引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)由原理到形式的數(shù)學(xué)推演

【摘要】 從形式到原理是歸納的過程，從原理到形式是演繹的過程，引導(dǎo)學(xué)生來回體驗(yàn)，能夠幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念. 聚合思維和發(fā)散思維能夠助力從原理到形式的推演教學(xué).

【關(guān)鍵詞】 原理；形式；推演；聚合思維；發(fā)散思維

數(shù)學(xué)原理是數(shù)學(xué)學(xué)科具有普遍適用意義的基本規(guī)律性概念. 它是學(xué)科探索者們?cè)谟^察了大量數(shù)學(xué)現(xiàn)象、研究大量的數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)上提煉出來的本質(zhì)認(rèn)識(shí). 由于學(xué)生個(gè)人數(shù)學(xué)能力的限制，并不一定能夠完全理解這些原理，或者不能夠游刃有余地在實(shí)踐中運(yùn)用. 因此，帶領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)原理到形式的推演轉(zhuǎn)化過程，掌握其經(jīng)緯脈絡(luò)就顯得尤為重要. 如何實(shí)施呢？這得從數(shù)學(xué)建模的原理說起. 數(shù)學(xué)建模的原理指“系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即用數(shù)學(xué)式子來描述所研究的客觀對(duì)象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律”. 換句話說，數(shù)學(xué)符號(hào)以及相應(yīng)的其他數(shù)學(xué)語(yǔ)言也就代表著數(shù)學(xué)原理，這樣的形式易于理解、運(yùn)用. 所以，數(shù)學(xué)建模的過程包含著從原理到形式的推演轉(zhuǎn)化，這即是一種變式教學(xué)，便于引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、層面，全面、立體地審視數(shù)學(xué)原理，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)原理的徹底的解讀，掌握數(shù)學(xué)原理的本質(zhì)和運(yùn)用要訣.

考察數(shù)學(xué)原理的歸納、提煉的過程，我們便可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)原理總是從不同方向、不同角度、不同材料或信息的綜合研究得出的結(jié)論性概念，也就是聚集所有的思考方向、角度和依據(jù)的材料或信息的基礎(chǔ)上獲得的. 這是一個(gè)去粗存精、去偽存真、求同存異的思維之旅. 所以，通過探察數(shù)學(xué)原理的獲得途徑，我們便可以找到推演的形式.

毫無(wú)疑問，我們從中可以發(fā)現(xiàn)，由原理推演到具體的表述形式，其實(shí)就是將數(shù)學(xué)原理的獲得的條件、途徑顛倒過來，看看我們得出的數(shù)學(xué)原理是否合乎先前的特點(diǎn). 這牽涉到發(fā)散思維的運(yùn)用.

如何以數(shù)學(xué)原理為圓點(diǎn)，實(shí)施推演呢？發(fā)散思維原理為我們的教學(xué)提供了一個(gè)有力的支持. 一旦我們激活了學(xué)生的發(fā)散思維意識(shí)，那么，學(xué)生就會(huì)以現(xiàn)有的認(rèn)知激活舊有的認(rèn)知，并且根據(jù)數(shù)學(xué)原理獲得的過程體驗(yàn)，從中抽象出不同形式的推演路徑，學(xué)習(xí)的興趣也會(huì)隨之高漲起來.

請(qǐng)看下面對(duì)得出“同圓與等圓中，圓心角與其所對(duì)的弧、弦之間相等”的原理的歸納：

歸納一：（1）如圖1，在兩張透明紙上，分別做半徑相等的⊙O1和⊙O2；（2）在⊙O1和⊙O2中，分別做相等的圓心角∠AOB、∠A′O′B′，連接AB、A′B′；（3）將兩張紙片疊在一起，使⊙O1和⊙O2重合；（4）固定圓心，將其中一個(gè)圓旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度，使得OA與O′A′重合；（5）按照此法請(qǐng)你演示一下在兩個(gè)等圓內(nèi)做類似的活動(dòng)；（6）通過這兩次演示，你發(fā)現(xiàn)了什么？

歸納二：如圖2，在⊙O中分別做相等的圓心角∠AOB、∠A′O′B′，連接AB，A′B′，求證：AB = A′B′，■ = ■.

分析 這兩個(gè)歸納的過程可稱為演示性歸納，我們從中可以獲得推導(dǎo)出結(jié)論的兩個(gè)必要條件：（1）同圓或等圓；（2）兩個(gè)弧或弦所對(duì)應(yīng)的圓心角必須相等. 離開了這兩個(gè)條件則結(jié)論不成立. 那么，我們就可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用演繹的方法，從這個(gè)即定結(jié)論中推導(dǎo)出具體的表現(xiàn)形式，并且進(jìn)一步運(yùn)用這一結(jié)論解決數(shù)學(xué)問題.

由此，我們可以轉(zhuǎn)化為：

推演一：同圓內(nèi)，從圓心出發(fā)任意作出兩個(gè)圓心角，如果它們對(duì)應(yīng)的邊或弦相等，那么，它們的圓心角必然相等.

分析：這是由原理推演出條件（2）中的圓心角之間的關(guān)系，使該關(guān)系成為推演形式的結(jié)論. 轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)，即：⊙O內(nèi)，AB = A′B′，■ = ■. 那么∠AOB = ∠A′OB′.

推演二：同圓內(nèi)，從圓心出發(fā)任意作出兩個(gè)圓心角，如果它們對(duì)應(yīng)的弦相等，那么，它們對(duì)應(yīng)的邊也必然相等.

分析 這是由原理推演出條件（2）中的圓心角對(duì)應(yīng)的邊的關(guān)系，使該關(guān)系成為推演原理的條件. 轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)，即：⊙O內(nèi)，■ = ■. 那么，求證：AB = A′B′.

推演三：如果兩個(gè)圓中，分別有兩個(gè)圓心角. 已知它們分別對(duì)應(yīng)的邊或弦相等，能否得出這兩個(gè)圓心角相等的結(jié)論.

推演四：如果兩個(gè)圓中，分別有兩個(gè)圓心角. 已知它們的半徑相等，能否得出這兩個(gè)圓心角分別對(duì)應(yīng)的邊或弦相等的結(jié)論.

……

上例推演形式中，除了運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)，做正常的從原理到形式的推演之外，還從結(jié)論推導(dǎo)兩個(gè)圓心角是否是相等的內(nèi)容，這便是運(yùn)用了逆向思維，將結(jié)論轉(zhuǎn)化為條件，將條件轉(zhuǎn)為結(jié)論，也就是將判斷原命題的逆命題的正確性，進(jìn)而確切解讀數(shù)學(xué)原理. 推演三、四由特殊條件“同圓或等圓”轉(zhuǎn)化為普遍條件“兩個(gè)圓”（即不設(shè)定這兩個(gè)圓的關(guān)系，當(dāng)然排除不重疊這一特例），這就開啟了學(xué)生對(duì)圓心角性質(zhì)中的“同圓或等圓”這一限制條件的認(rèn)知思路，強(qiáng)化了對(duì)數(shù)學(xué)原理的理解. 可見，運(yùn)用逆向思維恰恰和聚合思維構(gòu)成一體雙面，在條件、結(jié)論和必要條件與充要條件之間建立動(dòng)態(tài)聯(lián)系，極大地幫助學(xué)生透徹研究數(shù)學(xué)原理，使我們順利地將數(shù)學(xué)原理的內(nèi)涵和外延清晰地傳授給學(xué)生.

當(dāng)然，推演形式的多種多樣，比如情景化、動(dòng)態(tài)化、開放化等，這些形式將數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)問題、生產(chǎn)生活緊密聯(lián)系起來，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想，使得數(shù)學(xué)原理推演變得更加生動(dòng)、更加務(wù)實(shí).

由以上推演看出，體驗(yàn)從形式到原理的過程，其實(shí)就是從根本上找到從原理推演形式之“源”，探求推演的方向、思路. 歸納與演繹同樣非常重要，有利于開啟我們的教學(xué)思路.

“對(duì)數(shù)學(xué)問題的探索、研究、解決的過程首先是一個(gè)發(fā)散的醞釀多種方案的過程，然后才是從中比較優(yōu)劣，確定最佳解決方案的過程，是發(fā)散和集中的有機(jī)組合. ”學(xué)會(huì)從原理到形式的推演意義重大，我們應(yīng)當(dāng)不斷地探索最佳的教學(xué)思路.

【參考文獻(xiàn)】

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