拋磚引玉，入木三分

摘 要：《高中新課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出要使學(xué)生“初步了解數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)對(duì)人類文明發(fā)展的作用”，而現(xiàn)階段的高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的看法大都停留在感性的層面上——枯燥、難學(xué)，極少有學(xué)生真正對(duì)數(shù)學(xué)感興趣. 數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征是什么？當(dāng)今數(shù)學(xué)究竟發(fā)展到了哪個(gè)階段，在科學(xué)中的地位如何？與其他學(xué)科有什么聯(lián)系？這些問(wèn)題大都不被學(xué)生全面了解，而從數(shù)學(xué)史中可以找到這些問(wèn)題的答案. 當(dāng)學(xué)生對(duì)這些有了全面的了解后，對(duì)其數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)肯定是大有幫助的.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)興趣；思維

學(xué)習(xí)一門學(xué)科首先要弄清楚這是一門怎樣的學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更是如此. 數(shù)學(xué)是從哪里來(lái)的？它又將走向何方？了解這一點(diǎn)對(duì)每一個(gè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，都是十分重要的，因?yàn)橹挥辛私饬藬?shù)學(xué)的來(lái)龍去脈，我們才能更好地掌握數(shù)學(xué)的未來(lái).

[?] 有利于幫助學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

眾所周知，興趣是最好的老師. 要學(xué)好一門學(xué)科，有興趣才是前提. 但可惜的是，在現(xiàn)行高考體制的制約下，對(duì)數(shù)學(xué)真正感興趣的學(xué)生越來(lái)越少. 就拿筆者所在的學(xué)校舉例，這是一所四星級(jí)高中，應(yīng)該來(lái)說(shuō)學(xué)生的總體學(xué)習(xí)水平還是比較高的. 但在一次選修課的安排中，學(xué)校讓學(xué)生在二十多門涉及范圍廣、跨度大的課程中進(jìn)行選擇，在高一年級(jí)600多名學(xué)生，無(wú)一人選擇與數(shù)學(xué)有關(guān)的課程，讓我們數(shù)學(xué)老師感到可悲的同時(shí)，也必須進(jìn)行深刻的反思，怎樣提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，已是刻不容緩的事情. 而在學(xué)習(xí)時(shí)間長(zhǎng)、壓力大的現(xiàn)行教育現(xiàn)狀中如何才能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣呢？筆者想在課堂教書中滲透數(shù)學(xué)史的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)該對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的興趣能起到積極的作用. 舉例來(lái)說(shuō)，在蘇教版必修5《數(shù)列》這一章中，關(guān)于等差數(shù)列求和是這樣證明的：

一般的，設(shè)等差數(shù)列{an}的前n和為Sn，于是

Sn=a1+a2+…+an

=a1+（a1+d）+…+[a1+（n-1）d]. ①

把各項(xiàng)的次序反過(guò)來(lái)，又可以寫成

Sn=an+an-1+…+a1

=an+（an-d）+…+[a1+（n-1）d]. ②

由①+②得

2Sn=（a1+an）+（a1+an）+…+（a1+an）

=n（a1+an）.

由此可得等差數(shù)列{an}的前n和公式

Sn=.

從以上證明中我們可以看到，這種說(shuō)法確實(shí)有點(diǎn)枯燥、乏味，很難激發(fā)起學(xué)生的興趣，他們只能從數(shù)字和字母中推理記憶. 這時(shí)我們何不給這個(gè)證明添點(diǎn)“調(diào)料”呢？其實(shí)這里可以結(jié)合一個(gè)數(shù)學(xué)史上的小故事來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的興趣. 當(dāng)時(shí)筆者就給學(xué)生講了這樣一個(gè)故事：偉大的數(shù)學(xué)家高斯在念小學(xué)的時(shí)候，有一次在老師教完加法后，因?yàn)槔蠋熛胍菹?，便出了一道題目要同學(xué)們算算看，題目是：1+2+3+…+97+98+99+100=？老師心里正想，這下子小朋友一定要算到下課了吧，正要借口出去時(shí)，卻被高斯叫住了. 原來(lái)，高斯已經(jīng)算出結(jié)果了，高斯告訴大家他是如何算出的：把1加至100與100加至1排成兩排相加，也就是

1+2+3+4+…+96+97+98+99+100+100+99+98+97+96+…+4+3+2+1=101+101+101+…+101+101+101+101.

共有一百個(gè)101相加，但算式重復(fù)了兩次，所以把10100除以2便得到答案等于5050. 高斯因此奠定了他以后的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，更讓他成為數(shù)學(xué)天才，而這個(gè)解法正是我們今天所要學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的求和公式. 學(xué)生們聽(tīng)完后課堂氣氛果然活躍了不少，其實(shí)這個(gè)故事許多人都知道，但放在這兒再次強(qiáng)調(diào)一遍，能使學(xué)生更好地理解、運(yùn)用求和公式，并增強(qiáng)興趣，達(dá)到良好的學(xué)習(xí)效果. 所以在教學(xué)過(guò)程中可以多講述一些其他數(shù)學(xué)家的故事，消除學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的恐懼感，增加數(shù)學(xué)的吸引力，這樣學(xué)生再學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)就不會(huì)是被迫無(wú)奈的了.

[?] 有利于幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)創(chuàng)造的真實(shí)過(guò)程，培養(yǎng)正確的數(shù)學(xué)思維方式

我們所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教材從小學(xué)到高中一般都是言簡(jiǎn)意賅，直指主題的，那是因?yàn)榻滩漠吘故墙滩模嵌嗌倌攴e累下來(lái)的智慧財(cái)富，當(dāng)然是經(jīng)過(guò)了反復(fù)推敲的，語(yǔ)言十分精練簡(jiǎn)潔. 就拿蘇教版來(lái)舉例，為了保持知識(shí)的系統(tǒng)性，必修一共有5本，編排也是有順序的，但這種順序在實(shí)際教學(xué)中存在一定的問(wèn)題，不符合學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律和接受能力的發(fā)展規(guī)律，所以我們?cè)趯?shí)際教學(xué)過(guò)程中是按照1-4-2-5-3這種順序教學(xué)的，目的是為了更好地適應(yīng)學(xué)生的身心發(fā)展水平. 而且教材中教學(xué)內(nèi)容是按定義、定理、證明、推論、例題的順序編排，缺乏自然的思維方式，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵以及相應(yīng)知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程介紹也相對(duì)偏少. 這樣的編排也許有利于在應(yīng)試教育中加快學(xué)生接受知識(shí)的速度，但很容易使學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識(shí)就是先有定義，接著總結(jié)出性質(zhì)、定理，然后再用來(lái)解決問(wèn)題的錯(cuò)誤觀點(diǎn). 而其實(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)是在不斷地摸索、探求中，通過(guò)證明，最后得到正確結(jié)論的. 大多數(shù)時(shí)候是實(shí)際應(yīng)用發(fā)展的需要. 比如數(shù)系的擴(kuò)充，為了滿足生活和生產(chǎn)實(shí)踐的需要，數(shù)的概念在不斷地發(fā)展著. 為了計(jì)數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)，為了測(cè)量產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)，為了刻畫相反的意思產(chǎn)生了負(fù)數(shù)，為了解決正方形對(duì)角線長(zhǎng)等的問(wèn)題產(chǎn)生了無(wú)理數(shù). 1545年，意大利數(shù)學(xué)家卡丹在所著《重要的藝術(shù)》中提出了一個(gè)問(wèn)題：把10分成兩部分，使其乘積為40. 這需要解方程x（10-x）=40，他求得的根是5+和5-，然后說(shuō)“不管會(huì)受到多大的良心責(zé)備”把5+和5-相乘，得到25-（-15）=40. 盡管在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，數(shù)學(xué)家都認(rèn)為這個(gè)式子沒(méi)有意義，是虛構(gòu)的、想象的，但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)卻帶來(lái)了極大地方便. 于是在17世紀(jì)，著名的數(shù)學(xué)家笛卡兒（Descartes，1596-1650）造出了“虛數(shù)”（imaginary number）這個(gè)名稱. 但是在每一次數(shù)系擴(kuò)充后，我們又希望不要破壞原有的運(yùn)算法則，也就是說(shuō)當(dāng)有意義后，我們期望=·，這樣就能和原來(lái)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算律符合了. 而每一次數(shù)系的擴(kuò)充都引入了一種新的符號(hào)，于是到了1777年，數(shù)學(xué)家歐拉提出了一種新的符號(hào)，即虛數(shù)i. 至此，我們的數(shù)系也擴(kuò)充到了目前最大的范圍——復(fù)數(shù)集C. 每一次數(shù)系擴(kuò)充都標(biāo)志著數(shù)學(xué)的巨大飛躍，一個(gè)時(shí)代人們對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用，以及數(shù)系理論的完善程度，反映了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的水平. 那么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史就可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程，有一個(gè)比較清晰的認(rèn)識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)思維方式.

[?] 有利于幫助學(xué)生提高欣賞數(shù)學(xué)美的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)在過(guò)去的年代里，對(duì)它的評(píng)價(jià)更多的是“枯燥”“無(wú)味”“毫無(wú)樂(lè)趣”等字眼，似乎與“美”毫不相干. 同樣，現(xiàn)在，在普通的教學(xué)中，學(xué)生也很難體會(huì)到這種“美”的存在. 但是如果能適時(shí)地插入一些數(shù)學(xué)史的文化知識(shí)，那效果就截然不同了. “盡管數(shù)學(xué)不是美學(xué)，兩者不能等同，但當(dāng)人們親身經(jīng)歷并回顧其數(shù)學(xué)研究的歷程時(shí)，一種不可遏制的愉快油然而生，這難道不是美學(xué)特性的體現(xiàn)嗎？”除了這種體驗(yàn)的“過(guò)程之美”，數(shù)學(xué)的美還體現(xiàn)在內(nèi)容上，那就是概念之美、公式之美、體系之美；體現(xiàn)在數(shù)學(xué)方法和思維上，那就是簡(jiǎn)潔之美、類比之美、抽象之美、無(wú)限之美、統(tǒng)一之美.

例如，在“二項(xiàng)式定理”的教授時(shí)，教師可以引入中國(guó)古代數(shù)學(xué)史中的楊輝三角. 它是一個(gè)由數(shù)字排列成的三角形數(shù)表，一般形式如下：

特征：①與二項(xiàng)式定理的關(guān)系：楊輝三角的第n行就是二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)列. 第n行的數(shù)字個(gè)數(shù)為n個(gè). ②對(duì)稱性：楊輝三角中每行數(shù)字左右對(duì)稱，由1開(kāi)始逐漸變大，然后變小，回到1. 對(duì)稱軸是楊輝三角形底邊上的“高”. ③結(jié)構(gòu)特征：楊輝三角除斜邊上1以外的各數(shù)，都等于它“肩上”的兩數(shù)之和. 這些數(shù)排列的形狀像等腰三角形，兩腰上的數(shù)都是1.

通過(guò)我們教師對(duì)上述楊輝三角的介紹，學(xué)生可以感受到楊輝三角形所蘊(yùn)含的數(shù)字排列規(guī)律，以及它所具備的對(duì)稱美. 上面的講述對(duì)于開(kāi)闊學(xué)生的眼界、啟發(fā)思維是很重要的，同時(shí)又會(huì)增添許多數(shù)學(xué)文化韻味并極大地激發(fā)學(xué)生的興趣，從而有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建立良好的情感體驗(yàn)，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)和欣賞美的能力.

最近流行的一個(gè)百歲山的廣告，畫面唯美、格調(diào)雅致，可是很多人并未看懂廣告講述的故事情節(jié). 其實(shí)它有著濃厚的數(shù)學(xué)文化背景，講述了一個(gè)大數(shù)學(xué)家笛卡兒的凄美愛(ài)情故事，一條著名的數(shù)學(xué)曲線“心形線”由此誕生. 所以，我們說(shuō)數(shù)學(xué)史無(wú)論是在生活中，還是數(shù)學(xué)中都起著重要作用. 在平時(shí)的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史知識(shí)，不僅可以提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)，還可以訓(xùn)練學(xué)生的正確思維，形成正確的人生觀、價(jià)值觀. 所以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史不僅能深刻認(rèn)識(shí)作為科學(xué)的數(shù)學(xué)本身，還能全面了解整個(gè)人類文明的發(fā)展.