一道課本習(xí)題與相關(guān)中考題探究

下面是人教版和其他不少版本教材中都選用的一個題目.其變式較多，并且頻繁地出現(xiàn)在近年各地的中考試卷中.現(xiàn)對它稍作梳理，與大家分享，

原題 如圖1 ，ABCD是一個正方形花園，E，F(xiàn)是它的兩個門，且DE=CF要修建兩條路BE和AF，這兩條路等長嗎？它們有什么位置關(guān)系？為什么？

解析：BE=AF，BE⊥AF先根據(jù)已知條件和正方形的性質(zhì)，證得故BE=AF，

例1 （2013年·東營）如圖2，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊CD.AD上的點(diǎn)，且CE=DF.AE，BF相交于點(diǎn)0.給出結(jié)論：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）其中正確的結(jié)論有（）.

A.4個

B.3個

C.2個

D.1個

解析：顯然（1）、（2）正確.而由CE=DF的條件不能推出AO=OE，（3）錯誤.又則（4）正確.綜上，選B.

評析：本例以選擇題形式呈現(xiàn)，雖未有對推理過程的考查，但拓展了考查的范圍.

例2 （2014年·瀘州）如圖3，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點(diǎn)，且AE⊥BF，垂足為點(diǎn)G.求證：AE=BF.

解析：略.

評析：本例由“原題”簡單改造而成，將問題的條件和結(jié)論重新進(jìn)行了組合，并適當(dāng)降低了難度.

例3 （2014年·內(nèi)江）如圖4，點(diǎn)M，N分別是正五邊形ABCDE的邊BC，CD上的點(diǎn)，且BM=CN.4M與BN交于點(diǎn)P.

評析：此題可看成是“原題”向邊的方向的拓展，由正方形推廣到了正五邊形.兩個三角形仍存在著全等關(guān)系，但兩條線不再垂直.不變的是，它們所成的角仍等于正五邊形的一個內(nèi)角.如果將本例中的正五邊形拓展到正n邊形（n≥3），（1）中的結(jié)論還成立嗎？∠APN的度數(shù)又會是多少呢？有興趣的同學(xué)不妨探究一下.

例5 （2014年·煙臺）在正方形ABCD中，動點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動.

（1）如圖8，當(dāng)點(diǎn)E自D向C，點(diǎn)F自C向B移動時，請你寫出AE與DF的位置關(guān)系，并說明理由.

（2）如圖9，當(dāng)E，F(xiàn)分別移動到邊DC.CB的延長線上時，連接AE和DF.（1）中的結(jié)論還成立嗎？請你直接回答“是”或“否”，不必證明.

（3）如圖10，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長線上移動時，連接AE，DF.（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由.

解析：（1）AE⊥DF理由略，請參看前例.

（2）是.

（3）成立，理由如下：與（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF.如圖11.延長FD交AE于點(diǎn)G，則∠CDF+∠ADG=90°.

∴ ∠ADG+∠DAG=90°.故AE⊥DF.

評析：本例通過創(chuàng)設(shè)情境，將“原題”轉(zhuǎn)化成了雙動點(diǎn)問題，并將對線段AE與DF的位置關(guān)系的判斷從形內(nèi)擴(kuò)展到了形外.推證時需適當(dāng)添加輔助線.因此增加了題目的難度，但用到的知識點(diǎn)和思路基本上未變，