例談2014年高考中存在性問題的解決策略

摘 要：存在性問題是培養(yǎng)學(xué)生探索能力的重要素材. 它一直是高考的重點與熱點問題，更是難點問題. 本文以2014年高考中典型的存在性問題為載體，通過實例分析對這類問題的解決提供了幾種求解策略.

關(guān)鍵詞：存在性問題；特殊值；推理驗證；等價推斷；構(gòu)造函數(shù)

存在性問題是研究具有某種性質(zhì)或符合某種條件的數(shù)學(xué)對象是否存在的問題. 它是相對于封閉性問題而出現(xiàn)的一種新的問題設(shè)置形式，特點是對題目的結(jié)論以不確定的方式進行提問，其結(jié)果往往是兩種形式：存在或不存在，存在就是找出符合某種條件或性質(zhì)的一個即可，不存在用一般的方法很難找出一個符合要求的結(jié)果，此時需要推理與論證說明其不存在. 存在性問題的題型設(shè)置新穎，所涉及的知識面較廣，綜合性較強，具有一定的深度與難度，從而有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、發(fā)散思維能力和分析、探索問題的能力，因此存在性問題一直是高考命題的熱點. 下面舉例說明2014年高考中存在性問題的求解策略.

[?] 取特殊值法

例1 （2014年全國卷Ⅰ數(shù)學(xué)理科）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn-1，其中λ為常數(shù).

（1）證明：a-a=λ；

（2）是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由.

解：（1）略.

（2）由題設(shè)a1=1，a1a2=λS1-1，可得a2=λ-1，由（1）知a3=λ+1.

假設(shè){an}為等差數(shù)列，則a1+a3=2a2，解得λ=4；由an+2-an=4知：

當(dāng)n為奇數(shù)時，數(shù)列{an}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列an=a1+d=2n-1，

當(dāng)n為偶數(shù)時，數(shù)列{an}是首項為3，公差為4的等差數(shù)列an=a2+d=2n-1，

故an=2n-1（n∈N*），an+1-an=2，因此，存在λ=4，使得{an}為等差數(shù)列.

評注：一般來說，探求命題成立的條件應(yīng)為充要條件，而通過特殊的情形（前三項成等差數(shù)列）探求出參數(shù)λ的值，雖然簡單易求，但它只是命題成立的必要條件，還需要驗證它的充分性，才能保證探求結(jié)論的正確性.

[?] 推理驗證法

例2 （2014年全國卷Ⅰ數(shù)學(xué)理科）若a>0，b>0，且+=.

（1）求a3+b3的最小值；

（2）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并說明理由.

解：（1）略.

（2）解法1：一方面，因為6=2a+3b≥2，所以0

解法2：由2a+3b=6，得+=1，=

評注：在探索是否存在a，b時，先假設(shè)符合條件的對象存在，再探求符合條件的可能的對象. 在假設(shè)的前提下，利用題目條件進行邏輯推理驗證，若出現(xiàn)矛盾，則說明探求的對象不存在；若無矛盾，則探求的對象可能存在，此法一般適用于不存在性命題的探究.

[?] 等價推斷法

例3 （2014年湖北卷數(shù)學(xué)理科）如圖1，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點，點P，Q分別在棱DD1，BB1上移動，且DP=BQ=λ（0<λ<2）.

（1）當(dāng)λ=1時，證明：直線BC1∥平面EFPQ.

（2）是否存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由.

[D][A][B][C][A1][C1][B1][D1][N][M][P][F][Q][E]

圖1

解：（1）略.

（2）以D為原點，射線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知得E（2，1，0），F(xiàn)（1，0，0），Q（2，2，λ）. 故=（-1，-1，0），=（0，1，λ）.

[D][A][B][C][A1][C1][B1][D1][N][M][P][F][Q][E][x][y][z]

圖2

設(shè)平面EFPQ的一個法向量為n=（x，y，z），則由

·n=0，

·n=0，可得x+y=0，

y+λz=0，

于是可取n=（λ，-λ，1）.

同理可得平面MNPQ的一個法向量為m=（λ-2，2-λ，1）.

若存在λ，使面EFPQ與面MNPQ所成的二面角為直二面角，

則m·n=（λ-2，2-λ，1）·（λ，-λ，1）=0，

即λ（λ-2）-λ（2-λ）+1=0，解得λ=1±.

故存在λ=1±，使面EFPQ與面MNPQ所成的二面角為直二面角.

評注：當(dāng)研究的對象滿足的條件比較繁瑣或困難時，可尋找與它等價且簡單易操作的條件進行探求，該題將幾何問題向量化，等價地轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過計算的方法進行立體幾何問題的證明或求解，避免了作輔助線及推理證明的復(fù)雜過程.

[?] 構(gòu)造函數(shù)法

例4 （2014年重慶卷數(shù)學(xué)理科）設(shè)a1=1，an+1=+b（n∈N*）

（1）若b=1，求a2，a3及數(shù)列{an}的通項公式.

（2）若b=-1，問：是否存在實數(shù)c使得a2n

解：（1）略.

（2）由an+1=-1（n∈N*），可得an+1+1=≥1（n∈N*），即an+1≥0（n∈N*），又a1=1，所以an≥0（n∈N*）. 可以證明：0≤an≤1（n∈N*）. 若不然，存在自然數(shù)m∈N*，使得am>1（m≥2），這些自然數(shù)中最小的自然數(shù)記為m0，則am0=-1>1，所以am0-1>1+>1與m0最小性矛盾，故命題成立. 下證：0≤a2n<，若不然，存在最小的自然數(shù)n0（n0>1，n0∈N*）使得1≥a2n0≥（?），考察函數(shù)f（x）=-1，它在[0，1]上為減函數(shù)，且f

=，故（?）式變?yōu)閍2n0=f（a2n0-1）≥f

，所以0≤a2n0-1≤，即f（a2n0-2）≤f

，所以，1≥a2n0-2≥，此與n0的最小性矛盾，因此，0≤a2n<. 因為f（x）在[0，1]上為減函數(shù)，a2n+1=f（a2n）>f

=，因此，取c=滿足要求.

評注：由遞推關(guān)系求數(shù)列通項行不通或直接證明數(shù)列的單調(diào)性也較困難時，結(jié)合題目條件的特點構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性、不動點及反證法解決問題. 善于運用函數(shù)的觀點解決數(shù)列存在性問題是一種不錯的選擇.

總之，存在性問題的探索思路大致有兩種情形：一是先假設(shè)對象存在，在此基礎(chǔ)上進行探索，若探求出結(jié)果，再驗證結(jié)果的合理性，若產(chǎn)生了矛盾，則不存在；另一種是直接由題設(shè)推出結(jié)果，只要它滿足題目的要求即可.