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    對一道課本習(xí)題的探究

    2015-04-29 00:00:00閻碩

    摘 要:對教材中的典型習(xí)題、例題的條件、結(jié)論加以適當(dāng)演變,或?qū)γ}加以推廣、引申,可以讓學(xué)生搞清楚同一問題的各種不同情況,掌握一般規(guī)律,充分發(fā)揮習(xí)題的功能. 本文通過引導(dǎo)學(xué)生探究一道課本習(xí)題,培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)和研究問題的能力,對學(xué)生的各種素養(yǎng)的形成大有好處.

    關(guān)鍵詞:課本習(xí)題;拋物線;直線;相交;斜率;探究;定值

    對教材中的典型習(xí)題、例題的條件、結(jié)論加以適當(dāng)演變,或?qū)γ}加以推廣、引申,可以讓學(xué)生搞清楚同一問題的各種不同情況,掌握一般規(guī)律,并充分發(fā)揮習(xí)題的功能. 這樣做,對于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、變通性,提高學(xué)生的思維品質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力都有較大的作用.

    題目 過y2=2px(p>0) 焦點的一條直線和這拋物線相交,兩個交點的縱坐標(biāo)為y1,y2,求證:y1y2=-p2.

    這是蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材選修2-3第47頁的第9題. 這是一道很簡單,內(nèi)容卻十分豐富的好題. 近幾年全國各地有不少高考試題,都直接源于這道題,可見這道題備受青睞,具有典型性、代表性,是一道值得我們探究的課本習(xí)題. 因而我們在教學(xué)中不能只就題論題,淺嘗輒止,而要引導(dǎo)學(xué)生對題目深入探討,引申推廣,發(fā)展學(xué)生的思維能力.

    筆者在教學(xué)中,引導(dǎo)全班學(xué)生,對該題進(jìn)行了深入的探討,得到了一些更為有趣的性質(zhì). 本文著重介紹這些性質(zhì)及它們的應(yīng)用.

    定理1 如果直線l過定點M(m,0) (m≠0)且和拋物線y2=2px(p>0)相交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2),那么x1x2,y1y2均為定值.

    證明:(1)若直線AB與x軸垂直,易得x1x2=m2,y1y2=-2pm,均為定值.

    (2)若直線AB與x軸不垂直,設(shè)其方程為y=k(x-m),代入y2=2px,

    得k2x2–2(mk2+p)x+m2k2=0,所以x1x2=m2,所以yy=2px1·2px2=4p2m2,

    所以y1y2=-2pm(取負(fù)值),均為定值. 故由(1)(2)知x1x2,y1y2均為定值.

    由定理1,很容易得到直線OA,OB的斜率kOA,kOB有如下性質(zhì):

    推論 如果直線l過定點M(m,0) (m≠0),且和拋物線y2=2px(p>0)相交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2),那么kOA·kOB為定值.

    由性質(zhì)1知,kOA·kOB=·=-,為定值.

    直線OA,OB和直線AB的斜率存在什么關(guān)系呢?

    定理2 如果與x軸不垂直的直線l過定點M(m,0)(m ≠0),且和拋物線y2=2px(p>0)相交于兩點A,B,O為坐標(biāo)原點,那么+=.

    證明:設(shè)直線l的方程為x=ay+m,由題意知a≠0,與y2=2px(p>0)聯(lián)立,得,

    y2-2apy-2pm=0,則y1+y2=2ap,y1y2= -2pm,

    所以+=+=+=2a+m

    +

    =2a+m·=2a+m·=a=.

    注:若設(shè)直線l的方程為y=k(x-m),則運(yùn)算較繁.

    如果直線l過y軸上一定點, 直線OA,OB的斜率kOA,kOB又有怎樣的關(guān)系呢?

    定理3 如果直線l過定點(0,b)(b≠0),且和拋物線y2=2px(p>0)相交于兩點A,B,O為坐標(biāo)原點,那么kOA+kOB為定值.

    證明:設(shè)直線l的方程為y=kx+b,與 y2=2px聯(lián)立,得k2x2+2(kb-p)x+b2=0,則x1+x2=,x1x2=. 由A,B在直線l上,得kOA+kOB=+=+=2k+b·=2k+b··=.

    下面舉兩個例子說明這幾個性質(zhì)的應(yīng)用.

    例1 設(shè)直線l過定點(0,b)(b≠0),傾斜角為,且和拋物線y2=2x相交于兩點A,B,O為坐標(biāo)原點,滿足kOA·kOB= -,k+k=1,求直線l的方程.

    解:由kOAkOB=-,k+k=1,得(kOA+kOB)2=k+k+2kOAkOB=1-,所以kOA+kOB=±.又由定理3得,kOA+kOB==,所以b=±2(+1),所以直線l的方程為y=x±2(+1).

    例2 過點(1,0)作直線l和拋物線y2=4x相交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,已知直線OA的傾斜角為45°,AB=,求直線OB的方程.

    解:由題意得,kOA=1,AB與x軸不垂直. 設(shè)AB的方程為:y=k(x-1),與y2=4x聯(lián)立,得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0,x1+x2=,x1x2=1,

    所以AB=·=,將x1+x2=,x1x2=1代入,化簡,得,kAB=. 由定理2,+=,得1+=,所以kOB=-,

    所以O(shè)B的方程為y=-x.

    可見,我們在平時的教學(xué)中,深入鉆研教材,認(rèn)真研究課本例題、習(xí)題,是一件很有意義的事情. 教師在教學(xué)中應(yīng)長期不懈地堅持下去,長此以往學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力將會得到大幅提升.

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