參數(shù)方程法與解析幾何一般方法的比較研究

摘 要：參數(shù)方程法在解析幾何中是以參數(shù)作為橋梁來解決解析幾何問題的方法，它與一般解析幾何方法的區(qū)別在于，參數(shù)方程引入了中間變量，并以此為橋梁著手解決問題. 與一般幾何方法相比，參數(shù)方程具有自身的獨(dú)特性和優(yōu)越性，通過與一般解析幾何方法的比較研究，有利于加深對兩種方法的認(rèn)識.

關(guān)鍵詞：參數(shù)方程；解析幾何；比較研究

參數(shù)方程是高中選修4-4中的內(nèi)容，高中階段常見的參數(shù)方程有直線的參數(shù)方程、圓的參數(shù)方程、圓錐曲線的參數(shù)方程. 參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是通過引入?yún)?shù)，在同一直角坐標(biāo)系中將同一曲線上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)抽象成一般的參數(shù)表達(dá)式，是曲線除一般方程之外的第二種表達(dá)方式，與一般方程可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，正是基于此參數(shù)方程才能夠運(yùn)用于解析幾何的解題中. 本文嘗試從三類參數(shù)方程出發(fā)，從比較研究的視角出發(fā)探尋參數(shù)方程與一般解析幾何方法在解題上的區(qū)別與聯(lián)系.

比較一：直線參數(shù)方程的運(yùn)用

例1 已知直線l的方程為x+y-1=0，與拋物線y=x2交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長和點(diǎn)M（-1，2）到A，B兩點(diǎn)的距離之積.

1. 一般解析法

初讀題意大致可以判定這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目，因此可以大致斷定解題離不開方程組聯(lián)立和韋達(dá)定理的使用.

①將兩方程聯(lián)立得x+y-1=0，

y=x2

，消元可得x2+x-1=0，記為（1）式；根據(jù)韋達(dá)定理可知：x1+x2=-1，x1x2=-1；利用弦長公式可得：AB==.

②要求MAMB必先求出A和B點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間距離公式求解，求解（1）式可知x1=，x2=，將x1，x2代入直線可得y1=，y2=.因此，MAMB=·==2.

2. 參數(shù)方程法

根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可知，t為動點(diǎn)到定點(diǎn)M的距離，因此，當(dāng)直線與曲線交于A和B兩點(diǎn)時(shí)，對應(yīng)的參數(shù)分別是t1，t2，則AB=t1-t2；而點(diǎn)M到A和B兩點(diǎn)的距離之積則為t1，t2的絕對值之積.

由題意可知點(diǎn)M在直線l上，且直線l的傾斜角為135°，所以直線的參數(shù)方程是x=-1+cos135°t，

y=2+sin135°t，即

x=-1-t，

y=2+t. 將橫縱坐標(biāo)的參數(shù)表達(dá)式代入到拋物線表達(dá)式中可得t2+t-2=0， A和B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1=，t2=；根據(jù)參數(shù)的幾何意義可知AB=t1-t2=；MAMB=t1t2=2.

3. 兩者的比較：比較兩種方法，無論是思維的復(fù)雜程度上，還是計(jì)算的復(fù)雜程度上，參數(shù)方程的方法都更簡單. 首先，從思維的復(fù)雜程度上講，一般解析法涉及二元方程組的求解、根與系數(shù)關(guān)系、弦長公式、兩點(diǎn)之間距離公式的綜合運(yùn)用，而參數(shù)方程解決上述問題僅使用一元二次方程的求解和參數(shù)的幾何意義兩個知識點(diǎn)；其次，從計(jì)算的復(fù)雜程度講，一般解析法所使用的每個知識點(diǎn)本身就代表著復(fù)雜的計(jì)算，顯然參數(shù)方程中利用參數(shù)的幾何意義求解，運(yùn)算量會大大降低.

比較二：圓參數(shù)方程的運(yùn)用

例2 已知正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，以A為圓心，AE為半徑，作弧交AD于F. 若P為劣弧上的動點(diǎn)，求·的最小值.

1. 一般解析法

若以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，建立如圖的坐標(biāo)系，則可以將·表示成關(guān)于P點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)x，y的表達(dá)式，然后可將y用x進(jìn)行代換，將·的符號表達(dá)式構(gòu)造成關(guān)于x的函數(shù)，利用函數(shù)的有界性來求解最值.

易知，C（2，2），D（0，2），設(shè)P坐標(biāo)（x，y），則=（2-x，2-y），=（-x，2-y），·=x2-2x+（2-y）2=x2-2x+4-4y+y2. 因?yàn)辄c(diǎn)P在劣弧上且在第一象限，所以P點(diǎn)坐標(biāo)滿足x2+y2=1且單調(diào)減，在區(qū)間

2. 參數(shù)方程法

以上述方法為基礎(chǔ)，在構(gòu)造函數(shù)時(shí)若將P點(diǎn)坐標(biāo)用參數(shù)方程來表示，則可構(gòu)造關(guān)于θ的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性可以避免復(fù)合函數(shù)求導(dǎo).

由圓的參數(shù)方程可知P點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)可表示成x=cosθ，y=sinθ，則=（2-cosθ，2-sinθ），=（-cosθ，2-sinθ），

所以·=cos2θ-2cosθ+4-4sinθ+sin2θ=5-2sin（θ+φ）. 由于sinφ=<，所以φ<30°. 又θ∈[0°，90°]，所以θ+φ∈（0°，120°），所以當(dāng)θ+φ等于90°時(shí)，·取最小值，·min=5-2.

3. 兩者比較

比較兩種方法，可以發(fā)現(xiàn)在求解最值問題時(shí)，兩者所用思路均為構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)有界性求解最值. 所不同的是一般幾何法在構(gòu)造關(guān)于x的函數(shù)時(shí)，求解函數(shù)最值需要利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，這對一般學(xué)生而言是困難的，而參數(shù)方程法，則利用了三角函數(shù)求解，在思維的難度上比復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)要低一個等級.其中也存在一個思維的盲點(diǎn)，即θ+φ的取值范圍，往往學(xué)生易直接代入1或-1來求解最值.

比較三：圓錐曲線參數(shù)方程的運(yùn)用

例3 從橢圓+=1上任意一點(diǎn)向短軸端點(diǎn)A，B引直線，求證：兩條直線在x軸上截距的乘積為定值.

1. 一般解析法

不妨設(shè)兩條直線的斜率分別為k1和k2，則兩條直線AP和BP的表達(dá)式分別為y=k1x+2和y=k2x-2. 令y=0，直線AP的橫截距x1=-，直線BP橫截距為x2=，因此x1x2=-，題意轉(zhuǎn)化成k1·k2為定值.

設(shè)任意點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），A點(diǎn)坐標(biāo)（0，2），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），k1·k2=·=. 由橢圓方程可知4x2+9y2=36，即x2=，所以k1·k2== -，因此x1x2=-=9.

2. 參數(shù)方程法

由橢圓的參數(shù)方程可將動點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)表示成x=3cosθ，y=2sinθ，所以直線AP方程為=，直線BP方程為=. 可令y=0，可得兩直線的橫截距分別為x1=和x2=，易得x1x2=9.

3. 兩者比較

比較兩種方法可以從思維運(yùn)算的流暢性和運(yùn)算量的大小兩方面說明. 一般解析法在解決這類問題需要進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化，將截距之積為定值轉(zhuǎn)化成斜率之積為定值，相比而言，參數(shù)方程法在思路上要更加清晰、明了. 在運(yùn)算量的大小方面，一般解析法涉及二次有理式的運(yùn)算，參數(shù)方程僅涉及一次有理式的求解，所以運(yùn)算上參數(shù)方程方法也要略勝一籌.

當(dāng)然，上述幾個例子僅是參數(shù)方程解決解析幾何問題的一部分，但通過上述幾個例子可以窺見參數(shù)方程在解決解析幾何問題時(shí)在思維運(yùn)算復(fù)雜性、流暢性和運(yùn)算量大小方面的優(yōu)越性，這足以說明參數(shù)方程可以作為復(fù)雜解析幾何問題攻堅(jiān)的利器.