直線與反比例函數(shù)的位置關(guān)系

分析近幾年的中考試題發(fā)現(xiàn)，在重視對基礎(chǔ)知識和基本技能考查的同時，越來越注重對知識遷移能力的考查，其中經(jīng)常把反比例函數(shù)與一次函數(shù)“聯(lián)姻”起來一起考察. 解答這類題目的關(guān)鍵是要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)此類問題的本質(zhì)，因為無論試題如何變化，總是萬變不離其宗. 在新的情境中應(yīng)用已學(xué)知識（二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系）解決新的問題. 本文從教學(xué)中一個基本問題出發(fā)，以期啟發(fā)學(xué)生思考問題、分析問題、解決問題的能力.

一、直線與曲線位置關(guān)系的相關(guān)概述

若直線與曲線交于兩點，且這兩點無限相近，趨于重合時，該直線就是該曲線在該點的切線.

筆者定義，直線與反比例函數(shù)圖像（雙曲線）有唯一的公共點時，這條直線叫做雙曲線的切線，這個唯一的公共點叫切點[如圖1-（2）]；直線與雙曲線沒有的公共點時，位置關(guān)系為相離[如圖1-（1）]；直線與雙曲線有兩個公共點時，位置關(guān)系為相交[如圖1-（3）].

二、直線與曲線位置關(guān)系

可以發(fā)現(xiàn)，直線與雙曲線的位置關(guān)系為：相交、相切、相離. （如上圖1）

設(shè)反比例函數(shù)的表達式為y1 = （k1 ≠ 0，k1為常數(shù)），直線（一次函數(shù)）的表達式為y2 = k2x + b（k2 ≠ 0，k2，b為常數(shù)）. 如何判斷它們圖像的位置關(guān)系呢？

聯(lián)立：∵y = （k1 ≠ 0，k1為常數(shù)）y = k2x + b（k2 ≠ 0，k2，b為常數(shù)）

∴ k2x2 + bx - k1 = 0（k2 ≠ 0，x ≠ 0）……（1）

∴ Δ = b2 + 4k1k2.

（1）當(dāng)Δ < 0時，即b2 < -4k1k2（易得此時k1與k2異號）時，一元二次方程（1）無實數(shù)根，直線與雙曲線無交點，它們的位置關(guān)系為相離. 如圖1-（1）.

（2）當(dāng)Δ = 0時，即b2 = -4k1k2時，一元二次方程（1）有兩個相等的實數(shù)根，直線與雙曲線有且僅有1個交點，它們的位置關(guān)系為相切. 如圖1-（2）.

∵ b2 = -4k1k2，且b2 ≥ 0，k1 ≠ 0，k2 ≠ 0，∴ b ≠ 0，k1k2 < 0.

① b = 0時，即正比例函數(shù)圖像（直線）與雙曲線不可能有且僅有1個交點，即它們不可能相切. 那么正比例函數(shù)圖像（直線）與雙曲線不是相離就是相交.

② 當(dāng)b ≠ 0時，k1與k2異號. 切點坐標(biāo)為

-，-或-，或，.

（3）當(dāng)Δ > 0時，即b2 > -4k1k2時，一元二次方程（1）有兩個不相等的實數(shù)根，直線與雙曲線有2個不同交點，它們的位置關(guān)系為相交. 如圖1-（3）.

①當(dāng)k1與k2同號時，b2 > 0 > -4k1k2，兩個交點位于第一、三象限或第二、四象限. 如圖1-（3）-1.

② 當(dāng)k1與k2異號時，兩個交點位于同一象限內(nèi). 如圖1-（3）-2. 設(shè)交點為點A、B（且點A在點B的右側(cè)），則：

A，，

B-·，-k2·.

那么，如果其中一交點A的坐標(biāo)為（m，n）（m ≠ 0，n ≠ 0），則另一交點B的坐標(biāo)為-，-k2m.

特別的，（I）如果其中一交點A的坐標(biāo)為（m，n）（m ≠ 0，n ≠ 0），當(dāng)k2 = 1時，則另一交點B的坐標(biāo)化為（-n，-m）.

（II）如果其中一交點A的坐標(biāo)為（m，n）（m ≠ 0，n ≠ 0），當(dāng)k2 = -1時，則另一交點B的坐標(biāo)化為（n，m）.

三、結(jié)束語

平時解題時，要靜下心來深入思考題中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法和解題思路，同時善于將題目加以變通、延伸，從而提高思維的廣度和深度，才能跳出題海，提升解題能力.

在上述“正弦”概念的學(xué)習(xí)過程中，定性分析是指在學(xué)生能夠確定直角三角形除直角外，任意給出兩個元素（至少一個是邊）后，其余元素唯一確定這一事實，由此能猜測直角三角形的對邊與斜邊比值的確定性，而定量分析則是依據(jù)測量所得數(shù)據(jù)以及相似三角形的證明得出具體結(jié)論. 這一過程實現(xiàn)了學(xué)生以直觀材料作為形成概念的基礎(chǔ)，把感性認識升華到理性認識的飛躍，在此概念學(xué)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生利用定性與定量分析結(jié)合的方法，同時分析過程中借助比較、綜合、抽象、概括、判斷、歸納，從而揭示了概念的本質(zhì).

例二、《直線和圓的位置關(guān)系》概念概括過程的設(shè)計

本節(jié)課的學(xué)習(xí)目的是了解直線和圓的位置關(guān)系，掌握直線和圓外離、相切、相交的概念. 概念的引入可以遵循數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程，利用學(xué)生已有的學(xué)習(xí)《點和圓的位置關(guān)系》中的相關(guān)知識和研究經(jīng)驗，首先引導(dǎo)學(xué)生對直線與圓的位置關(guān)系有定性的認識，即直線和圓有外離、相切、相交三種位置關(guān)系，進而采用“從定性到定量”的學(xué)習(xí)過程，研究兩者三種不同的位置時數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，重點明確“用確定圓的要素來刻畫兩個幾何圖形的位置關(guān)系”這一本質(zhì).

本節(jié)課概念學(xué)習(xí)中的定性與定量分析過程可以用下圖表示：

在授課過程中，特別需要注意的是，當(dāng)學(xué)生判定位置關(guān)系的“標(biāo)準”沒有建立起來時，他們的頭腦中就不可能形成結(jié)構(gòu)，例如教師的問題設(shè)置是“根據(jù)點和圓的位置關(guān)系，同學(xué)們想一想，直線和圓的位置關(guān)系是否也可由數(shù)量關(guān)系來判斷？”這樣的設(shè)問方式，雖然意在進行概念學(xué)習(xí)的類比，但方向不明確，沒有明確“用確定圓的要素來刻畫兩個幾何圖形位置關(guān)系”這一本質(zhì)，所以沒有抓住定量分析的本質(zhì). 就《點和圓的位置關(guān)系》、《直線和圓的位置關(guān)系》等概念的學(xué)習(xí)，教師的引導(dǎo)應(yīng)該聚焦在“用確定圓的要素刻畫位置關(guān)系”上進行從定性到定量的教學(xué).

數(shù)學(xué)本質(zhì)上是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫，進而逐漸抽象概括，形成方法和理論，并進行廣泛應(yīng)用的過程，初中數(shù)學(xué)涉及定性與定量相結(jié)合的概念，教學(xué)中也應(yīng)遵循概念發(fā)生階段的動態(tài)化本質(zhì). 定性分析與定量分析相互統(tǒng)一，相互補充，使得定性分析成為定量分析的基本前提，定量分析成為定性分析更加科學(xué)、準確的依據(jù). 讓初中學(xué)生在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中構(gòu)建定性和定量分析的模型.

【參考文獻】

[1]曹才翰，章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論[J].北京師范大學(xué)出版社，2008.

[2]裴娣娜.教育研究方法導(dǎo)論[M].安徽教育出版社，1995.

[3]章建躍，陶維林.概念教學(xué)必須體現(xiàn)概念的形成過程[J].數(shù)學(xué)通報，2010（1）.