創(chuàng)新思維在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用探究

西班牙繪畫、雕塑大師畢加索說：“每一種創(chuàng)造活動首先是一種破壞活動”. 要力爭把已有的東西搞得面目全非. 做到了這一點，能夠與知識共舞，才真正“學(xué)透”了. 而進行這種“破壞性活動”就需要學(xué)生具有創(chuàng)新思維方式.

創(chuàng)新思維又稱為發(fā)散性思維，這種思維方式，遇到問題時，能從多角度、多側(cè)面、多層次、多結(jié)構(gòu)去思考，去尋找答案，既不受現(xiàn)有知識的限制，也不受傳統(tǒng)方法的束縛. 其思維路線是開放性、擴散性的. 它解決問題的方法更不是單一的，而是在多種方案、多種途徑中去探索、選擇. 創(chuàng)新思維具有廣闊性，深刻性、獨特性、批判性、敏捷性和靈活性等特點. 我們知道任何事情一旦反復(fù)地重復(fù)，就會得到強化，形成習(xí)慣. 當(dāng)我們總是選效率高的常規(guī)思維來解決問題時，漸漸地就會形成一種思維習(xí)慣，也就是對于我們所遇到的任何問題都采取這樣一種常規(guī)思維，隨著時間的推移，常規(guī)思維重復(fù)次數(shù)越來越多，習(xí)慣越來越得到強化，自然創(chuàng)新思維就越來越被弱化. 但是創(chuàng)造力的本質(zhì)是思維習(xí)慣，而習(xí)慣可以養(yǎng)成，也可以改變，所以創(chuàng)造力可以通過顛覆原有的思維模式習(xí)慣而獲取. 而數(shù)學(xué)是思想，也是一種開放的語言. 借助于語言的更新，實現(xiàn)思維更新與顛覆，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要.

一、具有創(chuàng)新思維需要顛覆原有知識的唯一性

創(chuàng)新思維在線性代數(shù)教學(xué)中得以應(yīng)用的關(guān)鍵在于看到：我們所學(xué)的知識是有很多可能性的知識. 顛覆原有知識的唯一性，展示出眾多可能性的一部分，也就實現(xiàn)了創(chuàng)新. 例如，矩陣的初等變換意義下的等價只是等價關(guān)系的一種，人們還可以在此基礎(chǔ)上給出其他的等價定義. 比如：對給定的方陣施行一次初等行變換后，再實施一次同類的初等列變換，我們將相繼進行的兩個變換稱為對施行一次“整變換”. 如果方陣可由經(jīng)過有限次整變換得到，則我們稱，具有“整變換關(guān)系”. 容易驗證整變換關(guān)系也是一種等價關(guān)系. 通過對原有概念的擴散，打破學(xué)生對矩陣等價變換的單一認識，讓學(xué)生們嘗試構(gòu)建自己的等價關(guān)系，和課本中原有的等價知識進行對比研究，使學(xué)生體會到發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的樂趣.

二、具有創(chuàng)新思維需要擺脫思維約束

創(chuàng)新思維要求開放心靈，其要點之一就是要盡量避免自我約束. 沒人要求你那么狹隘地做事，而有時候人們偏要自己限制自己. 例如，在講了二次型的概念及其矩陣后，讓學(xué)生將x12 - 8x1x2 + x32寫成XTAX的形式. 大部分同學(xué)的結(jié)果均為

x12 - 8x1x2 + x32 = （x1 x2 x3）1 -4 0-4 0 0 0 0 0x1x2x3

這種結(jié)果體現(xiàn)學(xué)生的兩種思維約束：一是自發(fā)的約束：自發(fā)的在可見邊界內(nèi)考慮問題——看到的最大下標(biāo)是3，便認為這是一個三元二次型. 這是人們常表現(xiàn)出來的認識局限性. 其實在沒有特別說明的情況下，可將給定的二次型多項式看作n（n ≥ 3）元二次型. 這就蘊含了無數(shù)可能性. 比如x12 - 8x1x2 + x32也可表示成：

x12 - 8x1x2 + x32 = （x1 x2 x3 x4 x5）1 -4 0 0 0-4 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0x1x2x3x4x5.

二是自覺約束，自覺地按老師說過的“二次型的矩陣是對稱所形成的約束”. 二次型的矩陣被規(guī)定為能生成它的無窮多個矩陣中的那個對稱矩陣. 但不意味著將二次型多項式寫成XT AX形式時，其中的A一定要是對稱矩陣. 事實上，

x12 - 8x1x2 + x32 = （x1 x2 x3）1 -2 0-6 0 0 0 0 1x1x2x3.

這種表述也是正確的.

世上沒有絕對的真理，只有滿足一定目的的建構(gòu)行為. 當(dāng)學(xué)生學(xué)會在每一個方向上展現(xiàn)無限視野，就能找到學(xué)習(xí)中收益最大化的開放路線. 真正富有創(chuàng)造力的教育就是讓學(xué)生看到正在演進的活知識的一片天，而不是讓其成為被死知識一葉障目的受害者.