淺談數(shù)學(xué)概念教學(xué)

摘 要：數(shù)學(xué)是思維的體操，概念是思維的細(xì)胞，李邦河院士指出：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧. 技巧不足道也！”當(dāng)前許多教師不重視概念教學(xué)， “一個定義，三項注意”式的講授方式大行其道，有些教師甚至不知如何進(jìn)行概念教學(xué). 基于此，本文主要結(jié)合我市一堂數(shù)學(xué)觀摩課的研討活動談?wù)劰P者對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一點粗淺認(rèn)識.

關(guān)鍵詞：概念教學(xué)；概念形成；概念同化

2012年11月21日上午，我市在南安一中舉行省中小學(xué)教育教學(xué)改革試點項目——南安市“改進(jìn)教學(xué)方式，提高學(xué)習(xí)能力，構(gòu)建高效課堂”高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研討活動. 南安一中的陳斌穎老師為我市執(zhí)教了一節(jié)高二數(shù)學(xué)《變化率與導(dǎo)數(shù)》數(shù)學(xué)概念課，本次活動采用課堂教學(xué)觀摩、執(zhí)教者說課反思、研討交流等形式，極大地激發(fā)了我市廣大高中數(shù)學(xué)教師參與教學(xué)、教研活動的熱情. 下面筆者結(jié)合本堂課例進(jìn)行點評并簡要談?wù)剬?shù)學(xué)概念教學(xué)的幾點粗淺認(rèn)識.

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，導(dǎo)數(shù)就是瞬時變化率，是平均變化率有確定變化趨勢的結(jié)果. 導(dǎo)數(shù)有著豐富的實際背景及形象的幾何意義，它能精細(xì)刻畫任一事物的瞬時變化情況. 本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)過物理中的平均速度和瞬時速度及數(shù)學(xué)上平均變化率的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，此外，學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了函數(shù)的基本性質(zhì)和各種基本初等函數(shù)，能用抽象的函數(shù)符號來表示函數(shù)和研究函數(shù).

教學(xué)時，教師將導(dǎo)數(shù)概念建立劃分為兩個階段：一是結(jié)合跳水問題明確瞬時速度定義；二是借助其他實例抽象出導(dǎo)數(shù)的概念. 整堂課教學(xué)過程中蘊涵了逼近、從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法. 教師的這種處理，體現(xiàn)了其對課標(biāo)、新教材的深刻理解. 大綱教材中，導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)起點是極限，即數(shù)列→數(shù)列的極限→函數(shù)的極限→導(dǎo)數(shù). 這種建立方式具有嚴(yán)密的邏輯性和系統(tǒng)性，但不符合高中學(xué)生的已有認(rèn)識水平，他們很難理解極限的形式化定義，從而對導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)理解大打折扣. 教學(xué)中，教師“強調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”，從平均變化率入手，通過對高臺跳水運動實例的分析，借助動畫多渠道地引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、類比、抽象，讓學(xué)生充分經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，理解導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵，課堂教學(xué)效果較好.

在課后的集中研討活動中，大家普遍認(rèn)為本堂課在教學(xué)上陳老師能以問題串形式設(shè)計教學(xué)過程，以學(xué)生的自主探索、合作交流為主要學(xué)習(xí)方式；教學(xué)過程中，教師能關(guān)注學(xué)生提煉問題解決的策略，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，使學(xué)生在解決問題的過程中感受數(shù)學(xué)、體驗數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，既豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，又能使學(xué)生結(jié)合自身的學(xué)習(xí)過程感受到數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生是水到渠成的，數(shù)學(xué)的發(fā)展與人類文明發(fā)展相互促進(jìn).

由于學(xué)生在物理中已接觸過“瞬時速度”的概念，前一節(jié)課學(xué)生又已學(xué)習(xí)過平均變化率，因此，教師從學(xué)生知識的最近發(fā)展區(qū)設(shè)置的兩個問題，有利于學(xué)生快速進(jìn)入所設(shè)置的問題情境，順利引入本堂課的學(xué)習(xí)主題. 此外，本節(jié)課還有以下幾點有待改進(jìn)：在學(xué)生活動的預(yù)設(shè)與生成方面，大多數(shù)學(xué)生參與課堂還不夠主動，有些仍只是思考教師預(yù)設(shè)的問題及簡單模仿執(zhí)教老師的解題步驟；學(xué)生應(yīng)用知識的能力有待提高，仍缺乏結(jié)合自身生活、學(xué)習(xí)經(jīng)驗提出與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的實例以及導(dǎo)數(shù)思想的應(yīng)用過程. 今后建議教師從以下兩個方面進(jìn)行提升：一是更積極地引導(dǎo)學(xué)生主動參與，多讓學(xué)生上臺展示，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，體會從特殊到一般、逼近的思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，多讓出時間與空間給學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程；二是如何更有效地把握好教學(xué)節(jié)奏，如何更高效地發(fā)揮多媒體的輔助作用等.

下面結(jié)合本課談?wù)劰P者對概念教學(xué)的一些認(rèn)識.

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)加強對基本概念和基本思想的理解與掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解. 由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質(zhì). 由此我們可大致了解數(shù)學(xué)概念教學(xué)的主要構(gòu)成部分.

概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式，是在實踐中豐富感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，舍棄事物的非本質(zhì)屬性，保留本質(zhì)屬性而形成的. 數(shù)學(xué)概念也是如此. 認(rèn)識論原理指出，人們對事物本質(zhì)的認(rèn)識不可能一次性完成，需要經(jīng)歷一個由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的循環(huán)往復(fù)過程；同時，由于事物不可能孤立地存在，因此必須用聯(lián)系的觀點才能認(rèn)清事物的本質(zhì). 因此，對于概念教學(xué)，我們也應(yīng)該從過程和聯(lián)系兩個角度進(jìn)行考察，應(yīng)把概念放到相應(yīng)概念體系中去，考察它的來龍去脈，不僅要知道學(xué)習(xí)這一概念所需要的基礎(chǔ)，還要知道掌握它以后能干什么，從而幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)功能強大的概念體系. 如數(shù)學(xué)1中在“函數(shù)單調(diào)性”的概念教學(xué)之前，教師要認(rèn)識到：學(xué)生對于函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)共分為三個階段，第一階段是在初中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上對增減性有一個初步的感性認(rèn)識；第二階段是在高一進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義，從數(shù)和形兩個方面理解單調(diào)性的概念；第三階段則是在高三利用導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性，這樣學(xué)生才能形成單調(diào)性的概念體系.

數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式方面本質(zhì)屬性的一種思維形式，數(shù)學(xué)概念的獲得主要有概念的形成和概念的同化兩種方式. 概念的形成是指以學(xué)生的直接經(jīng)驗為基礎(chǔ)，對同類事物中不同例子進(jìn)行感知、分析、比較、抽象，用歸納的方式概括出這類事物的本質(zhì)屬性而獲得概念的方式. 概念形成的本質(zhì)是一種抽象過程. 導(dǎo)數(shù)作為微積分的核心概念，由其產(chǎn)生的背景來看，適宜采用概念的形成這種方式進(jìn)行教學(xué). 概念同化是以學(xué)生的間接經(jīng)驗為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)語言為工具，以定義的方式直接給出概念，由學(xué)習(xí)者利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念來同化新知識，從而獲得新概念的過程. 概念同化本質(zhì)上是有意義的授受學(xué)習(xí). 在高中階段教學(xué)中經(jīng)常被使用，其本質(zhì)是利用舊概念學(xué)習(xí)新概念.概念的形成與概念的同化并非毫無關(guān)聯(lián)，在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，宜將兩者相互結(jié)合，揚長避短，從而有利用于學(xué)生對概念的理解. 比如在導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)中，教師先采用概念形成的教學(xué)方式，通過對高臺跳水運動實例的分析，并在教師引導(dǎo)下師生共同抽象概括出導(dǎo)數(shù)本質(zhì)后，對導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的理解及簡單應(yīng)用便是學(xué)生利用新學(xué)知識進(jìn)行概念同化的過程. 鑒于上述分析，筆者認(rèn)為，概念教學(xué)的環(huán)節(jié)主要應(yīng)包括如下四部分：概念的引入——概念的獲得——概念的應(yīng)用——概念的升華.

[?] 概念的引入

學(xué)生接受新的數(shù)學(xué)知識，首先接觸的是數(shù)學(xué)概念，如何恰當(dāng)?shù)匾耄菍W(xué)生正確掌握數(shù)學(xué)概念的前提，直接影響著概念教學(xué)的成敗. 通常有以下兩種方式引入新概念.：一類是從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展內(nèi)部需要引入；另一類是從解決實際問題發(fā)展的需要引入. 比如導(dǎo)數(shù)的概念就可從物理學(xué)中的瞬時速度進(jìn)行導(dǎo)入. 一些概念是從數(shù)學(xué)知識發(fā)展本身的需要而引入的：比如高中數(shù)學(xué)“角”（象限角），“函數(shù)”（對應(yīng)的觀點），任意角的三角函數(shù)由銳角三角函數(shù)推廣而來；一些概念有著豐富的實際背景：比如函數(shù)的概念，函數(shù)是描述客觀現(xiàn)實世界變化規(guī)律的一種重要模型，函數(shù)概念的引入就可以用學(xué)生熟悉的實際問題，如時間、速度、路程的關(guān)系，氣溫變化等引入，再如平均變化率可從氣球的平均膨脹率、高臺跳水運動員的平均速度、國內(nèi)GDP的平均增長率、人口增長平均速度等問題引入，這樣的引入既讓學(xué)生了解了概念的實際背景，有利于學(xué)生認(rèn)識學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的作用，同時也能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 有些概念是在原有概念基礎(chǔ)上類比得到的，在教學(xué)新概念時，若能對學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的概念作適當(dāng)回顧，則有利于學(xué)生的遷移，促進(jìn)新概念的形成：如關(guān)于《解一元一次不等式》的某次小片區(qū)同課異構(gòu)研討活動中，教師甲是這樣進(jìn)行概念引入的，先提問學(xué)生不等式的定義（舊概念），然后讓學(xué)生對下述式子進(jìn)行判斷（1）2x≥x-5；（2）-2x<14；（3）x+y≤3；（4）x2≥0；（5）>0，再提出問題：不等式（1）、（2）分別與（3）、（4）、（5）有何區(qū)別？從而自然而然地引出所學(xué)的新概念.

[?] 概念的獲得

概念的獲得主要有概念的形成和概念的同化兩種方式，這里主要談?wù)劯拍钚纬山虒W(xué)過程. 數(shù)學(xué)概念是人類歷史發(fā)展的結(jié)果，是人們對客觀事物中的“數(shù)”與“形”關(guān)系反復(fù)感知、不斷分析、比較、綜合的基礎(chǔ)上，抽象出某一類對象的“數(shù)”與“形”方面的本質(zhì)屬性和共同特征的過程. 概念的形成階段，教師可以通過大量典型、豐富的實例，讓學(xué)生進(jìn)行分析、歸納、概括等多種數(shù)學(xué)活動，從而揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)；可以通過正反例、各種變式使學(xué)生對概念的內(nèi)涵和外延有更全面的認(rèn)識. 例如，本節(jié)教學(xué)有如下問題：①運動員在這段時間里是靜止的嗎？②你認(rèn)為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？③請大家思考如何求運動員的瞬時速度，如t=2時刻的瞬時速度？④當(dāng)△t取不同值時，嘗試計算v=的值？⑤當(dāng)△t趨于0時，平均速度有怎樣的變化趨勢？⑥運動員在某個時刻的瞬時速度如何表示呢？⑦氣球在體積為v0時的瞬時膨脹率如何表示呢？⑧如果將這兩個變化率問題中的函數(shù)用f（x）表示，那么函數(shù)f（x）在x=x0處的瞬時變化率如何表示呢？共八個問題，從具體到抽象，從特殊到一般，數(shù)形結(jié)合地引導(dǎo)了學(xué)生經(jīng)歷從平均變化率到瞬時變化率的整個過程，比較充分地關(guān)注了導(dǎo)數(shù)概念的形成過程.

[?] 概念的應(yīng)用

概念獲得之后，為加深對概念的理解、增進(jìn)對概念本質(zhì)的認(rèn)識，還要有一個應(yīng)用的過程. 概念應(yīng)用的過程主要是認(rèn)知同化的過程，根據(jù)理解深度及應(yīng)用范圍的不同，可大致分為簡單應(yīng)用、變式應(yīng)用和綜合應(yīng)用三大類. 作為概念起始課，大多是以簡單應(yīng)用為主. 比如本節(jié)課的執(zhí)教老師在師生共同抽象出導(dǎo)數(shù)概念后，能立即通過課本的例1及練習(xí)整合進(jìn)行概念的簡單運用. 這樣做不僅能幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)概念，初步學(xué)會利用定義法計算導(dǎo)數(shù)的步驟，還能讓學(xué)生進(jìn)一步體會導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識. 概念尤其是一些比較抽象的數(shù)學(xué)概念也可適當(dāng)多結(jié)合學(xué)生親身的過程加以揭示，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識是自然的、水到渠成的. 比如本節(jié)課在學(xué)生學(xué)習(xí)完例1后教師可再多選配一些其他的變化率問題（效率、國內(nèi)GDP增長率、工廠“三廢”排污率、人口增長速度等），使學(xué)生認(rèn)識到導(dǎo)數(shù)可以描述任何事物的瞬時變化率，同時也體現(xiàn)了從“特殊→一般→特殊”的研究數(shù)學(xué)問題的基本思維過程.

[?] 概念的升華

升華可以使概念變得精致，數(shù)學(xué)概念初步應(yīng)用之后，還需要有一個升華的過程：即把所學(xué)新概念與已有相關(guān)概念相聯(lián)系，從而把新概念納入概念體系中進(jìn)行概念教學(xué). 例如，研究指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的方法也是今后研究其他函數(shù)性質(zhì)的基本方法；又如，導(dǎo)數(shù)概念的建立和定積分概念的建立都是基于“極限”的思想，導(dǎo)數(shù)是與微分互逆的運算過程，此外，函數(shù)f（x）在各點處的導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成一個新的函數(shù)——導(dǎo)函數(shù)等等.

一些概念的學(xué)習(xí)，往往不是一蹴而就的，中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念的形成過程是一個由具體到抽象的過程，學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識和理解也是一個從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過渡過程，需要在概念課的后繼學(xué)習(xí)中不斷地反復(fù)應(yīng)用、加深理解. 當(dāng)然，也不是說每一節(jié)概念課都要經(jīng)過上述四個階段，而應(yīng)從概念本身形成過程的整體上思考，根據(jù)學(xué)生具體學(xué)情進(jìn)行分析設(shè)計. 總之，數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的思維形式，是數(shù)學(xué)思維的基本細(xì)胞，我們在教學(xué)中應(yīng)摒棄“輕概念重解題“、“重結(jié)論輕過程”等不良習(xí)慣，扎扎實實抓好基本數(shù)學(xué)概念的教學(xué).