對角線上的兩點(diǎn)帶來的精彩

平行四邊形的對角線是平行四邊形中兩條特殊的線段.而在這個(gè)特殊線段上的有“特殊意義”的點(diǎn)，總能演繹出許多耐人尋味的“故事”，令人陶醉，你是不是也迫不及待地想領(lǐng)略一番？嗯，不多說了，請欣賞.

一、對角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)

例，（2014年·益陽）如圖1，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上的兩點(diǎn).如果添加一個(gè)條件可使△ABE相等于△CDF，則添加的條件不能是（）.

A. AE=CF B. BE=DF C. BF=DE D.∠1=∠2

解析：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AB=CD，AB//CD，所以∠ABE=∠CDF.

從“邊角邊”的角度來講可以補(bǔ)充的條件是BE=DF因?yàn)镋F是公共線段，所以BE=DF等價(jià)于BF=DE.所以選項(xiàng)B，C都可以使三角形全等.

從“角角邊”的角度來講可以補(bǔ)充的條件不具備.

從“角邊角”的角度來講可以補(bǔ)充的條件是∠l=∠2.所以選項(xiàng)D可以使三角形全等.

綜上，選A.

二、對角線上的兩個(gè)垂足點(diǎn)

例2 如圖2.在平行四邊形ABCD中.BD是它的一條對角線.過點(diǎn)A，C分別作AE⊥BD，CF⊥BD.E，F(xiàn)為垂足.求證：四邊形AFCE是平行四邊形，

解析：根據(jù)AE⊥BD，CF⊥BD，得AE//CF.只需再利用三角形全等證明AE=CF，問題就能得到證明.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AD=CB，∠ADE=∠CBF，所以△4DE全等于△CBF（角角邊），所以AE=CF

所以四邊形AFCE是平行四邊形.

三、對角線一半的兩個(gè)中點(diǎn)

例3 如圖3所示， 平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O.E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)，求證：四邊形DEBF是平行四邊形.

解析：要證的四邊形與已知的平行四邊形有一條公共的對角線BD，這就意味著OD=OB.如果再證明OE=OF，就可以利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形來完成證明.

因?yàn)镋，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)，所以由OA=OC可得OE=OF.所以四邊形DEBF是平行四邊形.

四、對角線上等線段的兩個(gè)端點(diǎn)

例4 （2013年·鞍山）如圖4，E，F(xiàn)是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點(diǎn)，AF=CE.DF=BE，DF//BE.求證：（l）△AFD全等于△CEB；（2）四邊形ABCD是平行四邊形.

解析：（l）利用“邊角邊”容易證明△AFD全等于△CEB

（2）由△AFD全等于△CEB，容易得到AD=CB且AD//CB，再根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證得結(jié)論.

五、等角與對角線的兩個(gè)交點(diǎn)

例5 如圖5，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點(diǎn)，且∠ABE=∠CDF求證：四邊形DEBF是平行四邊形，

解析：利用平行四邊形的性質(zhì)和已知條件，可以證明△ABE全等于△CDF（角邊角），△ADE全等于△CBF（邊角邊）.于是得到BE=DF，DE=BF，從而可證明結(jié)論，

六、對角線上兩個(gè)等角的頂點(diǎn)

例6 （2014年·賀州）如圖6，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)是對角線BD上的兩點(diǎn)，∠1=∠2.（1）求證：BE=DF；（2）求證：AF//CE.

解析：（1）如圖7，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AB=CD，AB//CD.

所以∠4= ∠3.因?yàn)椤?=∠2，所以∠AEB=∠CFD，所以△ABE全等于△CDF（角角邊），BE=DF.

（2）由（1）知△ABE全等于△CDF，所以AE=CF.因?yàn)椤?=∠2，所以AE//CF.

所以四邊形AECF是平行四邊形，AF//CE.

練習(xí)：

1.如圖8，在平行四邊形ABCD中（AB≠BC），直線EF經(jīng)過其對角線的交點(diǎn)O，且分別交AD.BC于點(diǎn)M，N，分別交BA，DC的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)有下列結(jié)論：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM全等于△FCN；④△EAO全等于△CNO.其中一定正確的是（）. A.①②

B.②③

C.②④

D.③④

參考答案：

1.B