如何提升數(shù)學理解的層次

摘 要：數(shù)學理解是世界數(shù)學教育界所關心的一個中心話題. 近年來，更是引起了國內數(shù)學教育者的廣泛關注. 數(shù)學認知理解水平可分為三個層次：其一，操作性理解；其二，關系性理解；其三，遷移性理解. 本文從一道試題說起，探究在高中數(shù)學課堂中，如何有效提升學生的數(shù)學理解層次.

關鍵詞：數(shù)學；理解層次；有效提升

[?] 問題的提出

1. 源起：兩次“偶然”

例1 （2013年某市高三第一次適應性測試數(shù)學（理） 20題）

如圖1，已知平面QBC與直線PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC.

（Ⅰ）求證：PA∥平面QBC；

（Ⅱ）（略）.

圖1

例2 （2014年某市高三第一次適應性測試數(shù)學（理）19題）

已知數(shù)列{an}中，a1=，an+1=（n∈N*）.

（Ⅰ）求證：數(shù)列

是等差數(shù)列，并求{an}的通項公式；（Ⅱ）（略）.

2013年高三第一次適應性測試后，通過對某普通高中考生的作答情況進行研究，筆者“偶然”關注到例1第（Ⅰ）問得分情況很不理想. 調查獲悉，較普遍的現(xiàn)象是考生能想到利用直線與平面平行的判定定理來解決此題，但受困于無法順利找到平面QBC內與PA平行的直線.

無獨有偶，2014年高三第一次適應性測試中，例2第（Ⅰ）問的失分率也偏高，這又一次引起了筆者的關注. 答卷中，相當一部分考生無法給出

是等差數(shù)列的證明，而是通過a1=及遞推關系式，計算a2，a3，a4（甚至更多），之后猜想得到{an}的通項公式；還有一些考生對an+1=（n∈N*）進行了一些等價變形，但方向不明確，始終沒有得到與之間的關系.

2. 追問：背后的“故事”

例1與例2的第（Ⅰ）問都是比較基礎的問題，但出乎意料的作答情況不禁讓人追問其背后的“故事”. 筆者認為，這種現(xiàn)象的產生有很多原因，歸根結底是學生對數(shù)學問題的理解還停留在較低的思維層次.

數(shù)學理解是世界數(shù)學教育界所關心的一個中心話題. 近年來，更是引起了國內數(shù)學教育者的廣泛關注和積極研究. 某教育者指出，數(shù)學認知理解水平可分為三個層次：其一，操作性理解，即學生懂得了數(shù)學的基本概念、原理和方法，能夠運用所學知識解決一些識記性與操作性步驟比較強的簡單問題；其二，關系性理解，即學生對數(shù)學知識的本質有比較深刻的認識，能夠把握數(shù)學知識之間的內在聯(lián)系和規(guī)律，能夠運用所學知識解決一些綜合性問題；其三，遷移性理解，即學生深刻理解數(shù)學知識，能夠將數(shù)學思想、方法以及所學數(shù)學知識遷移到別的情景，能夠靈活運用數(shù)學知識解決問題.

由于學習興趣、原有基礎、接受水平等主客觀因素的影響，高三學生的數(shù)學認知理解水平存在明顯的層次差異. 如何從根本上提升他們的數(shù)學理解層次，促進學習的有效性？

[?] 策略的探索

新《數(shù)學課程標準》提出：“數(shù)學教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經驗基礎之上. 教師應幫助他們真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法”. 在高三數(shù)學課堂中，教師可以從以下三個方面來提升學生對數(shù)學理解的層次，激發(fā)其學習數(shù)學的信心和興趣.

1. 通過學生問題的暴露，提升理解層次

建構主義學習觀認為，知識并不能簡單地由教師傳授給學生，而只能由每個學生依據(jù)自身已有的知識和經驗主動地加以建構. 學生的錯誤也不可能單獨依靠正面的示范和反復的練習得以糾正，必須是一個“自我否定”的過程，而“自我否定”又以自我反省，特別是內在的“觀念沖突”作為必要的前提.

因此，教師在教學過程中需充分了解學生的最近發(fā)展區(qū)，精心設置問題或例題，使學生經歷錯誤產生——自我否定——加深理解的過程，在錯誤的思維沖擊后，實現(xiàn)對知識的正確把握和能力培養(yǎng)，促使理解層次的提升.

【教學片段1】 討論函數(shù)f（x）=kx3-3x2+1（k≠0）的單調區(qū)間.

學生1與學生2的答案截然不同，這引起了小小的“躁動”.

教師：兩種結果，哪一個正確？

學生：學生1的答案是錯的. 他給出的是導函數(shù)的單調區(qū)間，而不是原函數(shù)的. 我們應該關注的是導函數(shù)的正負.

教師：說得真好！像學生1的錯誤是很普遍的，因為你們對二次函數(shù)太熟悉了，解答過程中不知不覺地“偷天換日”，轉為求導函數(shù)的單調區(qū)間了. 大家要吸取教訓！

教師：學生2的求解呢？

學生：k>0時的結果是對的，但k<0的結論是錯的，因為此時<0.

教師：那么正確的答案應該是什么？學生2，你能自己更正嗎？

學生2：當k<0時， f（x）的單調增區(qū)間為

基于初中的學習，學生對二次函數(shù)的圖象、單調區(qū)間等知識幾乎根深蒂固. 當碰到導函數(shù)是二次函數(shù)時，很容易就用其單調性來代替原函數(shù)的單調性. 在學生初次接觸導數(shù)時，這是比較普遍的錯誤. 此處，教師從學生認知的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，通過讓學生嘗試犯錯，并對錯誤進行診斷的處理方式，不僅給學生留下深刻印象，而且使導數(shù)與函數(shù)單調性的關系深入人心. 這樣的處理策略有效地引導學生的認知理解水平向更高一層次轉化，逐漸體驗數(shù)學遷移的能力.

2. 通過知識網(wǎng)的搭建，提升理解層次

系統(tǒng)論認為：系統(tǒng)地組織起來的材料所提供的信息遠遠大于部分材料提供的信息之和，但這個系統(tǒng)的建立，不是簡單疊加. 現(xiàn)代科學研究發(fā)現(xiàn)，較低層次的知識點和能力元，難以形成較高層次的功能系統(tǒng)，因此這個系統(tǒng)還要結合知識網(wǎng)絡交匯點進行整合.

皮亞杰認為，學習是一種能動的建構過程. 在高中數(shù)學學習過程中，學生只有擁有清晰的脈絡，在遇到問題時，才能迅速做出反應，選擇出最適合解決這類問題的方法. 從而知識網(wǎng)的建立就具有重要的意義.

【教學片段2】 （即例1）

教師：如何找到平面QBC內與PA平行的直線？

學生：已知條件中面面垂直用起來就可以了. 因為平面QBC⊥平面ABC，交線為BC，所以只要在平面QBC內作一條垂直于交線的直線QD，那么QD就會平行PA.

教師：為什么？

學生：因為QD，PA都垂直于平面ABC，所以QD∥PA.

教師：非常好！當看到面面垂直這個條件時，就要聯(lián)想到它的性質，從而解題的突破口自然呈現(xiàn). 輔助線一添加，思路就豁然開朗. 再利用定理：垂直于同一平面的兩直線平行，實現(xiàn)了平行與垂直的轉化. （教師一邊解釋，一邊記錄知識的框圖（圖2））

[線線垂直] [線面垂直][面面垂直][性質][性質][判定][線線平行][線面平行][面面平行]

圖2

此片段中，教師的處理是“授之以漁”的方式，學生通過積極地回憶、建構知識網(wǎng)，不僅解決了考試時的困惑之處，更系統(tǒng)地復習了 “平行與垂直的位置關系”知識鏈條，使理解的層次得到一定提升. 美國著名教育家、心理學家布魯納曾指出：“知識如果沒有完滿的結構把它連接在一起，那是一種多半會被遺忘的知識. ”站在系統(tǒng)的高度來引領教學不僅使我們的課堂能夠“豐滿”起來，不斷從低效走向有效達到高效，而且使學生的學習變得有章可循，使探究達到“潤物細無聲”，這樣我們的復習課就能升華為一種境界：天空不留痕跡，鳥兒已經飛過.

3. 通過數(shù)學本質的揭示暴露，提升理解層次

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》指出：“形式化是數(shù)學基本特征之一. 在數(shù)學教學中，學習形式化的表達是一項基本要求，但是不能只限于形式化的表達，要強調對數(shù)學本質的認識，否則會將生動活潑的數(shù)學思維活動淹沒在形式化的海洋里.” 只有理解了數(shù)學問題的內核，理清了知識的內部聯(lián)系，才能透過現(xiàn)象看本質.

影響學生數(shù)學理解的重要因素是學生是否具有“理解”的心向，即是否能通過自己積極的思維活動，實現(xiàn)對所學數(shù)學知識本質和規(guī)律認識的心理愿望. 所以在高中數(shù)學課堂中，教師通過積極引導，啟發(fā)學生的思維，通過對數(shù)學本質的揭示，突破問題的難點. 數(shù)學教學中只有重視引導學生經歷數(shù)學理解的過程，引導學生關注和把握數(shù)學的本質與聯(lián)系，才能有效地提升學生的理解層次.

【教學片段3】

教師：請你結合圖象，說說y=sinx，x∈R的單調區(qū)間.

學生：y=sinx的單調增區(qū)間有很多個，比如-

羅素（Russell）指出：“凡是你教的東西，要教得透徹”. 在教學中我們盡量引導學生揭示被千變萬化的數(shù)學表象所掩蓋的數(shù)學本質，還數(shù)學以本原，促進理解層次的提升.