探析“參變元與主變元”

主變元是起突出、主導作用的輸入變量;參變元是在一定范圍內(nèi)（由題設(shè)決定）變化的常數(shù)。主變元與參變元相互影響，相互制約。在許多數(shù)學問題中，都會含有多個常量、參量和變量，根據(jù)具體條件和解題需要，常常在眾多變元中選用一個變元為主變元（未知數(shù)），將其他變元暫時看成是參變元（常數(shù)），進而把代數(shù)式整理成按主變元降冪排列（或升冪排列）的多項式，以此為線索來達到解決問題的目的，這種解題方法在數(shù)學中通常叫作“主元法”，蘊涵著高中數(shù)學中的“主元”思想。下面，我想談一下對參變元與主變元的一些粗淺認識，僅供大家參考。

一、參變元是變化的“常數(shù)”，一旦取定后它就不能再變

案例1.求函數(shù)f（x）=x+2a+a+1，a∈[1，2]的最小值。

略解：令t=，t∈[0，+∞]則原式可化為：g（t）=t2+2at+a+1=（t+a）2-a2+a+1，又函數(shù)g（t）的對稱軸t=-a∈[-2，-1]，所以 g（t）min=g（0）=a+1，即函數(shù)f（x）的最小值為a+1。

案例2.方程loga（x+2）=，（agt;0且a≠1）的實數(shù)解的個數(shù)是 。

略解：把方程解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像交點的個數(shù)問題。分別畫出函數(shù)f（x）=loga（x+2）和g（x）=在定義域x∈[-2，0]上的圖像，要畫f（x）的圖像，顯然要對a進行討論。當a∈（0，1）時，易知函數(shù)f（x）與g（x）的圖像有一個交點;當a∈（1，+∞）時，易知函數(shù)f（x）與g（x）的圖像有一個交點。因此，原方程實數(shù)解的個數(shù)為“1個”。

解題回顧：上述兩題中很顯然x是主變元，a是參變元。筆者評講此題前發(fā)現(xiàn)大量學生做出案例1的答案是2，案例2的答案是2。究其原因，這些學生對案例1函數(shù)的最大值又求了一次最大值。對案例2得出的答案是1+1=2個。由此，反映出學生對參變元的含義沒有徹底搞懂。

二、討論的對象不同，題目最后的處理方法也不一樣

案例3.不等式x2-ax+4≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

略解：（法一）分離參變元a

當x∈[-1，0）時，a≥x+恒成立，所以a≥-5;當x=0時，4≥0恒成立，所以a∈R;當x∈（0，1]時，a≤x+恒成立，所以a≤5。綜上知：a∈[-5，5]。

（法二）利用函數(shù)與不等式的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合求解。

令f（x）=x2-ax+4則

即a∈[-5，-2]或a∈（-2，2）或 a∈[2，5]。綜上知：a∈[-5，5]。

解題回顧：比較上述兩種解法，法一是對主變元x討論，要滿足題意，需對三種結(jié)果取交集;法二是對參變元a討論，要滿足題意，需對三種結(jié)果取并集。

三、主變元與參變元之間可以相互轉(zhuǎn)換

案例4.已知函數(shù)f（x）=x+-b，（x≠0），其中a，b∈R，若對于任意的a∈[，2]，不等式f（x）≥10在x∈[，1]上恒成立，求實數(shù)b的取值范圍。

略解：（法一）依題意，不等式x+≥10+b對任意的a∈[，2]上恒成立。

令g（a）=a+x，因為x∈[，1]，所以有g(shù)t;0，此時g（a）在a∈[，2]上是遞增函數(shù)。

因此，g（a）min=g（）=+x，所以+x≥10+b對任意的x∈[，1]恒成立。

令h（x）=x+，易知h（x）min=h（）=，所以≥10+b即b≤-10。

（法二）依題意，不等式x+≥10+b對任意的a∈[，2]上恒成立。

由于xgt;0，分離a得到a≥（10+b）x-x2：對任意的a∈[，2]上恒成立，即≥（10+b）x-x2對任意的x∈[，1]恒成立，再分離b得到：10+b≤x+對任意的x∈[，1]恒成立。同法二，得b≤-10。

解題回顧：比較上述兩種解法，法一先把a當主變元，x當參變元（常數(shù)），而后再把x當主變元來處理。這里為什么a能作為主變元呢？究其原因，是發(fā)現(xiàn)了此題中有“對于任意的a∈[，2]”這幾個字，尤為關(guān)鍵。法二與法一有異曲同工之處，但法二更簡潔、明了。因此，參變元與主變元是相對的，在具體的解題過程中可以相互轉(zhuǎn)換。