基于現(xiàn)代高職教育的導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)思想

導(dǎo)數(shù)概念是在極限知識(shí)的基礎(chǔ)上建立的，是極限知識(shí)的應(yīng)用和極限思想的體現(xiàn)。而導(dǎo)數(shù)又是進(jìn)一步研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、曲線漸進(jìn)性和凹凸性的重要工具，也是積分概念建立和計(jì)算的基礎(chǔ)。可以說(shuō)導(dǎo)數(shù)是整個(gè)微積分知識(shí)體系的核心概念，從導(dǎo)數(shù)概念的發(fā)生、發(fā)展來(lái)看，變化率則是導(dǎo)數(shù)思想方法的核心，也是高職院校開設(shè)微積分課程價(jià)值的核心。用導(dǎo)數(shù)處理相關(guān)的專業(yè)問(wèn)題，可使學(xué)生開闊視野，感悟極限思想，從而激發(fā)學(xué)生更加自覺的學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，為專業(yè)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。如何使學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)、把握導(dǎo)數(shù)概念的生成所反映的思想和方法，是教學(xué)設(shè)計(jì)研究的重要內(nèi)容。

一、導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)的基本思路

教材首先介紹了導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的物理背景“瞬時(shí)速度”和幾何背景“切線的斜率”，由此引出函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的定義。這種處理方式符合學(xué)生從具體到抽象的認(rèn)識(shí)規(guī)律，有利于學(xué)生正確理解和掌握導(dǎo)數(shù)的意義，體現(xiàn)了知識(shí)的循序漸進(jìn)的原則。

依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容，結(jié)合高職高專人才培養(yǎng)目標(biāo)和學(xué)生實(shí)際水平確定教學(xué)目標(biāo)。通過(guò)導(dǎo)數(shù)概念的形成過(guò)程，讓學(xué)生掌握從具體到抽象，特殊到一般的思維方法，提高類比歸納、抽象概括、聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思維能力，領(lǐng)悟極限思想和函數(shù)思想，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用極限思想去思考問(wèn)題的能力。

二、導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想

教學(xué)時(shí)應(yīng)充分尊重教材，努力體現(xiàn)編寫意圖，把變化率思想講深講透，并滲透瞬時(shí)變化率的概念，為導(dǎo)數(shù)概念的引入作好準(zhǔn)備。通過(guò)多媒體彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)的不足，強(qiáng)化學(xué)生的直觀認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生更好地理解無(wú)限逼近思想，揭示導(dǎo)數(shù)本質(zhì)。

設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想主要來(lái)源于皮亞杰和布魯納等建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論。建構(gòu)主義者強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、社會(huì)性和情境性，提倡情境性教學(xué)。導(dǎo)數(shù)的概念正是建立在情境教學(xué)的基礎(chǔ)之上的。

三、導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)的意圖

（一）創(chuàng)設(shè)情境，探索新知

情境展示：進(jìn)行汽車破壞性撞擊實(shí)驗(yàn)以確定汽車的安全性能時(shí)，往往要求汽車在做直線加速運(yùn)動(dòng)時(shí)撞擊物體時(shí)的瞬時(shí)速度（播放汽車撞擊試驗(yàn)的視頻文件）。利用熟悉的問(wèn)題激發(fā)學(xué)生的興趣與情感，為新課程的引入創(chuàng)造良好的環(huán)境。如何求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度？通過(guò)回顧導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的時(shí)代背景，讓學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化的熏陶，感受數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際，又應(yīng)用于實(shí)際。

大膽質(zhì)疑：這一問(wèn)題能像求平均速度那樣用運(yùn)動(dòng)的時(shí)間去除移動(dòng)的距離來(lái)計(jì)算嗎？學(xué)生稍作思考就會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣行不通，因?yàn)樵诮o定的時(shí)刻，移動(dòng)的距離與所用的時(shí)間都是零，而是無(wú)意義的。以此引起學(xué)生的好奇心，意識(shí)到平均速度公式的局限性。為了能更精確地刻畫物體運(yùn)動(dòng)，我們有必要研究某個(gè)時(shí)刻的速度即瞬時(shí)速度。學(xué)生帶著問(wèn)題走進(jìn)課堂，激發(fā)學(xué)生求知欲。

深入探究：學(xué)生產(chǎn)生思維沖突，不自覺地便進(jìn)入了探究過(guò)程。教師強(qiáng)調(diào)“平均變化率”很重要，它為導(dǎo)數(shù)的概念的引入鋪平道路。事實(shí)上在教學(xué)中，變化率的教學(xué)往往是激發(fā)學(xué)生思維、建立導(dǎo)數(shù)概念的“焦點(diǎn)”，我們的問(wèn)題是求物體在某一時(shí)刻的速度。進(jìn)一步挑戰(zhàn)原有認(rèn)知，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。顯然，用平均速度代替瞬時(shí)速度來(lái)檢測(cè)汽車撞擊的各項(xiàng)指標(biāo)是不準(zhǔn)確的，因?yàn)槠骄俣戎荒艽致缘孛枋鑫矬w在某段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。我們可以設(shè)想讓時(shí)間增量變小，比如秒，秒，秒，… 這時(shí)我們是不是越來(lái)越感覺不到速度的變化？或者說(shuō)平均速度就越來(lái)越接近時(shí)刻處的速度即瞬時(shí)速度了（在此過(guò)程中讓學(xué)生體會(huì)逼近思想）。此時(shí)，我們大膽的設(shè)想，讓時(shí)間的增量無(wú)限的趨近于0，這時(shí)的平均速度就會(huì)無(wú)限的趨近于物體在時(shí)刻的速度，也就是我們夢(mèng)寐以求的瞬時(shí)速度。這個(gè)瞬時(shí)速度也叫函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率。同學(xué)們會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，這個(gè)過(guò)程正是我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的極限過(guò)程。這里我們充分利用極限的思想，揭示瞬時(shí)速度的實(shí)質(zhì)，為導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)的概念做好鋪墊。

階段性成果小結(jié)：同學(xué)們對(duì)變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題進(jìn)行了深入的探索，請(qǐng)大家繼續(xù)思考一下，我們能用一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)表示瞬時(shí)速度嗎？組織學(xué)生討論，不難得出結(jié)論：物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，就是該物體從 到這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)趨向于零時(shí)平均速度的極限，即。

情境二：有很多實(shí)際問(wèn)題都與曲線的切線有關(guān)，如汽車車燈光源的入射角和反射角問(wèn)題與拋物線的切線有關(guān)，而切線問(wèn)題的研究離不開切線的斜率。如何求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，我們仿照實(shí)例一的設(shè)計(jì)思路，對(duì)實(shí)例二再進(jìn)行一輪循環(huán)分析探索（篇幅所限，此處略），最后得到問(wèn)題的答案。此處運(yùn)用類比方法，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)函數(shù)的瞬時(shí)變化率概念的感性認(rèn)知。

（二）抽象概括，形成概念

物體的瞬時(shí)速度及切線的斜率的共同特點(diǎn)是什么？啟發(fā)思考，運(yùn)用歸納、分析、比較等數(shù)學(xué)方法，找出不同背景問(wèn)題在求解過(guò)程及結(jié)果中的共性。如果不考慮以上兩個(gè)問(wèn)題的實(shí)際意義，我們就可以抽象出函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的概念。

教師要詳細(xì)板書導(dǎo)數(shù)的定義，并要求學(xué)生表述、書寫，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)表示能力和數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力。注意闡述“導(dǎo)數(shù)”與“可導(dǎo)”的意義，強(qiáng)調(diào)幾種導(dǎo)數(shù)符號(hào)的正確寫法。教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)抽象概括，準(zhǔn)確把握定義，欣賞數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔之美，規(guī)范使用數(shù)學(xué)符號(hào)。提醒學(xué)生注意函數(shù)極限的表達(dá)有多種方式，引導(dǎo)學(xué)生用辨析和變式。透過(guò)表面現(xiàn)象，反思導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)質(zhì)（函數(shù)的瞬時(shí)變化率），從而突破難點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生形成合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

四、結(jié)語(yǔ)

傳統(tǒng)的教學(xué)觀念和教學(xué)行為在客觀上制約著導(dǎo)數(shù)的概念教育價(jià)值的回歸，因此基于工作過(guò)程的高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革首先要轉(zhuǎn)變教師的課程觀。教師不僅要讓學(xué)生知道結(jié)果，而且要懂得結(jié)果的產(chǎn)生過(guò)程、結(jié)果的意義，感悟數(shù)學(xué)的精神、思想和方法。深化和鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)并內(nèi)化為數(shù)學(xué)能力，促進(jìn)學(xué)生均衡發(fā)展，全面提高學(xué)生素質(zhì)。

（作者單位：襄陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部）