立體幾何圖形教學(xué)三步曲

學(xué)習(xí)高中立體幾何，要求學(xué)生有足夠的空間想象能力，看到空間幾何體的直觀圖就要知道可作圖的最基本的元素，即點(diǎn)、線、面以及各元素間的關(guān)系。能把已知條件和所問問題轉(zhuǎn)化為空間幾何體的直觀圖，最后把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決。通過數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題。要想學(xué)好立體幾何，就要形成空間幾何體的圖形觀。對(duì)立體幾何的認(rèn)識(shí)須經(jīng)過三個(gè)步驟——認(rèn)識(shí)圖形、作圖、用圖即各幾何體的定義以及圖形之間的聯(lián)系和區(qū)別。

在平面幾何中，常用的幾何圖形如平行四邊形、三角形、梯形、圓都能用作圖工具，在平面中很快做出相應(yīng)的圖形，但是一個(gè)空間幾何體要在平面中做出直觀圖就不像在平面內(nèi)作平面圖形簡(jiǎn)單，而是在二維的平面上畫出三維空間的真實(shí)形象，也就是立體感很強(qiáng)的圖形。在考察立體幾何內(nèi)容時(shí)，空間想象能力是考察的核心，針對(duì)學(xué)生在初學(xué)時(shí)存在的問題，筆者從學(xué)習(xí)立體幾何入門講解立體幾何圖形，即認(rèn)識(shí)圖形、做出圖形、會(huì)用圖形三個(gè)步驟來探究原因，提高自身的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

識(shí)圖

認(rèn)識(shí)圖形是學(xué)會(huì)立體幾何的基礎(chǔ)之一。在教學(xué)中隨時(shí)讓學(xué)生觀察眼前能看到的圖形，讓學(xué)生體會(huì)所學(xué)的知識(shí)和生活實(shí)際的聯(lián)系。找到具體的模型與直觀圖間的聯(lián)系，讓學(xué)生自覺地把初中學(xué)習(xí)的平面幾何的概念和定理在立體幾何中能夠再認(rèn)識(shí)和辨析，盡可能地避免學(xué)生用平面幾何的慣性思維來考慮立體幾何問題。例如，在平面幾何中垂直于同一條直線的兩條直線平行，但在立體幾何中這兩條直線可以異面，這說明平面幾何的一些結(jié)論不能直接推廣到空間幾何中應(yīng)用。又如，在平面幾何中矩形的四個(gè)角為直角，而這個(gè)平面圖形的直觀圖中的四個(gè)角就不是直角了。通過具體的觀察可避免學(xué)生把一些平面幾何知識(shí)直接應(yīng)用到立體幾何中來解決問題。

案例1：如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中 O′A′=6，O′C′=2，則原圖形是（ ）

A.正方形 B.矩形

C.菱形 D.梯形

分析：圖中是水平放置圖形的直觀圖，根據(jù)斜二測(cè)畫法可知水平面中坐標(biāo)軸夾角是45°，平行于縱軸的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，則平面圖形中的四個(gè)角就不是直角了故排除A、B。平行于橫軸的長度保持不變，平面圖形的平行性保持不變。平面圖行中兩組對(duì)邊O′A′，和C′B′平行且相等，故可排除D。所以選C。

作圖

作圖是學(xué)習(xí)立體幾何的基本功，是培養(yǎng)學(xué)生在平面上繪制出空間圖形的各部分之間的大小、位置和相互關(guān)系的直觀圖，也是培養(yǎng)學(xué)生空間想象力的核心。在作圖中用到空間許多點(diǎn)、線、面的關(guān)系，所以作出空間圖形的直觀圖是解決問題的第一步，做好圖形利于解決問題。

案例2：過異面直線中的一條直線a，作一個(gè)平面平行于另一條直線b.

作法：在直線a上任取一點(diǎn)A，過直線b與直線外一點(diǎn)A作平面β，在平面β內(nèi)作直線c∥b，過相交直線a與c作平面α，則平面α即為所求。

由此例可見，作空間圖形取決于所求作的圖形能否歸結(jié)為空間作圖的規(guī)則。作空間圖形的可作元素很多，如：①是否用到題中所有的已知條件；②確定平面的方法（如過直線和直線外的一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面；兩條相交直線可確定一個(gè)平面；兩條平行直線可確定一個(gè)平面；不共線的三點(diǎn)可確定一個(gè)平面）③空間中點(diǎn)的選取。所有能作圖的這些依據(jù)就是空間作圖的可做元素類。空間作圖不僅把最基本的作圖元素聯(lián)系在一起，更重要的是培養(yǎng)了邏輯推理。

用圖

在立體幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到一些要證明的結(jié)論與題中所給的條件一時(shí)無法聯(lián)系，這時(shí)就要考慮用一個(gè)特殊的圖形來推翻結(jié)論，得出與結(jié)論中所涉及到的定義中的遺漏部分，這樣的圖形就是一個(gè)反例圖形。如果學(xué)生心中有這樣的典型圖形，就可以迅速做出判斷。

案例3：判斷下面的命題是否正確？若一個(gè)幾何體有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形，則這個(gè)幾何體是棱柱。舉一個(gè)反例如圖。

分析：根據(jù)棱柱的定義：一般有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個(gè)平行四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的多面體叫棱柱。通過定義可以總結(jié)出棱柱的三個(gè)本質(zhì)特征：①有兩個(gè)面互相平行；②其余各面是平行四邊形；③這些平行四邊形面中，每相鄰兩個(gè)面的公共邊都互相平行。圖中不具備特征③故不是棱柱。

學(xué)習(xí)立體幾何圖形是核心，如果學(xué)生能在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)每解決一個(gè)問題，就能畫出直觀圖，通過數(shù)形結(jié)合解決。既培養(yǎng)了識(shí)圖、作圖能力，又培養(yǎng)了空間想象力。因?yàn)閳D形給學(xué)生直觀的感覺，所以在立體幾何初學(xué)期間學(xué)生要樹立圖形觀，通過認(rèn)識(shí)幾何體的直觀圖，根據(jù)已知條件做出恰當(dāng)?shù)膱D形解決問題，用反例圖形判斷與定義或概念似是而非的一些結(jié)論。通過立體幾何的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力。

（作者單位：內(nèi)蒙古自治區(qū)阿拉善盟第一中學(xué)）