理，邊借助直觀圖示邊回憶面積計(jì)算的方法，通過結(jié)構(gòu)圖把所學(xué)平面圖形的面積計(jì)算方法進(jìn)行有序的溝通，揭示相關(guān)圖形面積計(jì)算之間的聯(lián)系與區(qū)別。

又如，在復(fù)習(xí)長(zhǎng)度單位之間的進(jìn)率時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生溝通已學(xué)單位之間的關(guān)系，用形象直觀的圖示梳理，幫助學(xué)生厘清相關(guān)單位間的進(jìn)率，建構(gòu)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。借助直觀圖示梳理長(zhǎng)度單位的經(jīng)驗(yàn)，又將存在于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)中，推廣至面積單位、體積單位間的進(jìn)率結(jié)構(gòu)中。

直觀圖示，有時(shí)可以是廖廖幾筆，也可以是圈圈畫畫；有時(shí)是橫向梳理，也可以是縱向架構(gòu)。多樣的方法不僅可以使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化，也可以使抽象的算理形象化，更可以把內(nèi)隱的規(guī)律外顯化。直觀圖示的輔助，能夠幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，獲得真正的數(shù)學(xué)理解，繼而積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】