平行四邊形的定義、性質(zhì)與判定

人教版初中數(shù)學(xué)教科書的第十八章《平行四邊形》的主要內(nèi)容有：（一）平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定；（二）特殊的平行四邊形（矩形、菱形和正方形）的定義、性質(zhì)和判定，通過學(xué)習(xí)這些內(nèi)容，同學(xué)們將對幾何圖形中的一類重要圖形——平行四邊形有更深入的認(rèn)識.

一、一般平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定

1.定義

同學(xué)們在小學(xué)數(shù)學(xué)中已經(jīng)接觸過平行四邊形.在現(xiàn)實世界中，形狀為平行四邊形的物體比比皆是.圖1是一個花壇的平面圖，它由三種形狀不同的平行四邊形組成.每種平行四邊形各有4個，安排在不同的位置上，

一種幾何圖形的內(nèi)涵式定義，是對這種圖形最基本的特征的揭示.盡管有形形色色的平行四邊形，但它們都有共同的最基本的特征，即“兩組對邊分別平行”.于是，平行四邊形就被定義為：兩組對邊分別平行的四邊形.

2.性質(zhì)

研究圖形的性質(zhì)，就是在確定考查的對象是某種圖形后，再考慮還有哪些結(jié)論適合于它.雖然一種圖形的定義給出了這種圖形的最基本的特征，但是定義本身不一定能夠直接反映出這種圖形的所有性質(zhì).通常，我們可以利用定義進一步推導(dǎo)出圖形所具有的最基本特征之外的其他特性，根據(jù)平行四邊形是“兩組對邊分別平行的四邊形”，利用三角形全等就可以推導(dǎo)出平行四邊形的“對邊相等”“對角相等”“對角線互相平分”等一系列性質(zhì).在這些性質(zhì)的推導(dǎo)過程（如圖2）中，三角形這一最簡單的多邊形發(fā)揮了重要的作用.

實際上，圖形的所有性質(zhì)都是由圖形的定義確定的.雖然定義本身并未直接表述出所有的性質(zhì)，但是在定義中已經(jīng)隱含了它們.以定義為出發(fā)點，可以逐步推導(dǎo)出所有的性質(zhì).教科書中通常在給出一種圖形的定義后，會繼續(xù)討論由它能進一步推出哪些結(jié)論，即得出經(jīng)常會用到的這種圖形的某些主要性質(zhì).當(dāng)然，這種圖形很可能還有一些教科書未曾提及的其他性質(zhì).例如，平行四邊形除了具有教科書中所說的“對邊平行且相等”“對角相等”“對角線互相平分”等主要性質(zhì)之外，還有“對角線的平方和等于四條邊的平方和”這個性質(zhì).它可以證明如下，

如圖3，作平行四邊形ABCD的高線DE.CF.利用全等三角形可以證明AE=BF.

3.判定

圖形的判定，是討論圖形時須研究的另一類問題.這是指，當(dāng)一個對象滿足哪些條件時，就可以確定它屬于某種圖形的范疇.例如，當(dāng)一個圖形滿足哪些條件時，就可以確定它是平行四邊形.除了用是否符合定義來判斷一個對象是否屬于某種圖形的范疇之外，還可以通過檢驗對象是否滿足定義以外的一些其他條件，來完成這樣的判斷.這樣的條件叫做判定條件.所謂判定條件，就是可以由其推導(dǎo)出“定義巾的條件”的那些條件，例如，我們看一個四邊形是否為平行叫邊形，可以看它是否滿足“一組對邊平行且相等”或者“兩組對邊分別相等”或者“兩組對角分別相等”或者“對角線互相平分”，因為由這些條件葉1的任何一個條件，都可以推導(dǎo)出四邊形的“兩組對邊分別平行”，所以滿足上述任何一個條件的四邊形都是平行四邊形.在得出這些判定條件的推導(dǎo)過程中，同樣利用了全等三角形，例如，由四邊形的“對角線互相平分”，通過全等三角形，可以推導(dǎo)出“對邊互相平行”（圖4）.

4.“性質(zhì)”和“判定”的關(guān)系

圖形的性質(zhì)和判定，是兩類不同的問題，討論一種圖形的性質(zhì)，是在確定對象已經(jīng)是某種圖形的前提下進行的；討論一種圖形的判定，是為了確定對象是某種圖形.有時，在分析某個問題的過程中，這兩類問題都會出現(xiàn).請看下面的問題.

已知在四邊形ABCD中，對角線AC和BD互相平分，試問：四邊形ABCD的四條邊與兩條對角線有什么關(guān)系？

由對角線AC和BD互相平分，可以知道四邊形ABCD是平行四邊形.由此又可以知道AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2，即四邊形ABCD的四條邊的平方和等于對角線的平方和.

在這個問題的分析過程中，既有“判定”又有“性質(zhì)”.第一步是判定四邊形ABCD是平行四邊形，第二步則是應(yīng)用了前面說過的平行四邊形的性質(zhì)，

一種圖形具有某條性質(zhì)，是否就可以反過來把這條性質(zhì)當(dāng)作這種圖形的一個判定條件呢？不是，并不是一種圖形的每個性質(zhì)都可以拿來作為這種圖形的判定條件的.例如，平行四邊形也具有“內(nèi)角和為360°”的性質(zhì)，但這是任一四邊形都具有的性質(zhì)，所以它并不能作為平行四邊形的判定條件.有些性質(zhì)是平行四邊形所獨有的，其他圖形不具備，例如“對邊相等”“對角相等”“對角線互相平分”等，這樣的性質(zhì)才可以反過來作為平行四邊形的判定條件，

二、特殊平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定

矩形、菱形和正方形是三種特殊的平行四邊形.

1.定義

特殊圖形的定義方式，通常是以一般圖形為基礎(chǔ)，再加上特殊圖形的最基本的特征.這些特征是區(qū)別特殊圖形與其他圖形的標(biāo)志.

特殊平行四邊形的定義結(jié)構(gòu)：

同學(xué)們會發(fā)現(xiàn)，矩形和菱形都是以平行四邊形為基礎(chǔ)再加上特殊限定條件而定義的，所以它們是特殊的平行四邊形.而正方形顯然是在四邊形的基礎(chǔ)上定義的，為什么也說它是特殊的平行四邊形呢？正方形即正四邊形，而正n邊形統(tǒng)一定義為“n條邊都相等，n個角都相等的n邊形”，所以正方形采川了如上的定義.但由正四邊形的“四條邊都相等”或“四個角都相等”，都可判定正四邊形是平行四邊形，所以正方形是特殊的平行四邊形，而且它兼具菱形和矩形的基本特征.它是特征更多的平行四邊形.

四邊形、平行四邊形、矩形、菱形和正方形之間的關(guān)系如圖5所示.圖6也能表示平行四邊形、矩形、菱形和正方形之間的包含和從屬關(guān)系.

2.性質(zhì)

特殊平行四邊形除了具有一般平行四邊形的性質(zhì)之外，還有它自己的特性，從特殊平行四邊形的定義出發(fā)，利用它的最基本的特征，還可以進一步得出一些其他特性.這些推導(dǎo)要用到一般平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)等.

3.判定

特殊的平行四邊形除了可以根據(jù)定義判定之外，還有一些其他的判定條件，推導(dǎo)這些判定條件要用到一般平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)等，邊、角和對角線是四邊形中的基本元素，也是判定條件中的考查對象，只有當(dāng)它們滿足判定條件中的全部要求時，才能作出判定.只滿足判定條件中的部分要求時，則不能下結(jié)論.例如，對角線要滿足“相等”“互相垂直”“互相平分”三個條件時，才能判定四邊形是正方形.如果只知道一個四邊形的“對角線相等且互相垂直”，則不能輕易斷定該四邊形是正方形，圖7的箏形就是反例，它的兩條對角線相等且互相垂直，但不滿足“互相平分”，顯然它不是正方形，也不是平行四邊形.