數(shù)學(xué)思維型課堂的構(gòu)建

【摘要】 課標(biāo)明確指出：“數(shù)學(xué)在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創(chuàng)造力等方面有著獨特的作用. ”因此在數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，構(gòu)建思維型課堂是課程教育的基本要求. 數(shù)學(xué)思維型課堂的構(gòu)建，首先在于教師對“思維點”的選擇，其次在于教師對“問題點”的設(shè)計. 數(shù)學(xué)思維型課堂構(gòu)建的具體途徑為：利用課題導(dǎo)入，引發(fā)探究思維；通過問題引導(dǎo)，促進認(rèn)知思維；依托變式訓(xùn)練，發(fā)展類化思維；借助延伸拓展，啟迪創(chuàng)造性思維.

【關(guān)鍵詞】 探究思維；認(rèn)知思維；類化思維；創(chuàng)造性思維

思維型課堂，指培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的課堂學(xué)習(xí)活動. 關(guān)于數(shù)學(xué)課程的性質(zhì)，課標(biāo)表述為：“數(shù)學(xué)是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應(yīng)用的過程. ”這段文字包含兩重含義：① 數(shù)學(xué)是貫穿思維活動的課程；② 數(shù)學(xué)是一種工具，廣泛應(yīng)用于日常生活與社會實踐. 在課程教育價值或功效方面，課標(biāo)明確指出：“數(shù)學(xué)在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創(chuàng)造力等方面有著獨特的作用. ”因此在數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，致力于構(gòu)建思維型課堂是課程教育的基本要求. 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何構(gòu)建思維型課堂，本文以《圓的面積》為課例，談?wù)剛€人的認(rèn)識.

一、利用課題導(dǎo)入，引發(fā)探究思維

探究思維，指與探究活動有關(guān)的思維活動. 科學(xué)探究活動的程序主要包含發(fā)現(xiàn)問題并提出問題、猜想與假設(shè)、制定計劃與設(shè)計探究方案、實驗并獲取數(shù)據(jù)或收集資料、分析與論證等五個環(huán)節(jié)，這里所指的探究思維，一般指前面三個環(huán)節(jié)的思維活動.

課題導(dǎo)入是一節(jié)課的開始，它是圍繞課題核心內(nèi)容而設(shè)置的問題情境，由于是學(xué)生未知且又想弄清楚的問題，因此在誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與探究思維方面有著重要的作用. 如《小數(shù)乘法》課題，學(xué)生已經(jīng)掌握了整數(shù)多位數(shù)乘多位數(shù)的運算方法，因此本課題的核心內(nèi)容就是對乘積小數(shù)位數(shù)的確定方法. 據(jù)此，課題導(dǎo)入就可以以5.8 × 3.7為例來提出“如何確定乘積的小數(shù)位數(shù)”問題. 對此問題，學(xué)生具有“似相識又非相識”的感覺，“似相識”是知道5.8 × 3.7的乘積數(shù)字組合與兩位數(shù)乘兩位數(shù)相同，“非相識”是指不知道小數(shù)位數(shù)的確定方法，然而這樣問題最容易引發(fā)學(xué)生猜想為“乘積中含有一位小數(shù)”或“兩位小數(shù)”，同時又會探尋支持猜想的理由或構(gòu)思驗證猜想的方案，其中的“猜想”、“探尋理由”、“構(gòu)思方案”就屬于探究思維活動.

利用課題導(dǎo)入來引發(fā)學(xué)生的探究思維，首先在于教師對課題核心內(nèi)容的把握，其次在于問題情境的啟發(fā)性. 如《圓的面積》課題，圓的面積公式S = πr2是本課題的知識重點，而公式的推演過程又是本課題的學(xué)習(xí)難點，因此探索圓的面積與什么因素有怎樣的關(guān)系就是本課題的核心內(nèi)容. 關(guān)于問題情境的啟發(fā)性，課題導(dǎo)入就可以這樣設(shè)計：教師先在黑板上畫出半徑為r、2r、3r的同心圓讓學(xué)生觀察，然后提出“圓的面積與什么因素有關(guān)”與“具有怎樣的數(shù)量關(guān)系”這兩個問題，其中圖形大小的對比顯示就具有直觀啟發(fā)作用. 學(xué)生通過對圖形大小的比較觀察，通常能引發(fā)學(xué)生的下列兩種猜想：① 與半徑有關(guān)，半徑越大，面積越大，半徑增大1倍，面積增大2倍或3倍；② 與周長有關(guān)，周長越大，面積越大，周長增大1倍，面積增大2倍或3倍. 另外，學(xué)生還會聯(lián)想某些驗證猜想的計劃或方案. 盡管上述兩種猜想不完全正確或聯(lián)想的驗證猜想方案有欠缺，但對培養(yǎng)學(xué)生的探究思維還是有著重要的意義.

二、通過問題引導(dǎo)，促進認(rèn)知思維

認(rèn)知思維，指認(rèn)知過程的思維方式. 依據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，學(xué)生在認(rèn)知過程中的思維方式主要為同化和順應(yīng)兩種. 同化是指將面前的新問題轉(zhuǎn)化為與已有知識相同或相似的問題來認(rèn)識或理解. 如將5.8 × 3.7的小數(shù)乘法演變?yōu)?.8 × 10 × 3.7 × 10 ÷ 100 = 58 × 37 ÷ 100的思維方式就是同化，其中58 × 37的運算就是已有的方法知識. 順應(yīng)，指當(dāng)前的新問題無法納入已有知識結(jié)構(gòu)體系時而構(gòu)建新的知識與方法來認(rèn)識或理解的認(rèn)知方式. 如對于“扇形統(tǒng)計圖”，學(xué)生沒有與之相關(guān)的知識，因此不能理解這種統(tǒng)計圖的內(nèi)涵. 當(dāng)學(xué)生形成“整個圓表示事物的整體，其中某一扇形表示某一事物的數(shù)量大小”這種概念后，學(xué)生就能依據(jù)概念的內(nèi)涵來認(rèn)識或理解“扇形統(tǒng)計圖”的表示方法與意義，這種認(rèn)知過程就是順應(yīng). 課程學(xué)習(xí)中促進學(xué)生的認(rèn)知思維，主要就是指促進學(xué)生的同化或順應(yīng)思維.

問題引導(dǎo)，這里指為促進學(xué)生的同化或順應(yīng)思維構(gòu)筑一定臺階或橋梁. 如圓的面積公式推導(dǎo)，教材是先把圓分割為諸多面積相等的三角形，接著將這些三角形拼接為近似長方形，然后引導(dǎo)學(xué)生想象并推理，分割的三角形越細(xì)小，拼接的近似長方形就越接近長方形，最后依據(jù)長方形的面積公式來計算圓的面積. 對教材這種圓面積的轉(zhuǎn)化方法與極限分析思想，學(xué)生難于理解，因此教學(xué)中必須設(shè)計下列問題加以引導(dǎo)：

（1）你學(xué)過哪些圖形面積的計算？

（2）采用什么方法可以把圓轉(zhuǎn)化為學(xué)過的圖形并依據(jù)其面積公式進行計算？

（3）以圓心為頂點，半徑為兩邊的扇形與等腰三角形相比，有什么區(qū)別？

（4）兩個扇形互為倒置相拼接后是什么圖形？

（5）把圓分割成偶數(shù)個扇形，互為倒置相拼接后是什么圖形？

（6）分割的扇形越細(xì)小，拼接后的圖形越接近什么圖形？

（7）拼接后的圖形，長邊與短邊分別等于多少？

（8）計算圓的面積公式是什么？

在上面問題中，（1）（2）（7）（8）是促進同化思維，而（3）（4）（5）（6）則是促進順應(yīng)思維.

三、依托變式訓(xùn)練，發(fā)展類化思維

類化思維，指概括當(dāng)前問題與原有知識的共同本質(zhì)特征，將所要解決的問題納入到原有的同類知識結(jié)構(gòu)中去，對問題加以解決的思維活動. 數(shù)學(xué)解題的過程，實質(zhì)是數(shù)學(xué)形式的類化演繹過程. 如 ÷ 與 ÷ 3，在形式上似乎有所不同，然而將后式寫成 ÷ 則形式就相同，這就是把整數(shù)類化演繹為分?jǐn)?shù). 又如整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的混合運算，通常是將小數(shù)類化演繹為分?jǐn)?shù). 再如在解答應(yīng)用題中，構(gòu)建數(shù)學(xué)形式的過程就是將實際生活問題類化演繹為數(shù)學(xué)問題. 因此，數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，發(fā)展學(xué)生的類化思維是課程教育的重要目標(biāo).

提供變式訓(xùn)練是發(fā)展學(xué)生類化思維的良好途徑. 變式訓(xùn)練，就是指依據(jù)數(shù)學(xué)知識概念而設(shè)計不同形式的數(shù)學(xué)問題來引導(dǎo)學(xué)生開展解題訓(xùn)練，其思維過程特征就是要求學(xué)生將所要解決的問題納入到原有的同類知識結(jié)構(gòu)中去并加以解決. 簡單地說，變式訓(xùn)練的目的就是發(fā)展學(xué)生的類化思維.

設(shè)計變式問題的思路主要是依據(jù)知識概念進行形式與內(nèi)涵方面的變化. 如圓的面積計算訓(xùn)練，就可以設(shè)置下列問題.

問題1：在直徑為20 cm的大圓中，挖去直徑為10 cm的小圓，求大圓剩下的面積.

問題2：把半徑15 cm的圓分成6個相等的扇形，每個扇形的面積是多少？

問題3：花瓣狀門洞的邊是由4個直徑相等的半圓組成，這個門洞的周長和面積分別是多少？

問題4：在某400 m跑道運動場中，中間是一個長方形，兩端是直徑為40 m的半圓形，求跑道的直道長度與運動場的占地面積.

上面四個問題，在形式方面，問題1殘缺圓，問題2中的扇形是圓形的分割體，問題3是半圓形與正方形的組合，問題4是半圓形與長方形的組合. 在內(nèi)涵方面，問題1是求兩圓面積之差，問題2是引導(dǎo)學(xué)生將扇形面積轉(zhuǎn)化為圓面積來求算，問題3是已知分量求總量問題，而問題4則是已知某總量和某分量來分析另一分量或求算另一總量問題. 但不論何種形式與內(nèi)涵，它都要求學(xué)生類化為圓問題來解決，而其中蘊含著不同的類化思維方式正是變式訓(xùn)練以發(fā)展學(xué)生類化思維能力的目標(biāo)所在.

四、借助延伸拓展，啟迪創(chuàng)造性思維

創(chuàng)造性思維，指以新穎、獨特或突破常規(guī)的方法來解決問題的思維活動. 在數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中，一題多解或發(fā)現(xiàn)新知識并運用新知識解決問題的思維活動都屬于創(chuàng)造性思維. 如通過對■ + ■ = ■和■ + ■ + ■ = ■的觀察與分析則可以得到■ + ■ + ■ + … + ■ = ■的結(jié)論，并且知道，相加的項數(shù)越多，結(jié)果越接近1. 這種由發(fā)現(xiàn)新知識并解決問題的思維就屬于創(chuàng)造性思維. 當(dāng)然，就數(shù)學(xué)知識而言，上面問題屬于無窮遞縮等比數(shù)列求和問題，早已被人們發(fā)現(xiàn)，但對學(xué)生本人來說，仍是一種新知識，因此它屬于一種創(chuàng)造.

數(shù)學(xué)課程知識與原理的形成過程就是數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造過程，其中的問題背景素材以及蘊含的思維過程與方法都是啟迪學(xué)生創(chuàng)造性思維的源泉. 然而能否將這種源泉有效地利用，關(guān)鍵在于教師在教材內(nèi)容與方法的基礎(chǔ)上能進行適當(dāng)?shù)难由旎蛲卣?

如“圓周長公式”的探索，教材是引導(dǎo)學(xué)生采用實驗測量的方法來論證周長與直徑的比值關(guān)系. 對于“圓面積公式”的探索，教師也可以提出能否采用實驗測量的方法來論證面積與直徑的關(guān)系. 實驗測量圓面積，它可以借助圓柱體與長方體容器來對比盛裝某種液體；來間接地測定圓面積數(shù)據(jù)（圓面積=長方形容器測定液體體積 ÷ 液體在圓柱體中深度）. 對于圓面積與直徑之間的數(shù)據(jù)關(guān)系分析，又要求從方面進行分析. 毫無疑問，這種實驗探究活動，有益于啟迪學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

另外，對于圓面積與半徑的S∝r2關(guān)系，教師也可以結(jié)合下面圖形知識來進行分析與論證.

下圖中的三角形均為等腰三角形，圖2三角形XYZ的腰長是圖1三角形ABC腰長的2倍，而兩者面積則是4倍關(guān)系. 對于圖3的扇形，邊長AD是AB的2倍，那么扇形ADE的面積則是扇形ABC的4倍. 對上述知識，在引導(dǎo)學(xué)生開展創(chuàng)造活動前，教師要做必要的認(rèn)知引導(dǎo)教學(xué). 在此基礎(chǔ)上，倘若學(xué)生能把圓分割為扇形，然后依據(jù)上面的知識來推理演繹并得到“半徑變?yōu)?倍，圓面積就變?yōu)樵瓉淼?倍”，從而得到“圓面積與半徑平方成正比”的結(jié)論，何以不是一種創(chuàng)造.

數(shù)學(xué)思維型課堂的構(gòu)建，首先在于教師對“思維點”的選擇，即哪些知識與內(nèi)容可以促進學(xué)生的思維，其次在于教師對“問題點”的設(shè)計，即設(shè)計怎樣的問題方能點燃思維的火花. 它不僅要求教師對教材內(nèi)容與學(xué)情有著一定深度的把握，而且要求教師具備一定的教學(xué)方法與藝術(shù).

【參考文獻】

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