數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合的思想集中了數(shù)量分析與圖形的直觀 ，利用數(shù)和形的各自優(yōu)勢(shì) ，往能使我們盡快地找到解題途徑或簡(jiǎn)化解題過(guò)程 ，給解題帶來(lái)極大的方便 。教學(xué)中注意這一思想方法的滲透 ，有利于學(xué)生解題能力的培養(yǎng) ，并能在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有機(jī)地溝通數(shù)學(xué)各分支的內(nèi)在聯(lián)系 。下面我將在函數(shù).含參數(shù)方程.不等式.復(fù)數(shù)等問(wèn)題上詳細(xì)的分析下數(shù)行結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

一、數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位與應(yīng)用

美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩說(shuō)：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成圖形，那么思想就整體的把握了問(wèn)題，并且能創(chuàng)造性的思索問(wèn)題的解法?！边@就表明解題時(shí)若能挖掘問(wèn)題的幾何意義配以適當(dāng)?shù)膱D形，就有利于分析題重?cái)?shù)量之間的關(guān)系，豐富想象，拓展思路，化繁為簡(jiǎn)，化難為易，迅速找出解決問(wèn)題的方法，提高分析和解決問(wèn)題的能力。

二、數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉例

1.數(shù)形結(jié)合思想與參數(shù)方程.不等式的關(guān)系問(wèn)題

例1 討論關(guān)于x的方程x2-2|x|-3=a（a∈R）的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)。

解法一（常規(guī)思路）因?yàn)榉匠讨泻薪^對(duì)值，所以分x≥0和x<0是求解。方程比較復(fù)雜，對(duì)于大多數(shù)高中生而言是比較困難的。

解法二（數(shù)行結(jié)合思想）把等號(hào)兩邊分別看成2個(gè)函數(shù)，即令f（x）= x2-2|x|-3.g（x）=a

作出 f（x）的圖像，函數(shù)g（x）是與y軸垂直的直線。觀察圖1可知：

圖1

a<-4時(shí)，兩圖形無(wú)交點(diǎn)，即原方程無(wú)解。 a=-4時(shí)，兩圖形有兩個(gè)交點(diǎn)，即原方程有兩個(gè)解。-4

結(jié)果表明：用常規(guī)的解題思想很難下手，可以說(shuō)根本就沒(méi)發(fā)做出，而用數(shù)形結(jié)合思想則可以很準(zhǔn)確的把題解出，思路明確。

在參數(shù)方程中我們還會(huì)遇到已知參數(shù)方程的解求參數(shù)的問(wèn)題同樣可以利用例1的方法，下面研究下如何求含參數(shù)不等式f（x）>g（x）（<）的參數(shù)與函數(shù)值

結(jié)果表明：用解法一這種常規(guī)思路來(lái)解答此題比較復(fù)雜，容易出錯(cuò)。而用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)分析、解決此類問(wèn)題比較方便、簡(jiǎn)捷、一目了然的。

2.數(shù)形結(jié)合與不等式的解

例2設(shè)f（x）=|2x+1|-|x-4|，解不等式f（x）>2

解法（數(shù)形結(jié)合思想）做出函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-4|的圖像如圖，它與y=2的交點(diǎn)為（-7，2）.5/3，2）所以它的的解集為x>5/3或x<-7

結(jié)果表明：數(shù)形結(jié)合思想可以較快的把題解出。

例 3不等式的證明：已知

，求證：。

證：，

，在直角坐標(biāo)系中，

設(shè)，由圖知，（三角形兩邊之和大于第三邊，當(dāng)O點(diǎn)在線段PC上取等號(hào)）

3.數(shù)形結(jié)合思想與最值.值域問(wèn)題

例4實(shí)數(shù)x.y滿足等式（x-3）2+y2=3，求y/x的最值。

解法（數(shù)行結(jié)合思想）可觀察y/x的結(jié)構(gòu)即為點(diǎn)（x.y）與點(diǎn)（0.0）的斜率k，而過(guò)點(diǎn)（0.0）的直線與圓相切時(shí)k最大。如圖所示

設(shè)直線方程為y=kx，則d=3k/+1=所以k=/2 所以y/x的最大值為/2。

結(jié)果表明：用思路一去考慮問(wèn)題，結(jié)果好難，做不下去，而用到數(shù)行結(jié)合思想，則比較簡(jiǎn)單.明了。

數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著重要的作用，數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化。使抽象思維與形象思維結(jié)合起來(lái)，發(fā)揮數(shù)與形兩種信息的轉(zhuǎn)換及其優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)與整合。

在數(shù)學(xué)解題中，方法至關(guān)重要，這對(duì)于節(jié)省時(shí)間，提高效率，煅煉能力有重要的作用。運(yùn)用形數(shù)結(jié)合解題，產(chǎn)生較好的效果。所以我們得在數(shù)學(xué)中提煉、滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的功能，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.