簡(jiǎn)解北京初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題

題目 關(guān)于m，n的方程5m2 - 6mn + 7n2 = 2011是否存在整數(shù)解？若存在，請(qǐng)寫出一組解；若不存在，請(qǐng)說明理由.

這是2011年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽（初二）試卷的第四大題，筆者在閱讀文[1] 時(shí)發(fā)現(xiàn)它的分析和解法都過于復(fù)雜，讓人們感覺該題很難，其實(shí)該題并不難解，可以直接用整數(shù)的奇偶性來解答.

解 因?yàn)?011是奇數(shù)，故m，n不能同奇偶，

（1）當(dāng)m = 2k，n = 2s + 1時(shí)（k，s為整數(shù)），

則5m2 - 6mn + 7n2 = 2011？圳k（5k - 3） + 7s（s + 1） - 6ks = 501

不論k，s的奇、偶如何，k（5k - 3） + 7s（s + 1） - 6ks都是偶數(shù)，故無整數(shù)解；

（2）當(dāng)m = 2k + 1，n = 2s時(shí)（k、s為整數(shù)），

則5m2 - 6mn + 7n2 = 2011？圳10k2 + 10k - 6s + 14s2 - 12sk = 1003.

10k2 + 10k - 6s + 14s2 - 12sk是偶數(shù)，故也無整數(shù)解.

故方程不存在整數(shù)解.

【參考文獻(xiàn)】

[1]2011年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽（初二）.中等數(shù)學(xué).