一道2014年高考題的推廣及變式

摘 要：學(xué)生做一些常規(guī)的基礎(chǔ)題， 對于鞏固基礎(chǔ)知識(shí)， 培養(yǎng)基本技能有一定的作用. 但為了尋求深入的聯(lián)系， 還需做一些有適當(dāng)難度的綜合題. 波利亞說：“跟這些常規(guī)的習(xí)題對比，高級中學(xué)應(yīng)當(dāng)時(shí)常介紹更多一些挑戰(zhàn)性的題目，一些具有豐富背景并值得深入探索的題目，一些能預(yù)先品味到科學(xué)家工作的題目.” 比如在平時(shí)的教學(xué)中，我們可以選擇適量的高考題，師生一起探究解決，以提高學(xué)生自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力和創(chuàng)新意識(shí).

關(guān)鍵詞：高考試題；橢圓；雙曲線；推廣；變式；最小值

北京市2014年高考文理科19題是一道直線與橢圓位置關(guān)系的綜合題， 題目設(shè)計(jì)精巧， 背景公平， 能有效考查學(xué)生的化歸轉(zhuǎn)化、運(yùn)算求解等能力. 筆者對它經(jīng)過一番探究，得出了更一般的結(jié)論，并進(jìn)一步類比推廣到雙曲線. 現(xiàn)連同它的幾個(gè)變式整理成文，以供同行及高三學(xué)生參考.

[?] 題目

已知橢圓C：x2+2y2=4，

（Ⅰ）求橢圓C的離心率.

（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y=2上，且OA⊥OB，（理）試判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（文）求AB的最小值.

解析：（Ⅰ）解略，答案：e=.

（Ⅱ）（理）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x0，2），因?yàn)镺A⊥OB，所以·=0，即x1x0+2y1=0.

因?yàn)閤1≠0（否則點(diǎn)B不存在），所以x0=-.

（?。┊?dāng)x1=x0時(shí)，可得y1=-，代入橢圓C的方程解得x0=±. 此時(shí)直線AB的方程為x=±，顯然與圓：x2+y2=2相切.

（ⅱ）當(dāng)x1≠x0時(shí)，直線AB的方程為y-2=（x-x0），

即（y1-2）x-（x1-x0）y+2x1-x0y1=0，

圓心O到直線AB的距離d=.

因x+2y=4，x0=-，代入得

d====.

所以，直線AB與圓x2+y2=2相切， 猜想成立.

（文）當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，可得

AB

=3；

當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，同上得

AB

===≥=2（當(dāng)且僅當(dāng)x=16，即x1=±2時(shí)“=”成立）.

綜上知，當(dāng)點(diǎn)A是橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，

AB

最小其值為2.

[?] 推廣

數(shù)學(xué)家希爾伯特說：“數(shù)學(xué)問題的寶藏是無窮無盡的，一個(gè)問題一旦解決，無數(shù)新的問題就會(huì)取而代之. ”因此，一道題目解完了，但我們的思考不能停. 我們要進(jìn)一步思考問題的本質(zhì)是什么，能否將結(jié)論進(jìn)行推廣，它的特殊情形是什么等等，從而使已解決的問題是它的一種特殊情況或相反.

將橢圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式+=1，這里a=2，b=，c=，仔細(xì)觀察并試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，直線y=2即y=， 圓x2+y2=2即x2+y2=b2（橢圓的小輔助圓）. 由對稱性我們有理由猜測：（如圖1）設(shè)O為原點(diǎn)， 若點(diǎn)A在橢圓C：+=1（a>b>0）上，點(diǎn)B在直線l：y=±（c=）上， 且OA⊥OB，則直線AB與圓x2+y2=b2相切.

證明：（只證直線l為y=的情形）

設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），

x0，

，其中x1≠0，因?yàn)镺A⊥OB，所以·=0，即x1x0+y1=0，由此得x0= -.

?。┊?dāng)x1=x0時(shí)，可得y1=-，代入橢圓C的方程解得x0=±b. 此時(shí)直線AB的方程為x=±b，顯然與圓O相切.

ⅱ）當(dāng)x1≠x0時(shí)，直線AB的方程為y-=（x-x0），

即（cy1-ab）x-c（x1-x0）y+abx1-cx0y1=0，

圓心O到直線AB的距離d=.

因b2x+a2y=a2b2，x0=-，c2=a2-b2，代入得

d====b.

所以直線AB與圓O：x2+y2=b2相切， 猜想成立.

對于文科（Ⅱ）一般化，因?yàn)椋?/p>

AB========

x1

+（0<

x1

≤a）.

考查函數(shù)f（x）=x+（x∈（0，a]），因?yàn)閒 ′（x）=-=，

當(dāng)0時(shí)，f ′（x）>0，所以f（x）在

0，

上是減函數(shù)，在

，+∞

上是增函數(shù).

故當(dāng)≥a，

即b≥c時(shí)， f（x）在x=a時(shí)有最小值f（a）=； 當(dāng)b

=2b. 上述結(jié)論也可由“對勾”函數(shù)的性質(zhì)直接得到.

于是得到下面的定理：

定理1 設(shè)O為原點(diǎn). 若點(diǎn)A（x1，y1）（x1≠0）在橢圓C：+=1（a>b>0）上，點(diǎn)B在直線l：y=±（c=）上， 且OA⊥OB， 則

（Ⅰ）直線AB與圓O：x2+y2=b2相切；

（Ⅱ）若b≥c，則當(dāng)x1=a時(shí)，AB有最小值；若b

評析：顯然高考題中的文（Ⅱ）只是定理1（Ⅱ）b≥c的一種特殊情況，推廣后題目的解答要用到函數(shù)思想、分類整合思想、數(shù)形結(jié)合思想及模型思想（“對勾”函數(shù)模型），可以考查更多的知識(shí)點(diǎn)，對學(xué)生的能力要求較高. 上述推廣可在教師引導(dǎo)下，讓學(xué)生自主探究，以提高學(xué)生的探究能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

[?] 類比

德國天文學(xué)家開普勒說：“我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學(xué)中它應(yīng)該是最不容忽視的. ”圓錐曲線有統(tǒng)一的定義，因而它們有很多和諧統(tǒng)一的性質(zhì)，通過類比并借助于幾何畫板的實(shí)驗(yàn)探究，發(fā)現(xiàn)雙曲線也有類似性質(zhì)（定理2）.

定理2 （如圖2）設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A（x1，y1）（y1≠0）在雙曲線C：-=1（a>0，b>0）上，點(diǎn)B在射線l：x=±（y>，c=）上，且OA⊥OB，

（Ⅰ）直線AB與圓O：x2+y2=a2相切；

（Ⅱ）當(dāng)y1=時(shí)，AB有最小值2a.

[y][O][x][A][B][T][B′]

圖2

證明：（Ⅰ）（只證點(diǎn)B在l：x=（y>）上的情形）

設(shè)B的坐標(biāo)為

，y0

， 因?yàn)镺A⊥OB，所以·=0，即x1+y1y0=0. 因?yàn)閥1≠0，所以y0=-.

?。┊?dāng)y1=y0時(shí)，可得x1=-，代入雙曲線C的方程得b2

-

-a2y=a2b2，變形得（y-a2）（c2y+a2b2）=0，因而有y-a2=0，即y0=±a. 此時(shí)直線AB的方程為y=±a，顯然與圓O：x2+y2=a2相切.

ⅱ）當(dāng)y1≠y0時(shí)，直線AB的方程為y-y0=

x-

，

即c（y1-y0）x-（cx1-ab）y+cx1y0-aby1=0，

圓心O到直線AB的距離d=.

因b2x-a2y=a2b2，y0=-，c2=a2+b2，代入得

d=====a，

所以直線AB與圓O：x2+y2=a2相切.

（Ⅱ）因?yàn)锳B========

y1

+（

y1

≠0）.

由均值不等式得

AB

=

y1

+≥2=2a，當(dāng)且僅當(dāng)

y1

=，即

y1

=時(shí)，

AB

有最小值2a.

評析：仔細(xì)觀察定理1、定理2的內(nèi)容及證法，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們是那樣的和諧，那樣的對稱，這就是數(shù)學(xué)的和諧之美，也是無數(shù)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者孜孜以求的東西. 我們之所以能得到上述結(jié)論，也多半是受到它的啟迪.

探究無止境，我們還可以繼續(xù)探究橢圓中與圓x2+y2=a2有關(guān)的問題，雙曲線中與圓x2+y2=b2有關(guān)的問題等.

[?] 變式

所謂變式教學(xué)，就是教師在概念或例習(xí)題的教學(xué)中，有目的、有計(jì)劃地對命題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，更換命題的非本質(zhì)特征，變換問題中的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式配置實(shí)際應(yīng)用的環(huán)境，從而使學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)舉一反三. 下面只給出定理1的幾個(gè)變式.

變式1：設(shè)O為原點(diǎn)，過橢圓C：+=1（a>b>0）上任一點(diǎn)A（異于橢圓長軸端點(diǎn)）作圓O：x2+y2=b2的切線l，過點(diǎn)O作OA的垂線交直線l于點(diǎn)B，則點(diǎn)B的軌跡是直線y=±（c=）.

變式2：已知橢圓C：+=1（a>b>0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過直線l：y=±（c=）上任意一點(diǎn)B作圓O：x2+y2=b2的切線，交橢圓C于點(diǎn)A，則OA⊥OB.

評析：變式1、變式2是定理1（Ⅰ）的逆命題. 對變式1還可作如下變形：①求點(diǎn)B的軌跡方程；②求點(diǎn)B的軌跡，或改為探究題，如③點(diǎn)B是否在一條定直線上，如果是，求出該直線的方程，如果不是，請說明理由. 變式2的結(jié)論也可改為：①證明以AB為直徑的圓過點(diǎn)O；或改為探究性問題如②以AB為直徑的圓是否過點(diǎn)O，若是，請予以證明，若不是，請說明理由. 通過這樣的變形來訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)語言相互轉(zhuǎn)化的能力，從而滲透化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

變式3：設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C：+y2=1上，點(diǎn)B在直線y=上，且OA⊥OB，求AB的最小值.

變式4：設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C：+=1（a>b>0）上，點(diǎn)B在直線l：y= ±（c=）上，且OA⊥OB，求△OAB的面積的最小值.

評析：變式3與原題的區(qū)別是，原題b=c，此處b

[?] 反思

許多數(shù)學(xué)題目特別是高考題，都蘊(yùn)涵著巨大潛能，若就題論題，我們就失去了一次培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的機(jī)會(huì)，無異于“入寶山而空返”. 解完題后，對題目進(jìn)行特殊化、類比、一般化，挖掘題目蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法以及題目之間的相互關(guān)系，從不同的角度對題目進(jìn)行變形，這對優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識(shí)都大有裨益.