遞推數(shù)列求解通項(xiàng)公式的探究

數(shù)列在高考中占有非常重要的地位，它可以與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等知識相綜合，是函數(shù)思想的延續(xù)和拓展，高考對該部分的考查其中一方面是考查求遞推數(shù)列中的項(xiàng)，僅要求能由遞推關(guān)系寫出前幾項(xiàng)，難度不大，但在高考實(shí)際命題時常要求能構(gòu)造相應(yīng)的等差或等比數(shù)列求解通項(xiàng)。

遞推數(shù)列：數(shù)列的若干連續(xù)項(xiàng)之間的關(guān)系叫遞推關(guān)系，表達(dá)遞推關(guān)系式叫遞推公式;由遞推關(guān)系和初始條件給出的數(shù)列叫遞推數(shù)列。由兩個連續(xù)項(xiàng)之間的關(guān)系式：an+1=f（an）及一個初始條件a1確定的數(shù)列叫作一階遞推數(shù)列，由三個連續(xù)項(xiàng)之間的關(guān)系式an+2=f（an+1，an）及兩個初始條件a1，a2確定的數(shù)列叫二階遞推數(shù)列。以下是幾種形式的遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式方法的探究。

一、等差、等比數(shù)列的公式（a，b是常數(shù)）

1.等差數(shù)列可表示為

2.等比數(shù)列可表示為

二、形如 an+1=an+f（n）（{f（n）}可求和）時， 常采用累加法求解

累加：an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）

例：已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+3n+2，且a1=2，求an。

解：∵an+1-an=3n+2，

∴an-an-1=3n-1（n≥2），

∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+ a1= （n≥2）.

當(dāng)n=1時，a1=2也符合上式，

∴an=n2+.

三、形如=f（n）（{f（n）}可求積）時， 常采用累積法求解

累積：an=a1··….

例：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=an-1（n≥2），求an。

解：∵an=an-1（n≥2），

∴an-1=an-2，…，a2=a1.

以上（n-1）個式子相乘得

an=a1···…·==.

當(dāng)n=1時，a1=1，上式也成立.

∴an=.

四、形如an=pan-1+m（p、m為常數(shù)，p≠1，m≠0）時，構(gòu)造等比數(shù)列

例：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+2， 求an.

解：（1）∵an+1=3an+2，

∴an+1+1=3（an+1），∴=3，

∴數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列，公比q=3，

又a1+1=2，∴an+1=2·3n-1，

∴an=2·3n-1-1.

五、形如an+1=can+pn+q（a，c，p，q為常數(shù)，c≠1），轉(zhuǎn)化為公比為c的一個等比數(shù)列。

例：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+3n+1，求an。

解：an+1+p（n+1）+q=2（an+p·n+q）

an+1=2an+p·n-p+q

∴

∴an+1+3（n+1）+4=2（an+3n+4）

∴{an+3n+4}是以8為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。

∴an+3n+4=8·2n-1

∴an=2n+2-3n-4

六、形如an+1=c·an+dn（c≠0，c≠1，d≠0的常數(shù)），可采用配湊方法，劃歸為等比數(shù)列

例：已知{an}，其中a1=1，an+1=2an-3n，求an.

解：等式兩邊同除以3n+1，得：

=·-

+1=·（+1）

∴{+1}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。

+1=（）n-1

∴an=2n+1-3n.

七、形如an+1=（其中m，b，c均為非零常數(shù)）的遞推關(guān)系，采用配湊成倒數(shù)的方法，劃歸為等差或等比數(shù)列

例：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=，求an。

解：等式兩邊同時取倒數(shù)，得

-=1

∴{}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列。

∴=n

an=.

八、形如an+1=kanp（k，p為常數(shù)，kgt;0）的遞推關(guān)系，采用等式兩邊取對數(shù)，轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列

例：已知a1（a1gt;0），an+1=·an2（a為正常數(shù)），求an。

解：等式兩邊取常用對數(shù)，得

lgan+1=2lgan-lga

lgan+1-lga=2（lgan-lga）

∴l(xiāng)gan-lga是以lga1-lga為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。

∴l(xiāng)gan-lga=（lga1-lga）2n-1

∴l(xiāng)gan=lg（）2n-1+lga·（）2n-1

an=a12n-1·a1-2n-1

九、循環(huán)數(shù)列：形如an+1=（其中m，b，c，d均為非零常數(shù)）形式，可以考慮循環(huán)數(shù)列

例：在數(shù)列{an}中，an=，an=1-（n≥2，n∈N*），求a2008.

解：an=1-=

a1=，a2=-1，a3=2，a4=

∴T=3

∴a2008=a1=.

十、評注：遞推數(shù)列求解通項(xiàng)公式的形式

1.an+1=an+f（n）（{f（n）}可求和）時，常采用累加法。

2.=f（n）（{f（n）}可求積）時，常采用累積法。

3.an=pan-1+m（p、m為常數(shù)，p≠1，m≠0）時，構(gòu)造等比數(shù)列。

4.an+1=can+pn+q（a，c，p，q為常數(shù)，c≠1）構(gòu)造等比數(shù)列。

5.an+1=c·an+dn（c≠0，c≠1，d≠0的常數(shù)），構(gòu)造等比數(shù)列。

6.an+1=（其中m，b，c均為非零常數(shù)），構(gòu)造等差或等比數(shù)列。

7.an+1=kanp（k，p為常數(shù)，kgt;0），構(gòu)造等差或等比數(shù)列。

8.循環(huán)數(shù)列：形如an+1=（其中m，b，c，d均為非零常數(shù)）形式，可以考慮循環(huán)數(shù)列。

學(xué)生在掌握了以上幾種類型后，對于遞推數(shù)列求解通項(xiàng)公式的問題基本就可以應(yīng)對高考了。