斜邊上中線的性質(zhì)及其應(yīng)用

在學(xué)習(xí)矩形時，有這樣一個推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.這是直角三角形的一個重要性質(zhì).

根據(jù)這個性質(zhì)可知，直角三角形斜邊上的中線將直角三角形分割成兩個頂角互補(bǔ)、底角互余的等腰三角形，

靈活運(yùn)用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，在解答一些與中點(diǎn)或中線有關(guān)的問題時，常能收到事半功倍之效.

例1 已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°.連接BD，EC.點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，連接BM.DM.

（l）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D，E分別在AC，AB上時，求證：△BMD為等腰直角三角形.

（2）如圖2，將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45。，使點(diǎn)D落在AB上.此時，（1）中的結(jié)論“△BMD為等腰直角三角形”還成立嗎？請對你的結(jié)論加以證明.

解：（1） ∵ △ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，

∴∠FDC=90°. BA=BC，∠BCA=45°.

∵占M為EC的中點(diǎn).

∴BM=DM、∠MBC=∠MCB.∠MDC=∠MCD.

∴∠BME=2∠BCM.∠EMD=2∠DCM.

∴∠BMD=∠BME+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM=2∠BCA=90°.

∴ △BMD為等腰直角三角形.

（2）△BMD仍為等腰直角三角形，證明如下：

延長DM交BC于點(diǎn)N（如圖3）.

∵ △ABC和△ADE都是等腰直角三角形.

∴ △BMD為等腰直角三角形.

例2 如圖4，在Rt△ABC中，∠C=90°. AD∥

分析：欲證DE=2AB，可取DE的一半，證其與AB相等.如圖5，取DE的中點(diǎn)F，連接AF，則AF=，可得△AFD，△ABF均為等腰三角形.由此結(jié)論得證.

證明：取DE的中點(diǎn)F，連接AF，則AF=DF=2AF=2AB.

練習(xí)：

1.如圖6，△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠CBD.DE⊥BD、DE交BC于E.求證：

2.如圖7，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M是BC的中點(diǎn).求證：AB=2DM.

提示

1.BE是直角三角形的斜邊，由應(yīng)想到“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，故可取BE的中點(diǎn)F，連接DF只需證明CD=DF，即證∠C=∠DFC即可.易知△BDF為等腰三角形，故∠DFC=2∠DBF=∠ABC=∠C.

2.取AB的中點(diǎn)N，連接DN，MN.易知△BDN為等矮三角形，而MN//AC，故LDMN=厶C.但LBDN=∠B=2∠C，∠BDN=∠DMN+∠DNM.故∠DNM=∠DMN，△DMN為等腰三角形，所以4B=2DN=2DM