逐步逼近

編者按：在平行四邊形的題目中，在對(duì)角線上有具備某種條件的兩點(diǎn)的題目屢見(jiàn)不鮮，在中考中幾乎是一種常見(jiàn)題型。此文就這類問(wèn)題進(jìn)行了分類解析，對(duì)這類問(wèn)題，其實(shí)只要抓住平行四邊形是關(guān)于對(duì)角線交點(diǎn)對(duì)稱的圖形，就能快速地理清思路，找到解題方法。

我們?cè)谘芯繋缀螆D形的性質(zhì)時(shí)，經(jīng)常要依據(jù)圖形的特征去判定一個(gè)幾何圖形的屬性，尤其是在學(xué)習(xí)了四邊形之后，常常需要判定一個(gè)圖形的形狀，此類問(wèn)題，會(huì)讓不少同學(xué)感到為難，事實(shí)上，只要依據(jù)相應(yīng)圖形的判定方法，逐步逼近有關(guān)的條件，問(wèn)題便可迎刃而解.現(xiàn)舉例說(shuō)明如下.

一 逼近矩形

例1 （2014年·棗莊）如圖1.四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)D.已知O是AC的中點(diǎn)，AE=CF，DF//BE.

解析：

說(shuō)明：矩形的判定方法有：一個(gè)角是90°的平行四邊形是矩形；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形：四個(gè)角相等的四邊形是矩形，

二 逼近近菱形

例2 （2014年·嘉興）如圖2，在oABCD中，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)O的直線EF分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn).連接BE，DF.

（1）求證：

（2）當(dāng)∠DOE等于多少度時(shí)，四邊形BFDE為菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

簡(jiǎn)析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，結(jié)合對(duì)頂角相等這個(gè)條件即可證明結(jié)論（角角邊）.

（2）先判定四邊形BFDE是平行四邊形（根據(jù)，然后根據(jù)“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”確定∠DOE的度數(shù)：∠DOE=90°.

說(shuō)明：要判定一個(gè)四邊形是菱形，一般是先證明它是一個(gè)平行四邊形，再說(shuō)明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直.解題時(shí)，把已知條件用不同的符號(hào)標(biāo)注在圖形上有利于分析問(wèn)題，

三 逼近正方形

例3 （2014年·牡丹江）如圖3，在Rt△ABC中.∠ACB=90°.過(guò)點(diǎn)C的直線MN//AB.D為AB邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F連接CD，BE.

（1）求證：CE=AD.

（2）當(dāng)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.

（3）若D為AB的中點(diǎn)，當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.

簡(jiǎn)析：（1）先證出四邊形ADEC是平行四邊形（由對(duì)邊平行），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可推出.

（2）利用CE=AD=DB，可證出四邊形BECD是平行四邊形.再由DE⊥BC，可知四邊形BECD為菱形.

（3）當(dāng)∠A=45°時(shí)，四邊形BECD是正方形，理由如下：

∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=45°.AC=BC.

因D為AB的中點(diǎn)，故由等腰三角形的性質(zhì)知CD⊥AB， ∠CDB=90°.

因四邊形BECD是菱形（由（2）），故四邊形BECD是正方形，

說(shuō)明：對(duì)于特殊的平行四邊形，一定要區(qū)分各自的特性，同時(shí)又要把握好它們之間的聯(lián)系.