從背面思考，從正面作答

摘 要：高中學(xué)生在處理數(shù)學(xué)問題時(shí)要具備一種反向的思維能力，這種思維可以讓學(xué)生在更加宏觀的層面考慮問題. 本文據(jù)此認(rèn)識依次探討了定義反向思維訓(xùn)練、正難則反訓(xùn)練、整體意識訓(xùn)練等幾方面的內(nèi)容.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；教學(xué)方法；反向思維

數(shù)學(xué)是一門對思維要求非常高的學(xué)科，同時(shí)也是開啟學(xué)習(xí)者智力的基本工具. 在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)常會遇到這樣或者那樣的困難，當(dāng)困難無法依靠傳統(tǒng)的正向思維模式解決時(shí)，便可以采取不同角度與不同方向的新型思維方式，也就是從反向思維對問題進(jìn)行探討. 這種思維方式與普通的正向思維方式也就是按照條件得到結(jié)論的方式通常相對，它從果得到因，再從因得到其他果. 毫無疑問，正向思維是常規(guī)狀態(tài)，而反向思維的培養(yǎng)則利于學(xué)生解決偏題，同時(shí)還可以起到啟發(fā)學(xué)生心智的作用.

[?] 對公式定理的反向應(yīng)用是思維的基礎(chǔ)

1. 定義的反向應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教材里面，出現(xiàn)了數(shù)量巨大的公式，教師要求學(xué)生對公式熟讀成誦是必要的，但卻并非是唯一的教學(xué)手段. 此外，教師還應(yīng)當(dāng)要求學(xué)生透徹理解并掌握公式，熟悉公式的各種變形. 公式的反向應(yīng)用能夠培養(yǎng)學(xué)生以更加敏捷的思維狀態(tài)應(yīng)對問題，提升其解題技巧. 定義的應(yīng)用也是如此，在高中階段，學(xué)生處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，非常容易用到定義法，但學(xué)生普遍對定義的反向應(yīng)用覺得陌生，實(shí)際上反向應(yīng)用定義恰恰可以讓問題的解決思路順利浮出水面.

例1 若將1-x-x-4予以化簡，便能夠得到2x-5，則求x的取值范圍.

分析：從題意中我們可以知道1-x-x-4=2x-5，而如果再走入絕對值這一概念的反向思路之中，便能夠得到下述條件，即1-x≤0，x-4≤0，解不等式組后，可以得到1≤x≤4，這就是未知數(shù)x的取值范圍.

2. 定理的反向應(yīng)用

某一個定理的逆命題，是否正確并不一定. 然而在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師還應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生對某一個定理的逆命題進(jìn)行驗(yàn)證，這不失為一種有效的教學(xué)方法，它能夠很好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并且讓定理與解題能力相結(jié)合的思維水平得到迅速提升.

例2 實(shí)數(shù)l，m，n能夠滿足條件m-n=8，并且mn+l2+16=0，現(xiàn)求證：m+n+l=0.

分析：借助正向思維，直接以順推法得到三個實(shí)數(shù)之值，雖然不必繞彎，但是運(yùn)算量特大，同時(shí)還易于發(fā)生結(jié)果錯誤，而借助反向應(yīng)用韋達(dá)定理的辦法則相對簡單.

證明：從m-n=8，能夠得到m+（-n）= 8，接下來從mn+l2+16=0可以知道m(xù)（-n）=l2+16，那么很明顯x2-8x+l2+16=0的兩個根即為m和-n. 同時(shí)，m和-n都是實(shí)數(shù)，因此，Δ=（-8）2-4（l2+16）≥0，可以解得 -4l2≥0，即l=0. 因此，x2-8x+16=0的兩個根同樣為m和-n，這樣可以得到m=-n=4，這樣m+n+l=0必然成立.

[?] 對問題條件的反向思考是思維的必然

在解答高中數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生一般會在現(xiàn)有條件基礎(chǔ)上按部就班地推出必要條件，從而完成結(jié)論探尋的目標(biāo). 但是這樣的方法，卻并非對所有問題都適用，有些問題若從條件著手思考，解題者往往沒有著手之處. 既然已經(jīng)能夠認(rèn)識到公式、定理等都具有反向應(yīng)用的作用，那么對于任何一個數(shù)學(xué)難題來講，不妨帶領(lǐng)學(xué)生從反向進(jìn)行研究，也就是指導(dǎo)其站在問題的結(jié)論處，一步一步地反向推理到結(jié)論的充分條件，最終得出和既有條件相關(guān)的結(jié)論，這種問題處理策略是符合“正難則反、奇正結(jié)合”原則的. 通常情況下，反向思考對于不等式成立的證明、立體幾何里面的論證等極為有效，而在其他類型的問題中也有較廣泛的應(yīng)用.

例3 已知和x有關(guān)的方程：

（1）x2-2mx+m2-m=0；

（2）x2-（4m+1）x+4m2+m=0；

（3）（m2+1）x2-（2m+1）x+1=0.

在上述方程中至少存在一個帶實(shí)數(shù)根的方程，那么m的取值范圍為多少？

分析：如果解題者將思維局限在正向角度，會出現(xiàn)多種不同的情況：假若一個方程有實(shí)數(shù)根，有三種情況；假設(shè)兩個方程有實(shí)數(shù)根，也有三種情況；三個方程有實(shí)數(shù)根時(shí)還有一種情況. 如果一一給予處理，過程必然極其煩瑣. 而如果解題者能夠秉承“正難則反、奇正結(jié)合”的原則，站在不同方向思考：與“至少有一個”相反的思路是“全都沒有”，那么就只有一種情況，問題的解決就變得非常容易了.

解：求出三方程皆沒有實(shí)根時(shí)m的取值范圍，假若這幾個方程都沒有實(shí)根，則有：

Δ1=4m2-4（m2-m）=4m<0，從而得出m<0；

Δ2=（4m+1）2-4（4m2+m）=4m+1<0，從而解得m<-；

Δ3=（2m+1）2-4（m2+1）=4m-3<0，從而解得m<，

因此，m<-.

因?yàn)樵趍<-的情況下，三方程皆沒有實(shí)根，所以在m≥-時(shí)，至少存在一個帶實(shí)數(shù)根的方程.

[?] 將正向思考和反向思考置于整體意識之內(nèi)

有的問題，從局部的正向思考考慮難以索解，而又沒有明確的相反方向，這時(shí)教師需要帶領(lǐng)學(xué)生站在整體高度考慮問題，將整體功能充分發(fā)揮出來，使學(xué)生意識到：無論是正向思考還是反向思考，其實(shí)都是整體思路的組成部分，而無須機(jī)械地加以分割. 這樣解決問題的思路，其實(shí)是對反向思考方式的科學(xué)解讀.

比如關(guān)于反面求證的問題，這是反向思考的一種突出表現(xiàn)形式，在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用極廣. 反證法是從待證問題給出的結(jié)論反面開始著手，也就是先假設(shè)結(jié)論反面為正確的，再根據(jù)題目中給出的條件，進(jìn)行一系列邏輯推理從而引出一個全新的結(jié)論，但是該新結(jié)論同本題條件相矛盾，或者是同定理、公理等不相符合，從而明確原命題結(jié)論反面為錯誤的.

比如下面幾個問題：

例4 若f（x）=4x-2x+1（x≥0），則求f-1（0）.

分析：按照常規(guī)解法，首先思考原有函數(shù)是否有反函數(shù)，若有，則先寫出反函數(shù)，再求解，這無疑會讓解題過程變得稍顯復(fù)雜. 此時(shí)如果教師能夠指導(dǎo)學(xué)生將思路放寬，站在整體高度來考慮問題，不是求出反函數(shù)，而是依靠原有函數(shù)同反函數(shù)間的關(guān)系，就可得到下面的判斷，即：求f-1（0）的值，實(shí)際上也就等同于求讓f（x）=0時(shí)x的值，使4x-2x+1=0. 再通過具體計(jì)算，得到x=1的結(jié)果，從而得出f-1（0）=1.

例5 扇形面積公式S=，若已經(jīng)知道扇形半徑同扇形所對圓心角n，則將其直接代入到扇形面積公式之中即可得出其面積. 而反過來提問：如果已經(jīng)知道扇形面積S及半徑R，那么如何去得到n值呢？此時(shí)學(xué)生即應(yīng)明確三個數(shù)值之間的關(guān)系，在頭腦中形成整體意識，明確公式的正用與反用，無非是整體映照下的差異化方法，即可順利得到n=，R=，從而讓問題得到順利解決.

例6 給出實(shí)數(shù)a，且a≠0，a≠1，現(xiàn)假設(shè)函數(shù)y=，其中x∈R，x≠，現(xiàn)請證明：經(jīng)過該函數(shù)圖象中任意兩個相異點(diǎn)的直線同x軸不相平行.

經(jīng)過分析，決定以反證法的思路處理該問題，不相平行的反面是相互平行，因此可以據(jù)此做出假設(shè).

我們先設(shè)M1（x1，y1），M2（x2，y2）為函數(shù)上的兩個任意點(diǎn)，x1≠x2. 接下來假設(shè)M1，M2兩點(diǎn)同x軸平行，那么即有y1=y2，也就是=，通過整理能夠得到a（x1-x2）=x1-x2.

因?yàn)閤1≠x2，所以a=1，該結(jié)論與題目的已知條件a≠1并不一致，所以假設(shè)不成立，所以原結(jié)論成立.