挖掘本質(zhì) 追根溯源

平行四邊形是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一.下面就平行四邊形的典型問題選解幾例，以期使同學(xué)們更好地掌握平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)和判定，

一 線段的相關(guān)證明

例1 如圖1，E，F(xiàn)分別是平行四邊形ABCD的邊AD，BC的中點(diǎn).求證：BE=DF.

簡(jiǎn)析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AD=BC.又因E，F(xiàn)為AD，BC的中點(diǎn)，則DE=BF根據(jù)對(duì)邊平行且相等即可判定四邊形DEBF為平行四邊形，從而有BE=DF.

評(píng)析：證明兩條線段相等，若它們?cè)趦蓚€(gè)三角形中可考慮通過三角形全等來實(shí)現(xiàn)，若它們?cè)谕粋€(gè)三角形中可考慮通過等角對(duì)等邊來完成，學(xué)習(xí)了平行四邊形后，證明線段相等又多了一條思路，可通過平行四邊形對(duì)邊相等來得到結(jié)論.

例2 如圖2，已知E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF求證：DE//BF.

簡(jiǎn)析：連接BE，DF，BD，AC與BD交于O點(diǎn)，如圖3.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)AC與BD互相平分，OB=OD，OA=OC.又由AE=CF可得OE=OF.從而知

BD，EF互相平分，四邊形DEBF為平行四邊形，故DE//BF.

評(píng)析：之前我們證明兩直線平行，往往通過同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的關(guān)系來進(jìn)行，方法較單一.學(xué)習(xí)了平行四邊形后，證明兩直線平行，可以通過證明有關(guān)的線段所在的四邊形是平行四邊形來處理，

二 角的相關(guān)證明

例3 如圖4，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC，M為AB的中點(diǎn).求證：∠DMC=90°.

解析：由AB=2BC和M為AB的中點(diǎn)，可知△AMD和△BMC都為等腰三角形.

從而有∠A=180°-2∠AMD.∠B=180°-2∠BMC.

又∠A+∠B=180°，故上兩式相加可得∠AMD+∠BMC=90°.所以∠DMC=90°.

例4 如圖5.已知△ABC是等邊三角形，D，F(xiàn)分別是BC，ABL的點(diǎn)，且CD=BF.以AD為邊作等邊△ADE.

（l）求證：△ACD全等于△CBF

（2）點(diǎn)D在線段BC上的何處時(shí)，四邊形CDEF是平行四邊形？

簡(jiǎn)析：（1）由“邊角邊”易得△ACD全等于△CBF.

（2）、當(dāng)點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDEF為平行四邊形，理由如下：

如圖6.連接BE.

因∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°故∠EAB=∠DAC.

∴△ABE全等于△ACD（邊角邊）.

又△ACD全等于△CBF，故有△ABE全等于△CBF

∴EB=FB.∠EBA=∠ABC=60°.

∴△EFB為等邊三角形.

∴EF=BF=CD.∠EFB=60°.

又∠ABC=60°，所以EF//BC.四邊形CDEF為平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等）.

練習(xí)：

1.如圖7，分別以△ABC的三邊為邊，在BC的同側(cè)作等邊△ABD，等邊△BCE，等邊△ACF連接DE，EF求證：四邊形ADEF是平行四邊形.

2.如圖8，在平行四邊形ABCD中，DB=DC，∠C=70°.AE⊥BD于E.求∠DAE的度數(shù).

3.如圖9。以Rt△ABC的直角邊AC以及斜邊AB為邊向外作等邊△ACD，等邊△ABE.已知∠BAC=30°. EF⊥AB.垂足為F連接DF（1）試說明AC=EF； （2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形，

參考答案：

1.∠BCA+∠ACE =60°=∠ACE+∠ECF.故∠BCA=∠ECF

∴△ABC全等于△FEC（邊角邊）.AB=EF.

又AB=AD，故AD=EF

同理可證ED=FA.

∴四邊形ADEF是平行四邊形.

2.DB=DC.故∠DBC=∠C=70°.

因DA//BC，故∠ADB=∠DBC=70°.

因AE⊥BD，則∠DAE=20°.

3.（1）可先證明△AEF全等于△BAC（角角邊）.

（2）EF=AC=AD.又EF和AD都垂直于AB，因而它們平行.對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形.