利用數(shù)學(xué)史豐富高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)涵的思考與實(shí)踐

摘 要：高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以抽象著稱，這對(duì)高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是一件好事. 利用數(shù)學(xué)史來(lái)豐富教學(xué)內(nèi)涵，可以化抽象為形象，可以為學(xué)生的思維提供一個(gè)良好的情境，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解. 利用數(shù)學(xué)史豐富數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)涵的常用策略有：還原數(shù)學(xué)史；“加工”數(shù)學(xué)史（數(shù)學(xué)故事）；引入數(shù)學(xué)人物.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)史；教學(xué)內(nèi)涵

“高中數(shù)學(xué)用抽象打敗了學(xué)生”，這是不少數(shù)學(xué)教學(xué)同行在公開與私下場(chǎng)合常常提出的一個(gè)觀點(diǎn). 應(yīng)當(dāng)說(shuō)這一觀點(diǎn)具有一定的合理性，高中數(shù)學(xué)給學(xué)生最大的感覺(jué)就是抽象，這種抽象體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是“沒(méi)完沒(méi)了的計(jì)算與證明”（學(xué)生語(yǔ)），體現(xiàn)在學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的下意識(shí)抵觸. 有同行曾經(jīng)有這么一問(wèn)：“如果不是高考的需要，真不知道有幾個(gè)學(xué)生愿意學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué). ”筆者在多年的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，也常常有這樣的感覺(jué). 從筆者的角度講，高中數(shù)學(xué)是一門非常有意思的學(xué)科，其以最為簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言描述了人類發(fā)展中最為深厚的思想，數(shù)學(xué)發(fā)展史中那么多的數(shù)學(xué)故事，正是數(shù)學(xué)內(nèi)涵的重要體現(xiàn). 為什么到了學(xué)生這里就成為索然無(wú)味的事情呢？通過(guò)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的梳理，筆者發(fā)現(xiàn)在日常教學(xué)中由于數(shù)學(xué)內(nèi)涵的缺失，由于數(shù)學(xué)文化的流失，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程確實(shí)已經(jīng)變成數(shù)學(xué)符號(hào)的機(jī)械推理，學(xué)生感覺(jué)沒(méi)有趣味自然是難以避免的. 那么，如果高中數(shù)學(xué)教學(xué)能夠基于數(shù)學(xué)史并進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的滲透，以提高數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)涵，會(huì)有什么樣的教學(xué)效果呢？筆者對(duì)此進(jìn)行了思考與嘗試.

[?] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)涵文化意義理解

高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)是有內(nèi)涵的，而數(shù)學(xué)內(nèi)涵與數(shù)學(xué)文化常常又是密不可分的，因此數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)涵就是一個(gè)需要系統(tǒng)梳理的內(nèi)容. 筆者以為，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)涵是基于數(shù)學(xué)文化，并將數(shù)學(xué)文化有效地滲透入數(shù)學(xué)教學(xué)，并通過(guò)教師的數(shù)學(xué)教學(xué)行為體現(xiàn)出來(lái)的一種內(nèi)在素養(yǎng). 與一般的數(shù)學(xué)文化理解不同，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)涵不是空洞的文化描述與說(shuō)教，也不是一種歷史浪漫主義甚至是歷史虛無(wú)主義，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)涵是一種內(nèi)在涵養(yǎng)，是教師對(duì)數(shù)學(xué)文化吸收之后的一種吐哺，其既與數(shù)學(xué)知識(shí)關(guān)系密切，同時(shí)又不拘泥于嚴(yán)格的數(shù)學(xué)歷史，而是將數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的過(guò)程與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展聯(lián)系在一起，整合而成的符合高中學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展需要的一種教學(xué)過(guò)程.

從這個(gè)角度講，高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)涵既是數(shù)學(xué)的，又是文化的，是基于數(shù)學(xué)文化又與學(xué)生的實(shí)際密切結(jié)合的. 其既服務(wù)于學(xué)生的全面發(fā)展需要，同時(shí)又不忽視數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高；其與其他學(xué)科聯(lián)系緊密，但又以數(shù)學(xué)知識(shí)為核心；其既重視學(xué)生的數(shù)學(xué)智力培養(yǎng)，但又重視學(xué)生的非智力因素培養(yǎng)；其既重傳統(tǒng)意義上的“雙基”，同時(shí)又不忽視數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng). 總而言之，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)涵是一個(gè)重要概念，其對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，有著明顯的現(xiàn)實(shí)意義.

顯然，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)涵以數(shù)學(xué)史出發(fā)，是最為便捷的選擇.

[?] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引用數(shù)學(xué)史嘗試

將數(shù)學(xué)史進(jìn)行合理的加工，使之成為適合高中學(xué)生學(xué)習(xí)需要的學(xué)習(xí)材料，是豐富數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)涵的便捷選擇. 高中數(shù)學(xué)知識(shí)豐富，而數(shù)學(xué)史更是一座寶藏，兩者結(jié)合會(huì)有什么樣的異彩呢？筆者對(duì)此進(jìn)行了嘗試.

第一，嘗試還原數(shù)學(xué)史，通過(guò)數(shù)學(xué)邏輯史增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解. 有些數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展歷史與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展過(guò)程基本是吻合的，對(duì)于這類數(shù)學(xué)史可以采用還原的策略，這樣既還原了歷史的原貌，又能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.

以“復(fù)數(shù)”的教學(xué)為例. 有經(jīng)驗(yàn)的高中數(shù)學(xué)教師都知道，復(fù)數(shù)的引入對(duì)于學(xué)生原來(lái)對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)可以說(shuō)是一種強(qiáng)大的挑戰(zhàn)，當(dāng)強(qiáng)調(diào)了無(wú)數(shù)遍的根號(hào)下的符號(hào)必須大于等于零之后，突然冒出來(lái)一個(gè)復(fù)數(shù)的概念，學(xué)生事實(shí)上是難以接受的. 即使是高中學(xué)生，他們的認(rèn)知規(guī)律依然是習(xí)慣于通過(guò)已有的知識(shí)體系去理解新的知識(shí). 而通過(guò)上面的簡(jiǎn)短分析，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生原來(lái)的知識(shí)是無(wú)法理解復(fù)數(shù)概念的. 這個(gè)時(shí)候借助于數(shù)學(xué)史，就可以化解學(xué)生的理解困難，從而讓復(fù)數(shù)概念能夠被學(xué)生更順利地建立. 在數(shù)學(xué)史上，故事是這樣的：十六世紀(jì)五十年代，著名數(shù)學(xué)家卡爾丹提出了這樣的一個(gè)問(wèn)題，能不能將10分成兩份，并使之相乘后得到40的結(jié)果？在實(shí)際教學(xué)中，在學(xué)生面前給出時(shí)間、人物與問(wèn)題，那學(xué)生就有了一個(gè)可供思考的情境，學(xué)生自然就會(huì)想：將10分成兩份，乘積還等于40，這兩個(gè)數(shù)是多少呢？根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生剛開始時(shí)是嘗試隨機(jī)地分，結(jié)果發(fā)現(xiàn)如果遵照常理，那么根據(jù)極值定理“和定積最大”，也只有用5乘以5才能得到最大結(jié)果是25. 怎么可能得到40呢？這個(gè)問(wèn)題就成為學(xué)生重點(diǎn)思考的問(wèn)題. 這個(gè)時(shí)候筆者給予適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥：同學(xué)們不妨列個(gè)方程去解一下. 于是學(xué)生很順利地列出方程：x·（10-x）=40. 于是更大的矛盾就出來(lái)了，這個(gè)方程不好解！矛盾的出現(xiàn)就是教師發(fā)揮講授作用的重要時(shí)刻，當(dāng)教師告訴學(xué)生卡爾丹的結(jié)果是5±時(shí)，學(xué)生的表情驚訝，根號(hào)下怎么出現(xiàn)了個(gè)負(fù)數(shù)呢？帶著這個(gè)問(wèn)題，教師再引入復(fù)數(shù)的概念，于是學(xué)生理解起來(lái)就沒(méi)有那么困難了.

第二，“加工”數(shù)學(xué)史（數(shù)學(xué)故事），使學(xué)生的思維能夠基于情境而鎖定數(shù)學(xué). 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一個(gè)常見的情況就是學(xué)生的注意力不集中，而其原因又在于教師提供的數(shù)學(xué)問(wèn)題不能有效地吸引學(xué)生. 如果能夠?qū)⒛承?shù)學(xué)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)歷史或數(shù)學(xué)故事有機(jī)地選擇進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)中來(lái)，數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)涵就不一般了. 筆者在一次教研活動(dòng)中聽到有一個(gè)教師在“數(shù)列”知識(shí)的教學(xué)中有這樣的一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，十分有意思.

教師出示的問(wèn)題是：在某飲料的促銷活動(dòng)中，規(guī)定三個(gè)瓶蓋可以換一瓶飲料，那一個(gè)人如果買了10瓶飲料，其最多可以喝多少瓶汽水？在常規(guī)的思維中，這一問(wèn)題的解決一般是：10換3余1，4換1余1，最終是喝14余2. 而在學(xué)生得到這一結(jié)果之后，教師講了個(gè)分牛的故事：一財(cái)主臨終分給三個(gè)兒子17只牛，要求大兒子分一半，二兒子分三分之一，三兒子分九分之一，牛不能殺不能賣. 這一問(wèn)題的解決關(guān)鍵在于“借一只?！? 在講完故事并得到解決方法之后，教師追問(wèn)學(xué)生能否在本問(wèn)題的解決中采用同樣的思路呢？此時(shí)，學(xué)生的興趣被大大地激發(fā)起來(lái)了，于是用新方法一算，結(jié)果發(fā)現(xiàn)可以喝得15瓶飲料，這就多了一瓶. 這種結(jié)果的不同說(shuō)明了什么呢？有學(xué)生說(shuō)在問(wèn)題解決的時(shí)候要拓寬一下自己的思路，而教師則給予了表?yè)P(yáng). 在課后評(píng)課的時(shí)候，有教師提出這樣的故事是有趣的，但解決問(wèn)題的思路并不符合實(shí)際，事實(shí)上上課教師對(duì)此也有預(yù)料，其給出了嚴(yán)格意義上的利用極限知識(shí)求解本問(wèn)題的結(jié)果：一樣是15. 這說(shuō)明這一數(shù)學(xué)故事的引入對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)是切實(shí)有益的.

數(shù)學(xué)故事雖不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)史，但數(shù)學(xué)故事常常與數(shù)學(xué)史有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，也常常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)史的書籍當(dāng)中，因此這些數(shù)學(xué)故事的價(jià)值其實(shí)也是巨大的.

第三，借助數(shù)學(xué)人物，豐富數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)涵. 數(shù)學(xué)史歸根到底就是數(shù)學(xué)人物的思想發(fā)展史，讓學(xué)生親近數(shù)學(xué)某種程度上講就應(yīng)當(dāng)是親近數(shù)學(xué)人物. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)雖說(shuō)壓力較大，但在知識(shí)教學(xué)中如果能夠借助于數(shù)學(xué)人物來(lái)豐富數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)涵，那也是一件非常有益的事情. 說(shuō)到這一點(diǎn)，相信不少同行依然記得自己的中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中老師所講的高斯解答1+2+3+…+100的問(wèn)題吧.

就筆者的梳理而言，中國(guó)數(shù)學(xué)史上秦九韶的高次方程、王珣的三角函數(shù)內(nèi)插值，國(guó)外數(shù)學(xué)史上牛頓的割圓術(shù)、阿波羅尼奧斯的圓錐曲線等，均是可以通過(guò)加工后引入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的. 這類書籍有《古今數(shù)學(xué)思想》、《數(shù)學(xué)史通論》、《世界數(shù)學(xué)通史》等，教師多閱讀，尤其是多結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行思考，會(huì)發(fā)現(xiàn)多少對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有些益處，就筆者的體驗(yàn)而言，作用主要體現(xiàn)在課堂上基于數(shù)學(xué)知識(shí)的整體改造，或者在某些知識(shí)點(diǎn)中適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)綴等，無(wú)論是哪種情形，學(xué)生都是非常感興趣的. 順便值得一提的是，現(xiàn)在學(xué)生有著便捷的網(wǎng)聊工具，將一些數(shù)學(xué)故事精減后擇要發(fā)在學(xué)生的聊天工具中，也能起到吸引學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)的作用.

[?] 數(shù)學(xué)史對(duì)高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響

筆者提出通過(guò)數(shù)學(xué)史來(lái)豐富數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)涵，本質(zhì)上還是為了促進(jìn)教師自身的專業(yè)成長(zhǎng)，以及學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高. 從筆者的實(shí)踐來(lái)看，這一策略對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，影響是積極的：一方面，在數(shù)學(xué)教學(xué)中堅(jiān)持引入數(shù)學(xué)史（一般不少于兩周一次相對(duì)系統(tǒng)的引入），可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到原來(lái)數(shù)學(xué)推理背后還有著那么多的數(shù)學(xué)故事，這對(duì)于促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及數(shù)學(xué)有一個(gè)完整的理解是十分有好處的，也能相當(dāng)程度上化解“數(shù)學(xué)只是沒(méi)完沒(méi)了的計(jì)算與證明”的認(rèn)識(shí)；另一方面，數(shù)學(xué)史的出現(xiàn)實(shí)際上就是為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)營(yíng)造一個(gè)良好的思考情境，讓學(xué)生可以體驗(yàn)到只有在具體的思維情境中去思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，才能讓自己更好地理解數(shù)學(xué).

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)史，可以有效地滋潤(rùn)課堂，可以豐富高中數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)涵，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)努力踐行之.