特殊平行四邊形的邊角計算

矩形、菱形與正方形是特殊的平行四邊形.結(jié)合特殊平行四邊形的邊、角以及對角線的性質(zhì)，已知其中部分?jǐn)?shù)量，可以計算出其他數(shù)量.

比如，矩形的鄰邊互相垂直，因此已知矩形的一組鄰邊的長，可以利用勾股定理計算矩形的對角線的長，

一 矩形的兩條對角線的夾角是特殊角

例1 已知矩形的對角線的長是12.當(dāng)對角線的夾角是60°時，試確定矩形的邊長.

解：如圖1，四邊形ABCD是矩形，其對角線長相等，且互相平分，則OA=OB=OC=OD.由夾角為60°，故△OAB為等邊三角形，AB=OA=6.在Rt△ABC中，AC=12，則BC=

點評：這類矩形的對角線和一組鄰邊的比值是（相當(dāng)于含30°角直角三角形的三邊之比）.

例2 如圖2，已知矩形ABCD的對角線的夾角是45°，對角線的長是 求矩形的面積.

解：如圖3，作OB上的高AH，則易知△AOH為等腰直角三角形，OH=AH.而AH2+OH2=OA2，所以

練習(xí)：

1.已知矩形ABCD對角線的長是4，對角線的夾角是30°.請計算矩形的面積，

參考答案

1.4.

二 菱形一組鄰邊的夾角是特殊角

例3 （2014年·重慶）如圖4，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=7.則菱形ABCD的周長是______.

解：由于菱形四條邊長度相等，則△ABD是等腰三角形.而∠A=60°，因此△ABD又是等邊三角形，則AD=AB=BD=7.于是AB=BC=CD=DA=7.則菱形的周長是：4x7=28.

點評：有一個角是60°的菱形，是由兩個有一條公共邊的等邊三角形組合而成的.其邊長等于較短的一條對角線的長.由含30°角直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，不難得出另外一條對角線的長是邊長的倍.

例4 在菱形ABCD中，∠A=30°，AD=4，則菱形ABCD的面積是_______.

解：如圖5，作AB邊上的高線DH，則∠AHD=90°.∠A=30。，所以菱形ABCD的面積

點評：當(dāng)菱形的一個內(nèi)角是30°時，面積是邊長平方的如圖6，可以計算出垂足H分AB所得的兩條線段AH與BH的長度.運用勾股定理，可以得出BD的長度，由于菱形的面積確定了，而對角線乘積的一半即是面積，所以對角線AC的長度也可以求出，

練習(xí)：

2.菱形ABCD中，∠A=450，AD=2，則菱形ABCD的面積是____.

參考答案：

當(dāng)菱形的一個內(nèi)角是45°時，面積是邊長平方的倍.仿例4“點評”所說的思路，仍然可以得出兩條對角線的長.

正方形具有矩形與菱形的所有性質(zhì)，如：對角線平分一組對角；對角線交點到四個頂點的距離相等，且是邊長的倍：對角線分正方形所得出的所有三角形都是等腰直角三角形，在正方形的邊長、對角線長、周長與面積中，已知其中任何一個量，都可以確定出其余的三個量.